<<
>>

9.8. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ КАК МАТРИЦА

Вернемся опять к фирме, выпускающей один вид продукции (у) и имеющей два вида затрат (хг и х2). Предположим, что решения фирмы ограничены четырьмя технологическими способами или что фирма решает ограничить свой выбор этими способами.
Каждый способ описывается парой постоянных коэффициентов, то есть пропорциями, в которых комбинируются различные виды затрат. В случае линейной однородной функции производства (постоянства последовательных затрат на единицу) эффективная производственная функция будет иметь вид (3) (см. раздел 9.7), или в данном частном случае:

Х11 ~ аиУ' Х12 = а12 У і #13 = аізУі #14 ^ аыУ>

X2l — a2lUi #22 = #22 У t #23 ^ #23 У* Х2&— а2$У'

Таким образом, имеется 8 постоянных коэффициентов ars (г = 1, 2; s — = 1,2,3,4), которые представляют объем г-го вида затрат на производство единицы продукции с помощью 5-ГО способа.

Каждый способ полностью и просто характеризуется вектором из трех элементов, то есть (1, —-аи, —a2s) для s-го способа, причем 1 показывает величину выпуска; —аи и —a2s — соответствующие затраты на единицу выпуска. Знак «+» указывает на выпуск, знак «—» указывает на затраты. Совокупность технических условий фирмы будет характеризоваться в таком случае матрицей

Г 1 1 1 1 -

— ап — #12 — а13 а14 9

- #21 а22 ^23 —#24-

представляющей упорядоченную систему заданных элементов. Здесь строки показывают товары (один для выпуска и два для затрат), а столбцы — способы. Такая матрица называется технологией фирмы. В данном случае возможен выбор из четырех способов, применяемых в отдельности или комбинированно при постоянстве эффективности последовательных затрат.

Технология показана на рис. 35. Выпуск единицы продукции мы можем получить четырьмя способами, комбинируя затраты аи, a2s для s = 1, 2, 3, 4. Эти комбинации представлены четырьмя точками Рг, R±, S^ на плоскости Оххх2. Выпуск двух единиц продукции получается с помощью любой комбинации (2als, 2a2s), представленной четырьмя точками Р2, Q2, R2 и S2.

По свойству постоянства последовательных затрат на единицу продукции, Рг и Р2 расположены на радиусе ОР так, что ОР2 = 2ОРг. Точно так же обстоит дело и с другими способами. На рис. 35 четырьмя радиусами показаны для четырех способов неизменные отношения соответствующих затрат. На этих радиусах можно отметить частный набор точек Р1У Rx, Sхарактеризующих выпуск единицы продукции. Для получения любой другой величины выпуска продукции нужно лишь пропорционально переместить этот набор точек. Линия Рх Qx R1 Sx представляет собой кривую постоянного объема производства при выпуске единицы продукции. Для получения >йе кривой другого постоянного выпуска продукции нужно лишь пропорционально растянуть или сократить первую кривую, так как последовательные затраты постоянны. Вместо «непрерывной кривой» мы имеем четыре точки, соединенные прямыми линиями, что указывает на возможность комбинирования способов.

Если четыре способа и независимы и «действенны» в том смысле, что можно использовать каждый из них в отдельности, то тогда четыре точки Ръ Q1Э Rv St выпуклы по отношению к О (см. рис. 35). Например, если Qx будет расположена вверх и вправо от тогда комбинация первого и третьего процессов будет более «эффективна», чем QXJ ибо потребует меньше затрат на единицу выпуска продукции. Из этого также следует, что комбинации «эффективных» способов могут составляться лишь из смежных способов, изображенных на рис. 35: можно взять комбинацию Рг и Qlt но не PxRi или Pxvкоторые представляют собой точки, расположенные вверх и вправо от линии PiQi. Далее, возможную комбинацию способов представляют лишь комбинации затрат, характеризующиеся точками, расположенными в пределах конуса, ограниченного радиусами OP, OQ, OR и OS, но не комбинации, расположенные вне его.

Варьирование комбинаций факторов производства и видов продукции, числа различающихся технологических способов, размера и соотношений затраты-выпуск открывает очень широкие возможности выбора технологии фирмы. Ниже приводятся простейшие примеры различных видов матриц, могущих представить технологию фирмы при наличии не более двух факторов производства и двух продуктов: 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 X, Ха 1 — «11 — «12 — «із — «14 ; б) -«11 JL «12 &

— «із — « — «21 — «22 — «23 — «24 — «21 «22 «23 — а. 1 1 1 0 0 — #2 1 — «її — «12 «13 — а «21 «22 «23 — «24

В случае (а) нет комбинированного производства, и каждый из двух продуктов производится двумя способами.

В случае (б) с помощью двух технологических способов производятся продукты комбинированно, именно хх при втором способе и х2 единиц второго продукта при третьем способе производятся на единицу первого. Случай (в) представляет собой еще один вариант: второй продукт является выпуском двух способов (при втором способе как продукт комбинированного производства) и затратой в третьем способе. Такими двумя продуктами могут быть, например, холодильники и моторы для них; моторы могут производиться вместе с холодильниками или отдельно от них (например, как запасные части) или же могут поступать при третьем способе (например, из запаса или от другой фирмы).

Легко представить технологию фирмы в совершенно общей форме: '«її «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 Все а представляют собой заданные постоянные — положительные, когда товар представляет собой выпуск по относящемуся к нему способу, и отрицательные, когда он является затратой. Многие а могут быть нулями — тогда соответствующий товар вообще не выпускается при данном технологическом способе. Если коэффициенты читать вдоль строки, то один и тот же товар может в одних случаях быть выпуском, в других затратой, в третьих вообще не участвовать в технологическом процессе. Аналогично при чтении вдоль столбца может появиться комбинированное производство двух или более товаров или комбинированное использование факторов производства.

Поэтому при рассмотрении фирмы может оказаться удобной и плодотворной предпосылка о непрерывности производственной функции, связывающей затраты и выпуск. Тогда становится возможным исследование с помощью предельных категорий, которое может оказаться особенно подходящим при долгосрочном анализе. С другой стороны, могут возразить, что теория фирмы по самой природе своей краткосрочна, так как предприниматель обладает ограниченным временным кругозором и что-то он всегда должен принимать как неизменное. В самом деле, существует немного доказательств того, что предприниматель склонен мыслить предельными категориями, и еще меньше их имеется в пользу того, что именно так он и мыслит.

Предприниматель едва ли может рассчитывать на то, что в момент принятия решения он будет располагать всеми необходимыми данными. Более вероятно, что он оперирует прямыми вариантами простых и довольно жестких процессов (см. работы Хэлла и Хитч [3] и Гордона [2]). В этом случае более подходящей будет формулировка технологии в форме приведенной выше матрицы А и анализ в абсолютных числах, а не в виде предельных выражений»

Можно возразить, что предпосылка ограниченности числа технологических способов и постоянства технологических коэффициентов слишком жестка и ограничительна. Нельзя выдвинуть серьезных возражений против допущения о совершенной делимости элементов затрат и выпуска и против постоянства] эффективности последовательных затрат для одного технологического способа. Первая из этих предпосылок является удобным упрощением, а затруднения при сохранении второй можно преодолеть путем выделения двух или более способов в случае появления изменяющейся эффективности последовательных затрат. Более серьезным является возражение против того, что различные способы нельзя свести к малому числу и что их нельзя комбинировать простым сложением затрат и выпуска. Но некоторые упрощения неизбежны, и полезно оценить, какие из них являются наиболее суровыми.

Нам осталось кратко рассмотреть еще одно обстоятельство. Анализ на уровне индивидуальной фирмы (как в разделе 9.3) может оказаться слишком детальным для данных целей. В качестве альтернативы возможно рассмотрение крупных секторов экономики или всего процесса производства в целом (как в разделе 9.2). И опять-таки формулировка технологии одной отрасли производства, группы отраслей или «промышленности» в целом — это в большой мере вопрос удобства с экономической и математической точек зрения. Для долгосрочного анализа и для крупных секторов народного хозяйства предпосылка о совершенно непрерывном изменении и заменяемости кажется более разумной. Она ведет к анализу в предельных величинах с непрерывной производственной функцией.

С другой стороны, обобщение в одной производственной функции, единственное между всеми затратами и выпусками, может быть слишком широким для того, чтобы выделить требуемые результаты.

Следовательно, и для производства в целом, по-видимому, предпочтительнее принять технологию в форме вышеприведенной матрицы А, то есть взять лишь ограниченное число «видов деятельности» или технологических способов, связывающих различные товары в качестве затрат и выпусков, и ограничить область действенных решений возникающими таким образом вариантами. В зависимости от требования мы можем затем ограничить действительную

форму матрицы А. Следующая форма весьма проста и полезна: 1 — «12 — «із- • • — «21 1 «23 • ' — «зі «32 1 .. • Здесь каждая «деятельность», представленная столбцом матрицы А, есть отрасль, производящая один и только один характерный для нее продукт. Далее, если даже принять во внимание наличие многих нулевых элементов, выпуск отрасли может быть как затратой нескольких других отраслей, так и «конечным» продуктом. Эта формулировка подробнее развивается в следующей главе. Ее недостатки очевидны: объединение разнообразных продуктов в единственную группу, характеризующую выпуск отрасли; предпосылка постоянства последовательных затрат на единицу продукции и неизменность технологических коэффициентов; очевидное отсутствие всякой возможности заменяемости. Сколь серьезны эти ограничения и перевешиваются ли они преимуществами принимаемой ясной и простой формулировки, можно будет решить лишь на основе некоторого опыта в технике применения модели. В дальнейшем мы исследуем более тонкие и подробные формулировки задачи на уровне фирмы и крупных секторов народного хозяйства.

В заключение этого методологического обзора следует еще раз подчеркнуть важность экономической целесообразности и математической аппроксимации. Вовсе не обязательно, чтобы теоретическое построение было «реалистическим» в том смысле, что оно точно обосновывает путь практических действий предпринимателя.

Предельный анализ может оказаться вполне подходящим для изложения и установления в наиболее ясной форме главных результатов. С другой стороны, построение модели, предназначенной к заполнению статистическими данными, в целях помощи фирмам в деле принятия последними решений при полной информации их о существующем положении, очевидно, должно базироваться на альтернативном анализе с помощью технологической матрицы. Полезно использовать оба метода подхода — метод предельных величин и анализ в абсолютных числах — и беспристрастно судить о том, который из них принять.

Задачи и упражнения 1.

Фирма производит продукт у с помощью двух факторов и аг2). Производственная функция имеет вид Х\Х<%—ау=0. Показать, что у есть однородная функция второй степени от хх и х2. 2.

Взять производственную функцию из предыдущего упражнения в форме ххх2—ау2 = 0 и показать, что у есть линейная однородная функция употребленных факторов производства. Далее показать, что способ, в котором факторы применяются в пропорции а : 1, является допустимым и описывается постоянными технологическими коэффициентами, заданными вектором (1, а, 1). Определить другие способы, совместные с данной функцией производства, и затем построить допустимую технологическую матрицу фирмы. 3.

Техпологическая матрица основана на производственной функции, имеющей вид:

/(®lf хт\ уг, ?/2, ..., уп)= 0.

Показать, что / должна быть однэродной в любой степени.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 9.8. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ КАК МАТРИЦА:

  1. РАЗДЕЛ 1. Производственная функция
  2. РАЗДЕЛ 3. Технический прогресс и производственная функция
  3. РАЗДЕЛ 4. Штрихи к портрету производственной функции
  4. 1. Фирма как производственная функция.
  5. 2. Фирма как долговременный контракт.
  6. 3. Фирма как неполный контракт.
  7. 1.1. Определение, сущность и функции лизинга
  8. 9.7. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
  9. 9.8. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ КАК МАТРИЦА
  10. 11.6. МАТРИЦЫ
  11. А. Краткое содержание темы
  12. 1. Регион как объект прогнозирования. Региональная экономика и специфика ее прогнозирования
  13. 15. Положительно определенные матрицы
  14. Глава 30 ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ВОЙНА: РАЗРУШЕНИЕ ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ НАРОДА