<<
>>

9.7. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Теперь анализ общего экономического равновесия вступает в такую стадию, когда нужно сформулировать технические условия производства или переработки продуктов. Из раздела 9.3 следует, что производство находится в руках некоторого числа отдельных фирм, для каждой из которых технические возможности просуммированы и представлены производственной функцией формы я2, ..., хт) = 0, где х суть затраты (отрицательные величины) и выпуски (положительные величины).
С другой стороны, в разделе 9.2 мы принимали, что производство в целом для всей экономики происходит при постоянстве эффективности последовательных затрат (см. стр. 252) и имеет неизменные технологические коэффициенты, то есть ars представлял объем г-го фактора, расходуемого для производства единицы 5-го продукта (для раз • ных г и s). Нет более столь резко различающихся формулировок общей проблемы техники производства, как две приведенные, и это может служить иллюстрацией диапазона имеющихся возможностей.

Для удобства обозначения положим, что х суть объемы затрат, или .потребленных факторов, а у обозначают объемы выпусков, или произведенных товаров. Все переменные положительны или по крайней мере неотрицательны. Затем воспользуемся двумя вышеупомянутыми крайними формулировками техники производства. Во-первых, возьмем для каждой фирмы производственную функцию вида:

f(xx, х2, ..., уг, у.. 2/n)=0 (1)

и, во-вторых, примем для производства в целом постоянные технологические коэффициенты:

Х11 = aul/l> 5112 = а12?/2' • • • » х1п = а1 пУп'

Х21 — а2\У\-> Х22 = й22?/2> • • • > Х2п = й2пУ п* (2)

между затратами и выпусками принимаются жесткими и фиксированными; (1) учитывает изменение эффективности при изменении масштаба производства, а (2) предполагает эффективность производства постоянной.

Предпочтение той или иной формулировки или любой модификации их вовсе не сводится к выбору между правильным и ошибочным.

И этот выбор нельзя сделать, сославшись только на окружающие факты. В реальном мире технические условия настолько сложны, что любая их формулировка для исследования неизбежно влечет за собой упрощение. Какая именно упрощенная производственная функция будет принята, это вопрос экономического удобства и математической аппроксимации. В реальной жизни техника производства и соответствующие решения, принятые производителями, имеют много различных особенностей, и их можно рассматривать с разных точек зрения в зависимости от того, какие особенности мы считаем существенными, а какие случайными. При экономической интерпретации любой анализ удобно базировать на той или другой характерной черте производства. В одних случаях может быть важно подчеркнуть возможности взаимозаменяемости затрат и выпуска, в других — жесткие технологические связи производственного процесса. Математическая формулировка явится тогда приближением, основанным на явно упрощающих предпосылках. Такой может быть, например, предпосылка о непрерывном изменении затрат и выпуска и возможности их непрерывной взаимозаменяемости.

Рассмотрение вопроса о формулировке производственных функций начнем с простого примера. Пусть имеется один продукт у и два вида затрат хг и х2. Это допускает заменяемость факторов производства, а также фактора производства и продукта, но не взаимозаменяемости продуктов. Однако легко сделать обобщение в случае произвольного числа факторов производства и видов продукции, включая и комбинированное производство и комплексное использование различных видов затрат.

Первая формулировка отправляется от фирмы в качестве самостоятельно принимающей решения единицы. На практике это может быть не «фирма» в обычном смысле слова, а предприятие или группа предприятий или даже цех завода. Затраты и выпуск принимаются непрерывно изменяющимися и заменяемыми. Тогда производственную функцию (1) можно записать так:

У = /(яі» я2). Она имеет непрерывные частные производные

= х2) и aJr-^/afaii

которые представляют собой предельные величины продукции.

Для определения шкалы эффективности последовательных затрат в зависимости от масштаба производства; возьмем факторы производства в постоянной пропорции аг\а2, так что

y=f(Xaiy Яа2) = ф(Я),

где X характеризует масштаб производства. Если dy/dX постоянно, то выпуск возрастает пропорционально увеличению объема затраченных факторов производства, то есть налицо постоянство эффективности последовательных затрат на единицу продукции. Меняющаяся эффективность задается dy/dX, возрастающей (или убывающей) по мере увеличения Я.

При графическом изображении производственная функция y = f(xv х2) представляется трехмерной поверхностью, которую удобнее всего изобразить как систему контуров или кривых постоянного выпуска продукции на плоскости Охгх2, характеризующей затраты факторов производства:

f{xx, х2) = у1; І(хгх2)^у2\ ...

для различных фиксированных выпусков продукции у2У . .. . На рис. 34,а нанесены три отдельные кривые постоянного выпуска продукции. В точке Рг на одной из кривых (продукция уг) тангенс угла наклона касательной отрицателен и численно равен [—{dx2/dx1) = f1/f2\, то есть отношению предельных выпусков продукции, или предельной норме заменяемости х1 и х2. Шкала эффективности производства характеризуется темпом роста выпуска продукции у по мере увеличения затрат пропорционально радиусу

ОР, проходящему через точку О.

Особый интерес представляет частный случай, когда функция производства есть однородная функция степени г, так что увеличение затрат факторов производства в одном и том же отношении X влечет за собой увеличение выпуска продукции в отношении ХТ:

f(Xx19 Xx2) = Xrf(xXi х2).

О

х,

/

-Уз •Уг

?у,

Зависимость выпуска продукции от масштаба производства X, заданная ф(Я), становится в таком случае совсем простой и не зависимой от фиксированных пропорций, выбранных для затрат факторов производства:

1,

в

/

/

х,

Рис. 34

где yi— выпуск продукции, соответствующий X = 1 и первоначальным затратам факторов производства (а1иа2).

Эффективность последовательных затрат будет постоянной, не зависящей от масштабов производства, при г = 1, то есть когда производственная функция есть линейная однородная функция. При г > 1 эффективность возрастает и при г < 1 убывает. При графическом изображении кривых постоянной продукции, принятой на рис. 34, а, однородная производственная функция будет представлять систему кривых, каждая из которых есть расширение или сокращение любой другой кривой посредством радиуса, исходящего из точки О. При увеличении кривой постоянного выпуска продукции у1 в X раз получается другая кривая постоянного выпуска продукции, для которой у2= ХТух. В частном случае линейной однородности (г = 1) фиксированный выпуск продукции расширяется в том же самом отношении (у2 = Хуг), то есть эффективность последовательных затрат будет постоянной.

Все это предполагает непрерывную заменяемость факторов при производстве единственного продукта — безразлично, будет ли эффективность последовательных затрат в данной фирме величиной постоянной или варьирующей в зависимости от масштаба производства. В качестве альтернативы можно взять неизменные технологические коэффициенты, то есть форму (2) «производственной функции», опять-таки для данной фирмы. При наличии двух факторов и лишь одного продукта «производственная функция» будет иметь следующий вид52:

Х1 > aLУ И Х2 > а22Л

где ах и а2 — постоянные коэффициенты, объемы затрат двух факторов на единицу выпуска продукции. Это выражение можно рассматривать как очень специальную форму производственной функции у — f(xL, х2), когда мы при- нимаем, что затраты должны быть использованы только в пропорциях х1 : х2= = ах : а2 и не иначе. Любой излишек одного или другого вида затрат просто пропадает зря, без какого-либо увеличения выпуска продукции. Тогда «кривые» постоянного выпуска продукции принимают специальную форму, показанную на рис. 34, б. Здесь выпуск в сущности ограничен комбинациями затрат, расположенными на радиусе ОР. Производственная функция является линейной однородной функцией: при увеличении хг и х2 в пропорции К, у также увеличивается в пропорции Я.

На рис. 34, б соотношения постоянного выпуска продукции равны

Уі:у2:у3: ... =ОРг : ОР2: ОР3: ... .

Но это не единственная интерпретация технических условий производства (хх = аху и х2 = а2у). Возможно, что хх и х2 могут быть взаимозаменяемыми, давая продукцию, варьирующую в соответствии с производственной функцией (см. рис. 34, а), но в действительности фирма предпочитает ограничиться данной пропорцией затрат аг: а2. Это означает, что вместо хг и х2, произвольно варьирующих по кривой постоянного выпуска продукции, фирма выбирает значения, соответствующие радиусу ОР. Тогда при дальнейшей предпосылке, что производственная функция является линейной однородной, технологические зависимости будут иметь вид хг = агу и х2 = а2у, где направление ОР устанавливается отношением ах : а2, В этом случае нет видимой причины, почему можно взять лишь единственную пару постоянных технологических коэффициентов, то есть провести лишь единственный радиус через семейство кривых постоянного выпуска продукции. Можно взять конечное число и других технологических коэффициентов:

х11 = а11 у, или я12 = а12г/, или х13 = а13у;...,

w)

х2і = а2іУ' и™ х22 = а22у, или х23 = а23у

Каждый из этих технологических коэффициентов можно назвать производственным процессом или способом получения продукта у из частной фиксированной комбинации факторов производства хг их2. Тогда xrs=ars у, гдеаГ8— постоянный технологический коэффициент, показывающий использование г-го вида затрат (в данном случае г = 1,2) для производства у с помощью 5-го способа. На рис. 34, а каждый способ соответствует единственному радиусу типа ОР, проведенному через кривые постоянного выпуска продукции линейной однородной функции производства. Та предпосылка, что фирма производит при технических условиях (3), предполагает линейную однородную функцию производства (постоянство эффективности последовательных затрат) и выбор между конечным числом технологических способов. В самом деле, мы можем сделать следующий шаг, предполагая, что производство развивается с помощью двух или трех технологических процессов одновременно и выпуски складываются.

Производственная функция (3) не столь жестка, как может показаться на первый взгляд. Гибкость достигается комбинированием (сложением) различных технологических способов. При естественном обобщении на случай включения многих факторов производства и продуктов, эта концепция набора различных технологических способов, используемых по отдельности или комбинированно, является основой «линейного программирования» (или «анализа деятельности») фирмы, о которой речь будет идти далее. Это представляет собой реальную альтернативу непрерывной производственной функции вышеприведенного типа (1).

Например, в модели с одним продуктом и двумя факторами производства можно получить продукт, применяя четыре различных типа машин, каждый из которых соответствует различной трудоемкости изделия. Тогда в нашем распоряжении будет четыре технологических способа с постоянными технологическими коэффициентами (соответственно производительности машины). Фирма может выбрать один из этих способов или использовать их комбинацию. Производственная функция будет иметь форму (3); она включает четыре пары коэффициентов, и выбор решения фирмы представит собой простое упражнение по «линейному программированию».

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 9.7. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ:

  1. СУБЪЕКТНЫЕ ОСНОВАНИЯ ВОСПРОИЗВОДСТВА БЫТИЯ СОЦИУМА
  2. РАЗДЕЛ 1. Производственная функция
  3. РАЗДЕЛ 2. Характеристики производства Производительность
  4. РАЗДЕЛ 3. Технический прогресс и производственная функция
  5. РАЗДЕЛ 4. Штрихи к портрету производственной функции
  6. РАЗДЕЛ 0. У БАРБОСА ЕСТЬ ВОПРОСЫ. Что же такое стоимость?
  7. 1. Фирма как производственная функция.
  8. 2. Фирма как долговременный контракт.
  9. 3. Фирма как неполный контракт.
  10. РАЗДЕЛ 1. Спрос фирмы на ресурс. Конкуренция на рынке продукта
  11. РАЗДЕЛ 2. Спрос на ресурс фирмы-монополиста
  12. РАЗДЕЛ 4. Монопсония Советского государства на рынке зерна 1926 г.
  13. РАЗДЕЛ 1. О распределении в целом
  14. РАЗДЕЛ 3. Из истории исследования проблемы распределения
  15. Эффективность в производстве
  16. 1.1. Определение, сущность и функции лизинга
  17. 9.7. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
  18. 9.8. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ КАК МАТРИЦА