<<
>>

6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ

На протяжении последовательных периодов t = 0, 1, 2, ... установлены независимое потребление и независимые капиталовложения (At). Нет никаких ограничений в отношении формы динамики At, но она считается заданной.

Доход или выпуск продукции в промежутке t есть Yt. Изменение выпуска продукции от промежутка времени (t — 2) до (? — 1) вызывает капиталовложения в промежутке t ив последующие временные интервалы. Эти капиталовложения так или иначе распределены между отдельными временными интервалами. В простой модели (см. 3.7) предполагается, что индуцированные капиталовложения концентрируются в интервале t, непосредственно следующем за изменением выпуска продукции. Изменение инвестиций принимается пропорциональным изменению выпуска продукции, так что:

Индуцированные капиталовложения It = ^(У^— Гг_2). Линейная функция потребления включает распределенное запаздывание:

Потребление Ct = cxYt г + c2Yt_2.

Условием действия модели является осуществление планов капиталовложений и потребления, так что Yt = Ct + It + At. Это условие предусматривает равенство фактических сбережений и капиталовложений, то есть (Yt — Ct) = (It + At). Относительно предполагаемых сбережений ничего не известно, они зависят от того, на какой доход (Yt) рассчитывают потребители. Модель принимает во внимание возможность непредвиденных сбережений, но не допускает непредвиденных капиталовложений.

Условие действия модели можно записать в виде конечно-разностного уравнения второго порядка (см. 3.7): (1)

или

Yt — (v + cJY^-lv-cJY^ + At,- Yt = cY^ + (v- c2) (Y^ - Yt_2) + At, Структурные постоянные модели суть v, сг и с2; с — сг + с2 — совокупная предельная склонность к потреблению, s = 1 — с — совокупная предельная склонность к сбережениям. Единственные налагаемые ограничения таковы:

v > 0, 0 < с1У c2, c, s < 1.

Прежде всего нужно найти частное решение уравнения (1), которое было бы, если возможно, выражением линии тенденции или динамическим уровнем равновесия Yt.

Частное решение зависит от принятой формы динамики независимых расходов At.

Мы уже рассматривали (см. 3.8) возможность динамического равновесия при росте в геометрической прогрессии Yt = Y0(l+Q)*, где Q —заданный неизменный темп роста. Когда независимые расходы неизменны (At — A для всех t), то имеет место подвижное равновесие, прогрессирующее с темпом Q при условии, что r = Q является корнем уравнения

R = Г2— (v - с2 - 5 — 1) г + 5 = 0.

В общем рост в геометрической прогрессии существует как тенденция, совместная с моделью, даже в случае постоянных независимых расходов.

Если же независимые расходы растут в геометрической прогрессии, то есть At=A0(l + г)1 для данного г, то Yf = Y0(l + r)' является частным решением (состоянием равновесия) уравнения (1) при

у0 = ло(Н-г)2 при условии R> о.

Здесь г задано и Yt должно возрастать с тем же темпом г, что и At (см. 3.8, упражнения 3 и 4). Возрастание выпуска продукции в геометрической прогрессии обычно имеет место как постоянная тенденция, и темп роста определяется темпом роста независимых капиталовложений. В частном случае (г = 0), At=A, т. е. постоянной величине (для всех t), и существует уровень равновесия У — , заданный мультипликатором.

При другой динамике независимых капиталовложений возникают иные типы движения выпуска продукции Yt к состоянию равновесия. Например, динамика At может представлять заданное колебательное движение; тогда и линия положений равновесия Yt будет также колеблющейся (см. 6.6).

Теперь предположим, что при заданном изменении независимых капиталовложений At определена и некоторая соответствующая тенденция или линия положений равновесия Yt для продукции. Положим, что yt — Yt — Yt есть отклонение выпуска продукции от уровня равновесия. Тогда, поскольку оба — и Yt и Yt — удовлетворяют уравнению (1), мыполу^ чаем следующее конечно-разностное уравнение:

yt = (v + c1) Уг_г - (v - с2) yt_2,

или

УІ = сУІ-І + ™(Уі-Х-УІ-2)І (2)

где

w — v-c2.

Конечный и наиболее важный йаг — решить уравнение (2), чтобы получить движение yt во времени при любых заданных начальных возмущениях.

Это решение должно ответить на следующие вопросы: колеблется ли Yt вокруг Yf, и если да, то будет ли. это колебание взрывным или затухающим при бесконечном возрастании t?

Структурными постоянными являются инвестиционный коэффициент Vy совокупная предельная склонность к потреблению с и вторая частичная склонность к потреблению с2. Обычно нет необходимости рассматривать другую частичную склонность к потреблению сг — с — с2. При заданном с распределенное запаздывание потребления характеризуется с2.

Уравнение (2) показывает, что, действительно, важны только две структурные постоянные с и w = v — с2. Действие распределенного запаздывания потребления сводится только к уменьшению величины У, то есть ослабляет силу акселератора. Постоянную w = v — с2 можно назвать ослабленным инвестиционным коэффициентом. В «элементарном случае» Хикса (с2 = 0) w является инвестиционным коэффициентом v; по мере удлинения запаздывания потребления величина w уменьшается при любом заданном инвестиционном коэффициенте v. Иными словами, данной величине w соответствует более сильный акселератор. При интерпретации решения уравнения (2) вторую постоянную с удобно заменить предельной склонностью к сбережениям, равной s—1 — с.

В разделе 6.2 будет установлено, что встречаются четыре случая: Изменение УI во времени

Структурные постоянные

(S И ttf=V—С2) I. 0У<(1—1/7)2 II.

(1—]/l)2o1<Ш<(1 + /5)2 IV.

(1+/7)2<ш

Неколебательное затухающее Колебательное затухающее Колебательное взрывное Неколебательное взрывное На рис. 11 показана сущность решения для всех комбинаций s и w- Кривая АВ изображает w = (і -у l/s)2, кривая ВС есть w = (l + ]/s)2.

Будет ли изменение yt затухающим (w < 1) или взрывным (ш > 1)г зависит только от до. Влияние s сказывается лишь на пределах величины wr необходимых для возникновения колебательного изменения yt. При очень

малых s колебания возникают лишь тогда, когда w близко к 1. При увеличении s колебательные решения существуют в большем интервале. Или же, что приводит к тому же самому, при малом s и любом значении w, заметно превышающем 1, движение yt будет равномерно взрывным; при увеличении s для этого требуются большие значения W.

Точнее, колебания возникают при условии s>(l — (см. упраж

нение 4). Следовательно, если w находится между 0 и 4, то всегда существует положительная дробная величина s, достаточная для появления колебаний в yt.

с2 — показатель распределенного запаздывания потребления — всегда способствует ослаблению силы действия акселератора. В «элементарном случае» (с2 = 0) величины, порождающие колебания, расположены на интервале (l — Ys)2 < v < (l + Vs)2» a v = 1 соответствует регулярному колебанию. В случае распределенного запаздывания также возрастает с2г

границы интервала расширяются до (l — YST + с2 < у <(l + V~ST + а регулярному колебанию в этом случае соответствует v — l + с2. Акселератор определенной силы действует тем слабее, чем больше величина с2 и чем продолжительнее среднее запаздывание. Более мощный акселератор необходим для взрывного изменения уг В более широкой области значений акселератора возникают затухающие изменения. Существование распределенных запаздываний потребления способствует сходимости и устойчивости yt.

Задачи и упражнения

1. At увеличивается с данным геометрическим темпом г, так что существует изменяющееся в геометрической прогрессии положение равновесия Yt при условии R > О. Показать, что это имеет место при любых значениях /•, если то есть в случае колебаний. Доказать далее, что трудность возникает только при V—с2 > (1 + У%)2 и что в этом случае, когда действует сильный акселератор, растущее в геометрической прогрессии положение равновесия еще существует, если г достаточно мало (см. 3.8, упражнение 4). 2.

Найти область значений v для решения с колебательным движением: I) при s = = с2 = 0,25 и II) при 5 = 0,04, с2 = 0,06. 3.

В частном случае при v — c2 показать, что конечно-разностное уравнение относительно у % является уравнением первого порядка со сходящимся к нулю решением. Входит ли это в приведенные в таблице текста случаи I — IV? 4.

Дано, что w — v—с2. Рассмотреть влияние s на характер решения относительно yt. Показать, что интенсивность затухания при любых значениях s зависит от величины Yw-Показать, что в случае s > (1 — jSw)2 возникают колебания и что при s<(l — У™)2 имеет место неколебательное движение. Объяснить это и рассмотреть на примере г7 = 1, с2 = 0,25. 5.

Пусть s = 0. Это не предполагает, что фактические сбережения равны нулю. Показать, что в этом случае не может возникнуть колебательное движение Показать, что конечно-разностное уравнение будет иметь вид:

{Уі—Уі-і) = о> (Уі-і—Уи*)>

и решить его для zt = Ух—yt_x. Согласуется ли это с результатами предыдущего упражнения? Дать объяснение и сопоставить с упражнениями 3 и 4 из раздела 3.7.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ:

  1. 3.5. МОДЕЛЬ ФИЛЛИПСА С МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ-АКСЕЛЕРАТОРОМ
  2. 3.7. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА — ХИКСА, ВКЛЮЧАЮЩАЯ МУЛЬТИПЛИКАТОР И АКСЕЛЕРАТОР
  3. 5.7. ОТСТАВАНИЯ, РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ И МУЛЬТИПЛИКАТОР-АКСЕЛЕРАТОР
  4. 6.8. ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЦЕНТРИРОВАННЫХ (СКУЧЕННЫХ) КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ
  5. 3.4. МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА ФИЛЛИПСА
  6. 2.7. МОДЕЛЬ С ДИНАМИЧЕСКИМ МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ
  7. ГЛАВА 2 КЕЙНС И КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ: МУЛЬТИПЛИКАТОР
  8. 6.7. БОЛЕЕ ОБЩАЯ МОДЕЛЬ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  9. ГЛАВА 1 ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ И ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
  10. 7.2. ПРОСТОЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИ ГУДВИНА
  11. 1.3. ПРОСТАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ
  12. 9.3. Простейшая модель эпидемии
  13. 6.2. ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОСТОЙ МОДЕЛИ
  14. 3.2. АКСЕЛЕРАТОР
  15. ГЛАВА VII НАСКОЛЬКО ПРОСТО РАССУЖДЕНИЕ, КОГДА ПРОСТ САМ ЯЗЫК
  16.     ЧТО ТАКОЕ НОРМАЛЬНАЯ ЖИЗНЬ НА УРОКЕ?     Десять лет спустя: не просто простые вопросы, а путь к ответу