1.3. ПРОСТАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ

Этому будет грубо соответствовать предпосылка об изменении цены на стороне спроса, а не предложения.

x=z?0 w)=S(P)?

Если функции линейны, то

Х = а±аР + а1§- = р + ЬР. (1)

Положим P(t) = P и Х(?) = Х для всех t, то есть для совместного положения равновесия обеих переменных:

Х = а + аР = $+ЬР. (2)

Таким образом, значения равновесия, определяемые уравнением (1) из раздела 1.2, снова совместны с моделью. Вычтем (2) из (1) и положим р = Р — Р и х = Х — X. Так как dp/dt = dP/dt, то

х = ар+а'г^=Ьр. (3)

Уравнения (1) и (3) представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка. Положим c = (b — a)/av Тогда дифференциальное уравнение относительно будет иметь вид Для решения заметим, что

1 dp d , J4T = dtlaP-

Тогда

то есть то есть или

d л

In p = const + ct9 P = PoeCi>

p = p + (p0-p)ect.

В обычном случае a < 0, аг < О, Ъ > 0, то есть с( = (Ь — а)/аж) < 0. Следовательно, цена P(t) движется во времени монотонно к Р—цене равновесия, так как разность р-^0 подобно показательной функции е1. Менее обычен случай, когда также Ъ < 0. Но если только — Ъ < —а, то есть угол наклона D к оси ОР в плоскости ОРХ (см. упражнение 1) больше, чем угол наклона 5, то приходим к тому же результату, что и в первом случае. Дифференциальное уравнение этой модели имеет меньше решений, чем соответствующее конечно-разностное уравнение, приведенное выше <см. 1.2).

Задачи и упражнения

1. Показать, что если а< 0, fli<0, Ь<0, то в этой модели существует две возможности для P(t), то есть если —Ь>—а, то монотонно Р —>> оо, и если ——а, то Р —^ Р. Дать графическую интерпретацию полученному результату. 2.

Построить и исследовать динамическую модель, в которой цена варьирует на стороне предложения, а не спроса. 3.

Дать следующее обобщение модели: D и S зависят каждое от Р и dP/dt. Решить для линейного случая, где D=a-\-a0P-\-a1(dP/dt)y S = fiJt-b0P-{-b1(dP/dt). Какое экономическое истолкование может быть дано этой модели? (См. [2, гл.4].)