7.2. ПРОСТОЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИ ГУДВИНА

Нелинейную форму акселератора Гудвина легче всего пояснить на примере его простейшей модели с «грубыми допущениями относительно технического прогресса» [2, стр. 4—8]. Все переменные являются функциями непрерывно меняющегося времени, и условие действия модели сводится к известному соотношению для дохода или выпуска продукции:

Y = C + I + A,

где С = cY — функция потребления без запаздываний, I — определенная тем или иным образом сумма чистых капиталовложений и А — независимые расходы на потребление. Подставив в формулу для Y выражение С, получаем соотношение, соответствующее мультипликатору без запаздываний:

А)

А принимается постоянным.

Акселератор в нелинейной форме вводится при истолковании чистых капиталовложений /. Пусть в какой-то момент времени К — фактическая, а К — желаемая величина основного капитала. Тогда, по определению, I — ^ . Примем (2)

K = vY + at,

d~K dY . lti=vlTt+a- Здесь a — положительная постоянная, характеризующая тенденцию технического прогресса, положительный коэффициент v — предельная величина желаемого отношения капитал — доход; v предполагается постоянным.

Остается связать фактическую и желаемую величины основного капитала. Существуют две границы для величины фактических капиталовложений. Нижняя граница определяется постоянной нормой возмещения (или износа) М наличного капитала, верхняя — постоянной мощностью L + M отраслей, производящих капитальные блага. Валовой выпуск 193

13 Р. Аллен этих отраслей должен находиться в интервале (О, L + M), а чистый выпуск (I = dK/dt) — в интервале ( — Af, L). При нелинейном характере зависимости предполагается, что капиталовложения держатся на высшем уровне- до тех пор, пока К < К, что они равны величине тенденции (а) при К — К и достигают нижней границы при К > К:

I = ^ = а или — М (3)

в соответствии с тем, что К меньше, равно или больше К.

Нелинейный акселератор, введенный уравнениями (2) и (3), характеризует косвенную зависимость I от изменения выпуска продукции dY/dt. Последнее меняет желаемую величину основного капитала К в силу (2), что в свою очередь через уравнение (3) определяет норму фактических капиталовложений.

Уравнения (1) —(3) описывают систему. При ^ = ^ уравнения (1) и (2) преобразуются так:

<4>

В любой фазе, определяемой условиями (3), I = dK/dt остается постоянным,, то есть равным Z, а или — М, и, следовательно, из уравнения (4) можно установить следующие возможные фазы:

Таблица 1 Фаза dK dt Y к dK dt d (K~K) dt К—К < 0 L A+L 1 — с •JL-(A+L) + at a L—a К—К = 0 а А+а 1-е -2-(Л + а) + а* a 0 К—К> 0 —М А — М 1-е JL-(A-M) + at a -(.M+a) Помимо действия тенденции (а), изменения связаны лишь с переходом системы от одной фазы к другой. Действие системы лучше всего показывает «фазовая диаграмма» на рис. 17, в которой значения d(K — K)/dt нанесены против значений К —К.

Точка О на рис. 17 характеризует положение (подвижного) равновесия при условии, что dK/dt^dK/dt — a и Y = (А + а)/(1 — с), как дается мультипликатором. Капиталовложения развиваются с желаемой скоростью тенденции, и, коль скоро достигнуто положение равновесия, оно сохраняется и в дальнейшем. Однако оно неустойчиво. При наличии начальных нарушений система не будет стремиться к положению равновесия, она будет описывать регулярные колебания, определяемые циклом ABCDA на рис. 17. Мы рассмотрим кратко характерные особенности различных: фаз, изложенных в табл. 1.

Допустим вначале, что К>К, так что d(K — K)/dt= — (М + а) < 0. Следовательно, К —К положительно, но уменьшается с течением времени до нуля. На рис. 17 это движение от С до D показано линией CD. По достижении точки D, K = K = v(A — M)/(l — c) +at. Но тогда d(K — K)/dt превращается в нуль, и К увеличивается до v(A + а)/(1 — с)-{-at. Сразу же К<К, так что d(K — K)/dt становится равным (L — а) > 0 и К возрастает до v(A-\- L)l{i — c)\-aU Следовательно, по достижении точки D немедленно, без остановки в точке О, происходит скачок в точку А. Фаза.

К—К отрицательна, но в течение времени, пока она находится в действии, она возрастает до нуля (движение от А к В).

Когда достигнута точка В, то путем обратного процесса следует непосредственное возвращение в точку Z), и цикл начинается снова.

Регулярное колебание представляет собой цикл чередующегося подъема (АВ) и спада (CD). Следует подчеркнуть, что подъем и спад имеют разную продолжительность. Во время подъема dK_ dt

dK т

= a и K = j^-.(L + A) + at,

і—с то есть К возрастает, так что увеличение К со скоростью L будет продолжаться до тех пор, пока К не достигнет растущего значения К. В период депрессии 1-е

= а и

К -

(-M + A) + at,

dK dt

dK dt

то есть уровень К меньше, но, как и прежде, К возрастает. Уменьшение К (со скоростью М) будет продолжаться до тех пор, пока не совпадут падающее К и растущее К. Как показывает движение во времени К и К

? («-«> K.R

\ \

\

N

\

\

\

\ ЧД — -_( \

\

\

\

\

Ч

Ч

Ч

4 ? ( \

d О \ [ ч

ГШ 4 С 1 (к-Ю

Рис. 17 (рис. 18), подъемы в общем продолжительнее депрессий. Это подтверждается и соответствующим движением У (рис. 20, а). Из табл. 1 видно, что значения У чередуются в интервале [(^4 -f L)/( 1 — с), (А — М)/( 1 — с)], тогда как I = dK/dt — в интервале (Z, — М). Такие чередования представляют собой прерывные изменения Y И / И совершенно не соответствуют ЭКОНО-V мической действительности. Они являются результатом введения слишком специальной формы акселератора — без запаздываний. Более общий и «реалистический» вариант модели мы рассмотрим в разделе 7.3. Хотя эта модель и недоработана, она имеет три положительных свойства. Во-первых, в системе имеются присущие ей самоподдерживающиеся колебания. Взрывной характер акселератора сдерживается косвенной (или нелинейной) зависимостью инвестиций dK/dt от изменения выпуска продукции dY/dt. Нет необходимости ни в «потолке» модели Самуэльсона- Хикса, ни в ряде «беспорядочных ударов» для сохранения затухающего- колебательного движения. Более того, колебательное движение совсем не зависит от начальных условий (см. упражнение 2). Во-вторых, продолжительность подъема и депрессии неодинакова, они могут совпасть лишь случайно. На рис. 18 желаемая величина основного капитала К увеличивается, хотя и скачками, с постоянной скоростью а, фактическая величина основного капитала в период подъема увеличивается со скоростью L, а во время депрессии уменьшается со скоростью М. Продолжительность подъема во сравнению с депрессией больше для высокого темпа технического прогресса а и для высокой нормы возмещения основного капитала по отношению к мощности отраслей, производящих капитальные блага. В-третьих, проводится различие между индуцированными и независимыми изменениями желаемого уровня основного капитала. Изменение желаемой величины основного капитала представляет собой сумму индуцированных изменений (vY) и накопленных изменений, связанных с техническим прогрессом, который является независимым фактором. Так снимается большая часть возражений против разделения изменений на независимые и индуцированные. В то же время становится возможным легко приспособить модель к теории обновления основного капитала, развитой Шумпетером. Равномерный рост желаемой величины основного капитала отражает тот факт, что технические изменения во времени могут происходить довольно регулярно. Но фактическая величина основного капитала возрастает неупорядоченно и с запаздываниями.

Задачи и упражнения 1.

Показать, что падение К в точке В на рис. 17 равно v (L-\-M)/(i — с) и тождественно росту К в точке D. Доказать, что излишек основного капитала, освобождающегося во время депрессии, равен дефициту его в период подъема. Объяснить это с помощью рис. 18 и связать с различиями в продолжительности подъема и депрессии. 2.

С помощью рис. 17 показать, что при начальном положении К<^К (вместо К>К) получится тот же самый цикл и что он не зависит от величины первоначальной разности между К и К. 3.

Показать, что существо модели не изменится, если допустить неуклонный равномерный во времени рост независимых расходов на личное потребление.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 7.2. ПРОСТОЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИ ГУДВИНА:

  1. 7.3. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МОДЕЛИ ГУДВИНА
  2. ГЛАВА 1 ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ И ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
  3. 7.6. МОДЕЛИ КАЛЕЦКОГО. ПОЗДНЕЙШИЕ ВАРИАНТЫ
  4. 7.4. РАННИЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИ КАЛЕЦКОГО
  5. 1.3. ПРОСТАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ
  6. 9.3. Простейшая модель эпидемии
  7. 6.2. ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ ПРОСТОЙ МОДЕЛИ
  8. 6.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МУЛЬТИПЛИКАТОРА-АКСЕЛЕРАТОРА С КОНЦЕНТРИРОВАННЫМИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯМИ
  9. ГЛАВА 7 ТЕОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЦИКЛА ГУДВИНА, КАЛЕЦКОГО И ФИЛЛИПСА
  10. ГЛАВА VII НАСКОЛЬКО ПРОСТО РАССУЖДЕНИЕ, КОГДА ПРОСТ САМ ЯЗЫК
  11.     ЧТО ТАКОЕ НОРМАЛЬНАЯ ЖИЗНЬ НА УРОКЕ?     Десять лет спустя: не просто простые вопросы, а путь к ответу