7.4. РАННИЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИ КАЛЕЦКОГО

Динамическая модель Калецкого [3], [4], [5] впервые была предложена в докейнсианский период, и с тех пор она была значительно усовершенствована. Модель приводит к смешанному дифференциально-разностному уравнению.
Оно в общем мало изменялось по форме в последовательных вариантах модели, но менялось его истолкование. В настоящем разделе анализируется по существу ранняя модель Калецкого [3] лишь с незначительными изменениями.

Переменные снова являются функциями непрерывно изменяющегося времени. Принимается, что мультипликатор, то есть функция потребления, или предложения, не имеет запаздываний. Внимание концентрируется на факторах, определяющих принятие решений об инвестициях и фактических затратах.

Условием действия модели является хорошо знакомое разложение выпуска продукции (дохода) на потребление С, накопление I и независимые расходы А:

Y = C + I + A,

где С = cY и А заданы. Следовательно, доход определяется капиталовложениями в соответствии с мультипликатором без запаздываний:

У=4±4. А)

1 — с

Центральной переменной на стороне капиталовложений является B(t), определяющая решения об объеме инвестиций в момент t. Предполагается, что в соответствии с решениями инвестировать (то есть с заказами на капитальное оборудование) через фиксированный интервал времени 0 производятся поставки и осуществляются денежные платежи в течение периода производства и установки оборудования. I(t) представляет собой фактические чистые затраты на капиталовложения в денежном или натуральном выражении. Чтобы выделить поставки, опять-таки за вычетом возмещения, обозначим через K(t) запас наличного основного капитала в момент t, так что скорость поставок нового оборудования, не предназначенного для возмеще- ния, составит dK/dt. Предпосылка о наличии запаздываний на стороне капиталовложений приводит к следующему:

t

/(0 = 15 B(t)dt (2)

t-Q И

±K(t) = B(t-Q). (3)

Определение B(t) напоминает акселератор в других моделях, но взятый здесь лишь в несколько отличной форме. Предпосылка сводится к следующему: на B(t) влияет в прямом направлении норма сбережений S(t) — = (1 — c)Y(t) и в противоположном направлении наличный запас основного капитала K{t). Если принять эти зависимости пропорциональными и не имеющими запаздываний, то в таком случае

B = aS — kK + e,

где а и к — положительные постоянные и є есть член, выражающий тенденцию, взятый здесь в виде постоянной, но в общем могущий изменяться с течением времени. Следовательно,

Я = а(1-с)У-/с# + е. (4)

Очевидно, что объем решения об инвестициях зависит не от изменений дохода dY/dt (как в акселераторе), а от его уровня У. Если коэффициент а очень велик, эта зависимость может оказывать неустойчивое влияние. Но решение инвестировать зависит также (в противоположном смысле) и от наличного запаса основного капитала, и при большом коэффициенте к эта зависимость оказывает очень важное умеряющее влияние на систему. Действительно, следует ожидать, что совместное действие изменений У и К на решения об объеме инвестиций будет подобно влиянию слабого акселератора.

Важно отметить, что при отсутствии в системе отставания 0, то есть при отсутствии его в уравнениях (2) —(4), зависимость между капиталовложениями и доходом будет точно такая, как при акселераторе с запаздыванием.

При 0 = 0 уравнения будут иметь вид:

/ = ?; и Я = а(1-с)У-/сЯ + є.

Продифференцируем последнее из них и результат подставим в остальные:

dB-at\ c\dY kdK

то есть

dl , 7 r 7 dY а (1 —с)

d

При операторной записи дифференцирования D=—, получим

Это выражение представляет собой акселератор с непрерывным запаздыванием в форме показательной функции. Мощность акселератора v = a(l — с)/к, а временная постоянная его запаздывания Т = 1/к.

Постоянная к зависит от выбранной единицы времени; она проявляется как норма решений об инвестициях по отношению к наличному основному капиталу. Она определяет временную постоянную запаздывания акселератора. Постоянная а не зависит от выбора единицы времени. Обычно а представляет собой положительную дробь, причем если оно мало, то заключающийся в модели Калецкого акселератор действует слабо. Для подтверждения того, что а будет малой величиной, заметим» что сбережения, за счет которых финансируются капиталовложения* состоят главным образом из нераспределенных прибылей и прочих «внутренних» сбережений предприятий, которые значительно меньше общей величины сбережений в народном хозяйстве.

Система полностью описывается уравнениями (1) —(4). Она включает четыре переменные величины: У (?), I (t), K(t) и B(t). Зависимости достаточны для исключения трех переменных и получения одного уравнения относительно четвертой. Выберем для этой цели переменную К (t) — величину основного капитала в момент t. Подобное же уравнение можно получить и для любой другой переменной, например У (?) или I(t). Из уравнений (2) и (3) имеем

t f-4-Є

то есть

{*(<-:-e}-*(*)}. (5>

Затем из уравнения (1) получаем

(Б>

Подставим это выражение и В (t) =К (tQ) из (3) в уравнение (4): ± К (t + Є) = I {К (t + 0) - К (<)} - kK (t) + (аА + є),

то есть

|tJC(« + e) = |iC(« + 0)-(fc + -5-)x(t) + (oil + 8).

Приходим к уравнению относительно K(t). Это смешанное дифференциально- разностное уравнение. При условии, что А и є постоянны во времени, существует уровень равновесия К = (аА-\-г)!к. Если К измеряет отклонение от К и если t преобразуется в ? — 0, то уравнение примет вид:

+ (7)

Динамика K(t) находится из решения уравнения (7). Остальные переменные получаются из уравнений (3), (5) и (6). Если Y(t) также измеряет отклонение от уровня равновесия У = Л/(1 — с), то в таком случае

У __K(t+Q)-K(t)

1 ~ Є (1 — с)

Задачи и упражнения 1.

Рассмотреть случай, когда сбережения и наличный основной капитал оказывают влияние на валовые, а не на чистые капиталовложения, так что уравнение (4) будет характеризовать решения относительно объема валовых капиталовложений. Показать, что модель не изменится, если норма возмещения R (г) принимается неизменной на протяжении цикла. Оправдано ли это? Если нет, то какие затруднения возникнут в случае JR (t), пропорционального К (і)? 2.

Показать, что Y (t) удовлетворяет точно такому же уравнению (7), как и К (t)y и что, следовательно, динамика Y (t) будет отличаться от динамики К (t) лишь начальными условиями. 3.

Исследовать влияние на уравнение (7) введения члена -\-vdY/dt как фактора,, определяющего объем утвержденных инвестиций [как в уравнении (4)]. Объяснить с помощью акселератора и егб взрывного действия.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 7.4. РАННИЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИ КАЛЕЦКОГО:

  1. 7.6. МОДЕЛИ КАЛЕЦКОГО. ПОЗДНЕЙШИЕ ВАРИАНТЫ
  2. 7.2. ПРОСТОЙ ВАРИАНТ МОДЕЛИ ГУДВИНА
  3. ГЛАВА 7 ТЕОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЦИКЛА ГУДВИНА, КАЛЕЦКОГО И ФИЛЛИПСА
  4. Глава III Ранний Кант.
  5. ЧАСТЬ ВТОРАЯ РАННИЙ ХАЙДЕГГЕР
  6. Лекция 22: Этруски и Ранний Рим.
  7. Ранний латен
  8. Группа С. Медиаобразовательные модели, представляющие собой синтез социокультурной, образовательно-информационной и практико- утилитарной моделей Медиаобразовательная модель А.В.Шарикова [Шариков, 1991]*
  9. Ранний возраст
  10. 4. РАННИЙ ШЕЛЛИНГ
  11. ' Ранний этап
  12. 2. РАННИЙ АШШУР
  13. Ранний железный век
  14. Ранний железный век в Греции
  15. 1.3.2. Ранний период онтогенеза (18-30 мес.)
  16. Ранний железный век на Пиренейском полуострове
  17. Ранний Хайдеггер и «Бытие и время»: определение временных рамок исследования
  18. ГЛАВА 1 ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ И ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ