5.1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

На практике простейшие разностные уравнения возникают при исследовании изменения переменной Yx, представляющей сумму, накопляемую по установленному закону при целочисленных значениях аргумента ж = 0, 1, 2, ..., например Yx возрастает на каждом шаге в установленном размере.

П = +

Если начальная сумма составляет У0, мы приходим к задаче отыскания решения полученного разностного уравнения, подчиненного начальному условию

Yx = У0 при х = 0.

Полученное разностное уравнение содержит Yx и значение этой переменной на один год раньше, то есть Yx_x] в данном случае аргумент х явно не входит в разностное уравнение. Частное решение разностного уравнения есть явная функция, определенная при я = 0, 1, 2, .. . и удовлетворяющая как самому уравнению, так и начальным условиям. В рассматриваемом случае У2Г = У0(1 + г)х (см. 5.3).

Возьмем другой вариант. Пусть теперь в конце каждого года делается вклад У0, равный начальному вкладу. Разностное уравнение принимает вид

Ух = (і + т)Ух_г + Г»

пусть по-прежнему его решение подчинено условию Yx = У0 при X = 0. Частное решение этого разностного уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, есть

Ух = [(1 + г)х*г — 1]

(см. 5.3, упражнение 10).

Если разностное уравнение выражает общий член ряда и0> uv и2, ..., то сумма первых х членов этого ряда, то есть

Sx = u0 + u1+ ...+их,

будет удовлетворять разностному уравнению. Член ряда за номером х, то есть их, есть та величина, которую нужно прибавить к Sx_1 для получения Sx: Sx — = Раз ux = f(x), то есть их определено через х (х = 0, 1, 2, ...), то это есть разностное уравнение, подлежащее решению для нахождения Sx, выраженного через х.

Вообще говоря, обыкновенное разностное уравнение устанавливает связь между значениями функции У = У {х), рассматриваемой для ряда равноотстоящих значений аргумента х, но можно без ограничения общности считать, что искомая функция определена для равноотстоящих значений аргумента с шагом, равным единице. Таким образом, если начальное значение аргумента есть х, то ряд его равноотстоящих значений будет х, х + 1, х + 2, ... и в обратном направлении: х, х — 1, я — 2, ... .Соответствующие значения функции мы будем обозначать Yx, Ух+1, Ух+2» • • • или Yx, Yx l, Yx_2, .... Это обозначение удобно; оно достаточно хорошо подчеркивает, что рассматриваются только изолированные равноотстоящие значения х. Определим так называемые разности различных порядков функции Yx с помощью следующих формул:

Разности второго порядка

Д*Уж = ДУх+1-ДУж> Д'У^ДУ^-ДУ^, Д2^Х + 2 — Д^х+3 Д^х+2 »

Разности третьего порядка Д»У!С = Д«У!в+1-Д»Ух, Д'У^-Д'У^-Д'У^,

Разности первого порядка ЛУ — У — У

Я ± DC + 1 Л X»

ЛУ — У — У

х + 1 — х+2 1 х+1»

АУ^+г = ^х+3 ^х+2»

Ясно, что разность любого порядка есть снова функция, определенная при тех же значениях аргумента х, х + 1, х + 2, .. . .

Дадим теперь следующее определение обыкновенного разностного уравнения, аналогичное определению обыкновенного дифференциального уравнения.

Именно обыкновенным разностным уравнением мы назовем уравнение, связывающее значения одного независимого аргумента х, его функции Yx и разностей различных порядков этой функции АУЛ, A2y*, А3^» .... Такое уравнение можно записать в общем виде следующим образом:

Уж, ДУЖ, Д*УЯ ДпУ*) = 0, (1)

которое по форме аналогично дифференциальному уравнению.

Порядком разностного уравнения называется порядок наивысшей разности, входящей в это уравнение. Так, уравнение первого порядка содержит АУ^, но не содержит разностей более высокого порядка; уравнение второго порядка содержит A2УХ, но не содержит разностей порядков выше второго.

Разностное уравнение вида (1) часто удобнее записать, пользуясь не разностями неизвестной функции, а ее значениями при последовательных значениях аргумента, то есть выразить АУ^, A2YX, A3YX, .. . через Yx9 У,+1, Ул+2, .... При этом разностное уравнение первого порядка ф(?, Ух, АУх) = 0 приобретет вид Yx, Ус+1) = 0 после подстановки

АУх. = Ух+1 — Yx. Разностное уравнение второго порядка ср(я, Ух, АУХ, Д2Ух) = 0 запишется в виде г|)(х, Yx, Ух+1, У^+г) —0» так как А2УХ = = ДУж+1 - ДУЖ = (Ух+2 - Yxtl) - (Ух+1 - Ух) = Уя+2 - 2Ух+1 + Yx. Заметим, что уравнения %(х, Yx, Yx_1) = 0 и со(х, Ух, Yx_lt У^_2) = 0 представляют собой соответственно разностные уравнения первого и второго порядков, где равноотстоящие значения х отсчитываются в противоположном направлении. Эти уравнения могут быть приведены к прежней форме с помощью подстановок соответственно х = х — 1 и х = х — 2.

Вообще, разностное уравнение п-то порядка (1) может быть указанным образом приведено, например, к одной из следующих двух

<форм:

, г|>(ж, Yx, YXil FK+J = 0, (2)

Х(х,Ух,Ух_1г ...,Yx_n) = 0. (3)

Рассмотрим пример, наглядно показывающий возможность написания одного и того же разностного уравнения в одной из трех форм: (1) —(3). Пусть задано разностное уравнение первого порядка в форме

ДУя = Уя + *+1. (а)

Заменив AYx через Ух+г — Ух, мы приходим к уравнению

Yxtl = 2Yx + x +1. (б)

Произведем замену аргумента, обозначив = Опуская штрих,

получим

Yx = 2Yx_^x. (в)

Ясно, что (а), (б), (в) —три различные формы одного и того же разностного уравнения. Форма записи разностного уравнения несущественна; это вопрос удобства. Однако мы в дальнейшем будем предпочитать форму (в), часто используемую при исследовании экономических задач. Разностное уравнение га-го порядка, записанное в общей форме (3), содержит значение искомой функции Yx при значении х аргумента и при его значениях, отстающих на 1, 2, ..., га временных единиц, то есть-при аргументе х — 1, х — 2, ..., причем максимальное запаздывание равно га.

Как в предшествующей главе о дифференциальных уравнениях, мы будем рассматривать здесь исключительно линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Такое уравнение га-го порядка имеет следующий вид:

+ alYx-l + . • . + an-lYx-n*l + anYx-n = f (*). (4)

где коэффициенты a0t а19...,ап суть некоторые постоянные, причем ап ф О (если ап = О, то уравнение будет не га-го порядка, а более низкого); f (x) есть некоторая функция от х> в которую аргумент входит явно, а независимая переменная отсутствует. Если правая часть f(x) не равна нулю тождественно, уравнение называется неоднородным. Соответствующее однородное уравнение мы получим, заменив правую часть (4) нулем:

0. (5)

В однородное уравнение (5) х явно совсем не входит. Приведем несколько примеров линейных разностных уравнений вида (4) и (5), каждое из которых записано в двух формах: с помощью значений искомой функции при равноотстоящих значениях аргумента и с помбщью разностей: I

YX-YX_1= а*"1 или AYX — ах, II

Yx-aYx_1 = а*"1 или AYx-(a-i)Yx = ax,

ш Ух = Ух-і-Ух-* или №Ух + ЬУх + Ух = °> IV

8^-6^ + ^ = 0 или 8А2ух + Юлу,,. + Ъуя = 0, V

Yx-a*Yx_2 = ах + р или Д»У, + 2ДУ,-(а»-1)Уя = а(я-1- 2) + р, VI

ух - + 4г/х_2 - 2ух_3 = 0 или А3ух + Аух = 0.

Задачи и упражнения

1. Пусть 2/=а?3. Проверить, что таблица последовательных разностей, вычисленных при х=0, 1,2,..., имеет следующий вид: X Ух Д5Ч д4У* 0 0 1 6 6 0 1 1 7 12 6 0 2 8 19 18 6 ... 3 27 37 24 ... ... ~4 64 61 ... . •. 5 125 ... Составить аналогичную таблицу для функции у = х4. 2.

Обобщить результат предыдущей задачи, установив, что разности и-го порядка любого многочлена п-й степени постоянны, а разности порядка выше п равны, кроме того, нулю. 3.

Составить таблицу последовательных разностей для функции у = cos х при х — 0, я, 2я, Зя,... и установить, что разность любого порядка постоянна, но что знаки разностей последовательных порядков чередуются. 4.

Выразить Лух, Л2г/Х и №ух через yXi ух+1, ух+2 и ух+3. Обратно, выразить ух+1, Ух+2 и Ух+з через ух, Д?/х, Л2г/Х и А3ух. В примерах (I) — (VI) (стр. 138) каждое разностное уравнение, стоящее в левом столбце, записать с помощью разностей, проверив тем самым результат, данный в правом столбце.