7.5. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ

Без потери общности единицу времени можно выбрать так, что 0=1, то есть будет равно фиксированному интервалу времени между моментом размещения заказов и получением по ним капитального оборудования. Вариация основного капитала в модели Калецкого определяется из решения уравнения (7) из предыдущего раздела:

d-m.

= aK{t)-bK{t-1), (1)

где 0<а<1и & = (а + &) > 0. Решение относительно У (?) получается сразу из соотношения:

K(t+i)-K(t)

1-е

Y{t)-.

Полная схема решения смешанных дифференциально-разностных уравнений типа (1) была дана Фришем и Хольмом [1]. Она сводится к следующему.

Будем искать решение в форме К = К0е®40, dK/dt = QK0eQt для некоторых значений Q, которые нужно определить. После подстановки этих выражений в уравнение (1) находим

q = а — be~Q. (2)

Любое Q, удовлетворяющее (2), дает решение К = К0е& уравнения (1). Если Q вещественно, то будет происходить изменение К в виде показательной функции, которое может быть взрывным (q > 0) или затухающим к 0 (q < 0). Легко проверить, что в случае комплексного Q сопряженные значения также удовлетворяют уравнению (2). Тогда два решения вида К = К0е& дают одно решение

# = #0еа'со8(сог + е), (3)

где Q = а ± ?со есть решение (2), a К0 и є — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями. Тогда изменение К будет представлять собой колебательное движение с частотой со, которое может быть взрывным (а > 0) или затухающим (а < 0).

Прежде всего нужно исследовать возможные вещественные корни уравнения (2). Удобно применить графический метод решения (рис. 21). Построим график двух функций:

п а—Q

Zl = e-<> и = ,

представляющих собой показательную кривую и прямую линию в плоскости OQZ соответственно. Вещественные корни (2) соответствуют пересечению кривой и прямой. Кривая пересекает Oz в точке Q, где OQ= 1. Прямая линия пересекает координатные оси в точках В и С, причем ОВ = а/Ь и ОС — а — оба положительны и меньше единицы. Следовательно, не существует точек пересечения для положительных Q, а, возможно, также и для отрицательных Q. Последний пункт нуждается в полном уточнении.

Выясним условия, необходимые для того, чтобы прямая ВС касалась показательной кривой в какой-либо точке Р, где Q < 0 (возможна лишь одна такая точка). В точке касания Р ординаты и наклоны линий1 zx и z2 между собой равны, то есть

= ^ И

Следовательно, из второго уравнения Q = ln&. Подставим это выражение в первое уравнение41 и напишем А = a — In Ъ. Тогда А = 1 есть условие касания. Пусть а будет неизменно, а Ъ уменьшается. Тогда прямая ВС будет двигаться по часовой стрелке вокруг точки С, причем В будет подниматься, но оставаться ниже точки Q. Если же ВС является касательной к кривой и ее движение начинается из этого положения (А = а — In 6=1), то при движении по часовой стрелке будут существовать две точки пересечения. И обратно, когда линия движется в противоположном направлении — при неизменном а и возрастающем Ъ—тогда точек пересечения вовсе не будет. Далее, А = а-— In й возрастает по мере уменьшения Ъ (и потому А > 1) и падает по мере увеличения Ь (А < 1). Очевидно, что в зависимости от того, будет ли Л > 1, А — 1 или А< 1, уравнение (2) будет иметь либо два вещественных различных корня, либо два вещественных равных корня, либо вообще не будет иметь вещественных корней. Вещественные корни отсутствуют при условии

Л = а — 1пй<1. (4)

Это обычный случай; а является дробью а к обычно достаточно велико, для того чтобы Ь = а + к > 1 (или по крайней мере было близко к единице), то есть чтобы In b был положительным (или по крайней мере малой отрицательной величиной). В этом случае имеет место условие (4), то есть вещественные корни уравнения (2) отсутствуют, и решение уравнения (1) представляет только колебательное движение.

Затем нужно рассмотреть возможность существования сопряженных комплексных корней уравнения (2). Пусть Q = a±m, так что уравнение (1) имеет решение вида (3), характеризующее колебательное движение. Делаем подстановку Q в уравнение (2):

а ± ш = а — be~ae^i<0 = а — be~a (cos со Т і sin со) = (а — &e-acosco) ± ibe~a sin со. Приравниваем между собой отдельно вещественные и мнимые части уравнения:

a = a— &e-acos(o, )

і (5)

со = oe~asincD. J

Затухающий характер колебательного движения К, описываемого уравнением (3), зависит от а.

Но это имеет второстепенный интерес по сравнению с изучением частоты колебаний, характеризуемой со. Поэтому исключим а из (5) и сконцентрируем внимание на со. Из второго уравнения (5) имеем

, sin со

то есть

a = ln& + ln^ . (6) Подставим в первое уравнение (5):

, 7,1 sinco COS со

In b 4- In = a — со ——

1 со sin со

In =±a —1п& = Л<1 в силу уравнения (4).

Следовательно, со задается уравнением со , sinco

Положим V СО . , S1IK0

/(со) = 7 \-т

3 v ' tgco ' со

Таким образом, со мы должны искать как решение уравнения

/(со) = Л <1.

Функцию / (со), не включающую «структурных» постоянных а и й, можно изобразить графически с помощью тригонометрических функций. Фриш и Хольм [1] получили ее форму (для со > 0); она изображена на рис. 22. Очевидно, что наряду с одним малым значением со (0 < со < я) существует ряд больших значений со в областях (2л, Зя), (4я, 5я), ....

J-

2 --•

Наибольший интерес представляет именно минимальное значение со, так как оно соответствует колебаниям К с малой частотой и с длительным периодом. Период колебания равен 2я/со > 2, то есть более ffajj чем вдвое продолжительнее фиксированного отставания (6 = 1) для капиталовложений. Все остальные значения со больше 2я и соответствуют колебаниям с возрастающей ча- Зяг

-2-

-5-

Рис. 22

4яг\ Ш стотой, то есть с уменьшающимися периодами (все периоды меньше 1). Все циклы высокочастотных колебаний К завершаются в пределах фиксированного периода отставания капиталовложений, и потому они представляют лишь ограниченный интерес.

Коль скоро определен единственный длительный цикл (с периодом больше двух) для 0 < со < я, фактор затухания колебательного движения а находится из уравнения (6). Может случиться, что, в зависимости от значений а и Ь = а + к, значение а>0 и, следовательно, колебательное движение будет взрывным. Однако было найдено, что а < 0 для наиболее часто встречающихся значений а я к, так что колебания будут затухающими. Один типичный случай встречается, когда а + /с = 6 = 1 и /с = 1 — а (0 <а< 1). Тогда

А = а — In Ъ — а < 1,

и из (6)

sm to

а = lri Ь + In

В этом случае колебательное движение всегда будет более или менее плавно затухающим. Если а близко к 1, а А: мало, то А близко к 1, а со мало (см. рис. 22). При малом со значение sin со/со примерно равно 1 и, значит, а ^ 0. Это —случай длительного цикла с почти регулярной амплитудой. С другой стороны, если а мало и к близко к 1, то А мало и со близко к я/2. Для такого со значение sin со/со существенно меньше 1 и а определенно отрицательно. Это —случай короткого цикла (примерно в 4 раза более продолжительного, чем фиксированное отставание капиталовложений) в котором можно обнаруживать ярко выраженные затухающие колебания.

В общем относительно модели Калецкого, сформулированной в разделе 7.3, можно сказать, что, кроме области высокочастотных коротко- периодовых колебаний в пределах отставания капиталовложений, имеет место единственное синусоидальное колебательное движение во времени величины основного капитала K(t). Обычно период колебания в несколько раз превосходит продолжительность фиксированного отставания капиталовложений. В зависимости от величины коэффициентов (а и к) факторов, определяющих объем капиталовложений, колебания могут быть почти регулярными либо в большей или меньшей степени затухающими.

Задачи и упражнения 1.

Показать, что при малых а л к возможно А = а—In Ъ > 1. Доказать, что в этом случае К (t) включает выражение, представляющее равномерное (затухающее) движение, стремящееся к нулю. 2.

Показать, что в предыдущем случае невозможны большие колебательные движения К (t), но все же существует область высокочастотных колебаний. 3.

Положив а = 0,5 и /г = 0,6, проверить, что 1. Показать, что со = я/3 приблизительно удовлетворяет f((o) = A и что основное колебательное движение К (t) имеет период примерно в 6 раз больший, чем фиксированное отставание капиталовложений. Показать, что для этого колебательного движения а=—0,1 и, следовательно, колебание затухающее. 4.

Сравнить результат предыдущего упражнения с результатом, полученным при а = 0,5, к — 0,2. Показать, что основное колебательное движение будет теперь иметь более длительный период и будет затухать медленнее.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 7.5. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ:

  1. 5.8. НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  2. 5.2. ДИСКРЕТНОЕ РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ* ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И СВОЙСТВА
  3. 5.1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  4. 5.5. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА
  5. 5.3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
  6. 4.1, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  7. ГЛАВА 5 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  8. 5.4. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  9. ГЛАВА 4 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  10. 4.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
  11. 4.4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  12. 4.5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
  13. 4.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА