<<
>>

3.3. ТЕОРИЯ РОСТА ХАРРОДА — ДОМАРА

Статический мультипликатор представляет собой устойчивое соотношение. Следует ожидать, что принцип акселератора приведет к появлению взрывных тенденций. Вопрос заключается в следующем: каков же будет общий результат их совместного действия? В первом приближении ответ дает модель, исключающая запаздывания мультипликатора и акселератора. Следовательно, совместное действие мультипликатора и акселератора порождает непрерывный и прогрессирующий рост выпуска продукции или дохода. Это положение было установлено Лундбергом [15] и развито Харродом [И, 12] и Домаром [7].

Нетрудно понять идею, лежащую в его основе.

Если независимые капиталовложения А растут, например, вследствие внезапного появления крупных изобретений, мультипликатор порождает соответствующий рост А/( 1—с) выпуска продукции, где с —предельная склонность к потреблению (0<с<1). Расширение выпуска продукции приводит в действие акселератор и сопровождается появлением других (индуцированных) капиталовложений. В свою очередь эти дополнительные капиталовложения увеличивают («домножают») продукцию вследствие действия мультипликатора, и начинается новый цикл. В общем результате получается прогрессивный рост продукции.

Для описания взаимодействия мультипликатора и акселератора при отсутствии запаздываний и простейшей форме акселератора (см. 3.2) больше подходит непрерывный, а не дискретный анализ. Все переменные берутся как непрерывные функции времени, а зависимости предполагаются линейными. Если выделить независимые расходы как на капиталовложения,так и на потребление, то рсновное условие можно записать в следующем виде:

Y=C + I + A,

dY

гдеп JC = cY и I — Q-fa— соответственно функция потребления и соотношение акселератора (0<с<1, v\> 0). Следовательно,

Y = CY + V^ + A,)

то есть

является дифференциальным уравнением, решение которого дает динамику выпуска продукции. Здесь q = где s=l — с и представляет предельную склонность к сбережениям.

Решение уравнения (1) зависит от предпосылки относильно динамики независимых расходов А. Особого внимания заслуживают два случая.

Случай 1. А = const. Независимые расходы неизменны. Пусть у — отклонение дохода от неизменного уровня A/s, то есть у = Y — (A/s) и dyldt = dY/dt. Следовательно, (1) представится в таком виде:

?ЗГ-МГ. где е = ^>0. (2)

Так как (d/dt) (In у) = (l/y)(dy/dt), то уравнение (2) превращается в следующее:

и, таким образом,

In i/ = Q? +const,

то есть

где В — некоторая константа, которую нужно выразить через начальный уровень дохода. Положим у = у0 в момент ? = 0. Тогда решение (2) будег иметь вид^

У = VoeQt- (3>

Формула (3) выражает непрерывный рост по показательной кривой выпуска продукции или дохода с постоянной относительной скоростью16 Q = s!v>0. Обычно предельная склонность к сбережениям s представляет собой малую величину по сравнению с коэффициентом инвестиций v\ в данном случае Q- есть положительная дробь, которая может быть совсем малой. Например, выбрав год за единицу времени, положим s = 0,05 (предельная склонность к сбережениям 5%) и v = 2,5. Тогда q = 0,02, и доход непрерывно растет со среднегодовым сложным процентом, равным 2.

Этот пример ясно показывает роль акселератора. Даже при неизменности независимых расходов взаимодействие мультипликатора и акселератора вызывает прогрессирующее расширение выпуска продукции. Относительная скорость роста определяется структурными константами s и v системы.

Очевидно, что акселератор является взрывным фактором.

Случай 2. A—A0ertt то есть независимые расходы увеличиваются по показательной функции. Относительная скорость роста Л, равная г, будег заданной константой (г > 0). Уравнение (1) примет вид

„(у(4)

dt

где, как и прежде, Q = S/V<> 0.

Положим, что Y = Y0ert есть решение уравнения (4), то есть относительная скорость роста У равна относительной скорости роста А. Подставим это выражение в уравнение (4):

rY0ert = Q(Y0ert-^er, то есть (5)

у А о

Следовательно, прогрессирующий рост У с относительной скоростью г возможен при условии, что У0 имеет указанное частное значение, определяемое структурными коэффициентами системы.

Остается проследить движение У при любых начальных условиях и наличии возмущений У0 Ф У0. Положим у = Y — Y0ert, так что начальное значение УО — YQ — YQ при t = 0. Вычтем уравнение (5) из уравнения (4) и заметим, что dy/dt — dY/dt — rY^.ToTj^ai

dy

и, как и раньше, решением будет

U = UoeQt•

Полученное решение аналогично выражению (3) для случая с неизменными независимыми расходами. Разница заключается в том, что у представляет собой отклонение выпуска продукции от уровня, растущего по показательной кривой, а не от неизменного уровня. Следовательно, решение уравнения (4) характеризует рост по показательной кривой, отклоняющийся от такового же роста выпуска продукции. В развернутом виде решение будет иметь вид

где (6)

у __ Ар

0 _ 0 '

Необходимо тщательно выяснить смысл решения (6). Выражение Y=Y0ert характеризует своего рода «равновесие» относительной скорости роста продукции, то есть увеличение выпуска продукции с той же относительной скоростью, что и скорость роста независимых расходов. Если рост выпуска продукции начинается с надлежащего уровня У0, тогда ее последующий рост происходит по линии «равновесия». Это — обычный результат, ибо имеющаяся налицо линия равновесия в точности подобна той, которая имеет место при тех же обстоятельствах под влиянием динамического мультипликатора (см. 2.7). Если начальный уровень продукции ненадлежащий, или У0#У0, то в ходе последующего динамического изменения он все в большей мере отклоняется от линии «равновесия». Скорость этого расхождения дана структурной константой q== s/v. Интересно сопоставить этот случай с соответствующим влиянием динамического мультипликатора, которое обеспечивает постоянное возвращение к линии «равновесия». Акселератор вновь выступает как взрывной элемент.

Но в обоих случаях прогрессирующий рост выпуска продукции с относительной скоростью q = s/v внутренне присущ системе. Он представляет результат антизатухающего или взрывного действия акселератора (постоянная v), видоизмененный затухающим влиянием мультипликатора (постоянная s = 1—с). Это — «гарантированный» темп роста Харрода; гарантирован он потому, что является результатом непрерывно длящегося во времени равенства сбережений и инвестиций. В модели отсутствуют запаздывания, так что основное уравнение (1) получается из условия У = С + I + + А. Но это то же самое условие равенства сбережений и капиталовложений. Равным образом исключаются непредвиденные сбережения и капиталовложения, а потому нигде нет какого-либо расхождения между этими двумя величинами.

В основном уравнении (1) v(dY/dt) представляет собой акселератор, связывающий индуцированные капиталовложения с изменениями выпуска продукции. В другой части уравнения ему равна величина (У — С — А), то есть сбережения минус независимые капиталовложения.

Эта интерпретация принадлежит Харроду. Домар получает то же самое соотношение (1), но вкладывает в него иной смысл, вернее, он предлагает альтернативное толкование. Основной подход Домара заключается в том[7, стр. 141], что он берет постоянную v как обратную величину средней эффективности капиталовложений. Следовательно, l/v есть отношение прироста выпуска продукции за счет капиталовложений к самой величине капиталовложений

rl dY/dt

v / в

Это лучше представить в виде dY/dt = (1 /v)I, а не в виде формально эквивалентного выражения I = v(dY/dt). В отличие от принципа акселерации I не берется как величина, зависимая от dY/dt. Напротив, через посредство показателя эффективности капиталовложений, dY/dt становится здесь зависимой переменной от I. Теория Домара подчинена требованию полной занятости или полной загрузки производственных мощностей. Для обеспечения того или.другого выпуск продукции и капиталовложения должны расти по показательной функции (или гарантированным темпом). Или, говоря словами Егера [21], соотношение dY/dt — (1 !v)I показывает, что «приращение дохода, необходимое для полной загрузки прироста производственных мощностей, пропорционально предусматриваемым капиталовложениям, которые делают возможным получение этого дополнительного дохода».

Во втором подходе Домара [7, стр. 145] трактовка обратная. Если выпуск продукции растет в геометрической прогрессии, тогда возникает вопросг достаточна ли величина индуцированных капиталовложений. Ответ будет утвердительным в случае, если темп роста является гарантированным. В сущности при этом подходе Домар вводит в модель акселератор.

Многое можно возразить против теории Харрода — Домара. Возражения направлены не только против того, что теория представляет собой чрезмерное упрощение— с этой точки зрения критикуются все модели динамической макроэкономики,— сколько против того, что, говоря опять словами Егера [21], она претендует на «незаконную точность». В качестве упрощающих предпосылок можно принять в настоящее время введение в систему двух простых констант с ли — соответственно потребления, пропорционального выпуску продукции, и капиталовложений, пропорциональных изменению выпуска продукции. Однако нельзя принять предпосылку о полном отсутствии запаздываний и тесно связанное с ней исходное положение о равенстве величин сбережений и капиталовложений не только фактических, но и ожидаемых.

По существу эту теорию можно считать динамической только в ограниченном смысле.'Мы уже знаем (см. 2.7), что устойчивые или затухающие колебания порождаются только мультипликатором. Под его воздействием выпуск продукции следует за движением независимых расходов, безразлично растут ли они в прогрессии, колеблются или изменяются скачками (in «fits and starts»). Теория Харрода — Домара, как в общем и следовало ожидать, дополнительно вводит акселератор взрывного действия. Она устанавливает одно существенное обстоятельство, именно что системе, основанной на совместном действии мультипликатора и акселератора, внутренне присуще колебательное движение. Для теории экономического цикла недостаточно выяснить, что колебания независимых расходов имеют результатом колебания в движении выпуска продукции и дохода. Именно акселератор порождает структурное колебательное движение, то есть «взрывает» затухающие колебания, вызванные действием мультипликатора, превращает их в колебательные движения вокруг положения равновесия. Можно, конечно, попытаться преодолеть это, сделав колебание само по себе взрывным. Но это предвосхищение дальнейшего. Теория Харрода — Домара не описывает колебательных движений, так как она не включает запаздываний и поэтому не является динамической в полном смысле слова.

Задачи и упражнения. 1.

Сравнить движения У, заданные уравнением (1), когда независимые расходы равны: 1) A(t) и 2) A(t)-\-a0, где а0 — постоянно. Показать, что движение во втором, случае на а0/( 1 — с) выше, чем в первом, как данное мультипликатором. 2.

В уравнении (1) принять A —at, то есть ввести постоянный прирост, а не по геометрической прогрессии. Показать, что неуклонный рост выпуска продукции задан выражением У =«У0-|-а*/(1 — с), которое удовлетворяет уравнению (1) при условии Y0 = av/( 1 — с)2. Объяснить результат. 3.

Положить A = A0ert-{-aQ. Так обстоит дело, например, в случае роста независимых капиталовложений по показательной кривой и постоянной величины независимых потребительских расходов. Показать, что решение уравнения (1) не изменится (по сравнению со случаем а0 = 0) при условии замены У через ^ — — 4.

Показать, что для случая A = A0ert, решением для которого является У=У0ег<, справедливо У0 = А0/($—rv) >A0/s (s = l—с). В каком смысле это предполагает, что У больше той величины, которая получилась бы при действии только мультипликатора?" 5.

Рассмотреть уравнение (4) для случая A = A0ert, положить т] = (У—YQer()/Y0ert и показать, что уравнение принимает вид dr\/dt = (Q — Г) Т] И имеет решение =

Показать тождественность этого решения с решением (6) в тексте. Дать объяснение с помощью пропорциональных отклонений от положения «равновесия». Показать пригодность решения относительно г\ путем, представления решения для У в виде функции времени на полулогарифмической шкале.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 3.3. ТЕОРИЯ РОСТА ХАРРОДА — ДОМАРА:

  1. 3.6. ТЕОРИЯ РОСТА ХАРРОДА — ДОМАРА В ДИСКРЕТНОЙ ФОРМЕ
  2. ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕНЕНИЯ И РОСТА
  3. Глава 34 МАТЕРИАЛЫ РИМСКОГО КЛУБА«ПРЕДЕЛЫ РОСТА» И «ЗА ПРЕДЕЛАМИ РОСТА»(ПЕССИМИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА РАЗВИТИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА)
  4. Динамика процессов роста человека
  5. Факторы роста и развития
  6. 16.9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ; МОДЕЛЬ РОСТА НЕЙМАНА
  7. ЙОГИЧЕСКИЙ ПУТЬ ДУХОВНОГО РОСТА
  8. 2.4.3. Кинетика роста микроорганизмов и биосинтеза продуктов метаболизма
  9. Механизм зарождения, роста и коалесценции пор
  10. 19. Теория познания и теория аффектов Б. Спинозы
  11. Глава 10 ПРОГНОЗЫ РОСТА ЧИСЛЕННОСТИ НАСЕЛЕНИЯ МИРАИ ЕГО РЕГИОНОВ
  12. Ускорение экономического роста и его противоречивый характер