<<
>>

1.9. ЗАПАЗДЫВАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

Из сказанного выше ясно, что в соотношения какой-либо динамической экономической модели должны включаться запаздывания. Обычно принимают во внимание, что случаются запаздывания, но реже понимают важность «формы, в которой они проявляются.
Направления во времени, которым следуют переменные в модели, зависят не только от факта существования запаз- дываний, но также от принимаемой ими частной формы [7, 11]. Полезна поэтому уделить некоторое внимание (на этом раннем этапе изложения) могущим встретиться разнообразным типам и формам запаздываний.

А. Дискретний анализ. Возьмем для удобства единицу времени в качестве интервала для анализа. Тогда с помощью индексов t (?=0, 1,2, ...) можно обозначить последовательность во времени двух переменных X и У. Пусть У линейно зависит от X. Тогда, при отсутствии запаздываний,

У| = а + aXt*

Запаздывание является отставанием с фиксированной продолжительностью в Т единиц времени; эта временная постоянная запаздывания Т является заданной положительной целочисленной величиной:

У, = <хЧ-аХг_т. (1)

Уравнение (1) характеризует зависимость У от значения X, отстоящего на Т интервалов назад. В частном случае запаздывание может представлять собой отставание продолжительностью в один интервал {Т = 1): Yt = а + яХ^.

Более общим является случай распределенного запаздывания. Он описывается следующим образом:

(2)

Yt = а + агХЫ1 + a2Xt_2 + ...,

где

а = аг-\- а2+ ... .

Таким образом, Y зависит не только от предыдущего значения X, но и от всей последовательности его прошлых значений. Тогда отсрочка с фиксированной продолжительностью представится как частный случай, когда ат = л, а значения остальных а = 0. Заметим, что в уравнениях (1) и (2) Хг = const (для всех t) соответствует У, = а + aXt = const (для всех t), то есть исходной зависимости без запаздываний.

Постоянные коэффициенты а19 а2, .. ., которые при линейной зависимости в сумме равны а, характеризуют временную (частотную) форму запаздывания (2). Их можно истолковать и как взвешивающие коэффициенты (веса). Число их может быть конечным или бесконечным.

Важным видом распределенного запаздывания является геометрическое запаздывание у то есть распределенное в геометрической прогрессии

Yt = а + а (1 - г) (X,+ гХ,_, + r*Xt_a +...). (3)

В нем взвешивающие коэффициенты уменьшаются по закону бесконечной убывающей геометрической прогрессии со знаменателем г(0<г<1). Первый коэффициент устанавливается в виде а(1 — г) для того, чтобы сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии оставалась равной а:

a(l-r)(l + r + r2+...) = a(l-r)T^7 = a.

Представляется полезным ввести промежуточную переменную

Zt = а + аХг,

которая будет потенциальным значением зависимой переменной, получающимся при отсутствии запаздываний. Фактическая величина Yt получается из X при действии запаздывания. Действительно, Yt является переменной, которая запаздывает по отношению к Zt. Если X постоянно во времени, то Yt = Zt == const. Иначе, если Xt изменяется, то Yt имеет запаздывание по отношению к Zt. Простое линейное преобразование заменяет зависимость Yt от Xt зависимостью Yt от Zt. В частности, легко видеть^ что: 1)

отставание с фиксированной продолжительностью будет

Yt = Zt-T9; 2)

распределенное запаздывание есть

Yt = X1Zt_1 + X2Zf_ 2 -j- X3Z|_ з

где л1 + а, + л,8+ ...

=1; 3)

запаздывание, распределенное в геометрической прогрессии, есть

У, = (1 - Г) (Zt_! + rZf+ z-%.3 +...)•

Последний вид запаздывания допускает дальнейшее развертывание. Напишем первую разность AYt = YU1 — Yt:

^ = (Zf + rZ,.! + r%_2 +...)- (Zt_x + rZ(_, + r*Zt_3 +...) = = zt - (1 - r) (Zt_1 + rZt_z + r*Zt_3.+ ...) = Zt - Yt. Положим Я = 1 — г, где 0<А,<1. Тогда

AY,= -%(Yt-Zt),

или

(А + Я,) У, — %Zt,

если А рассматривать как оператор (см. приложение А). Тогда получаем

A или Yt=j^Zt9

где

Zt = a + aXt.

Все это относилось к неизменному временному интервалу, взятому за единицу времени. Чтобы включить в модель изменение интервала, возьмем его в виде At вместо единицы. Тогда (5>

где

Zt = a + aXt будет распределенным в геометрической прогрессии запаздыванием с временным интервалом At и приращением AYt = У^+д* — Yt.

Распределенное в геометрической прогрессии запаздывание в форме (4) или (5) допускает простое истолкование. Его можно определить как такой частный случай распределенного запаздывания, в котором веса уменьшаются в геометрической прогрессии с неизменным знаменателем г. Далее очевидно, что прирост AYt в единицу времени или средняя скорость роста AYt/At в интервале At всегда пропорциональна дефициту — (Yf —Zf), то есть разности фактической и потенциальной величин в начале интервала. Запаздывающая переменная Yt стремится достичь потенциальной (незапаздыва- ющей) величины Ze, и скорость этого процесса пропорциональна разности фактической и потенциальной величин. Коэффициент пропорциональности — г называется скоростью реакции.

Б. Непрерывный анализ. Переменные X(t) и Y(t) являются функциями времени. При линейной зависимости без запаздывания имеем

У=а + аХ.

При наличии запаздывания обозначим потенциальную величину зависимой переменной Z = a + aX. При любом запаздывании У будет запаздывать по отношению к Z.

Можно сразу записать простейший случай отставания с фиксированной продолжительностью: (6)

Y{t) = Z(t-T)±a + aX{t-T), где временная постоянная Т — заданная положительная (не обязательно целочисленная) величина. Более общий случай непрерывно распределенного запаздывания получается по аналогии с дискретным вариантом распределенного запаздывания (2). Бесконечный ряд коэффициентов а2, а3,... при переходе к пределу заменяется непрерывным множеством ординат некоторой функции /(т) непрерывной переменной т, а вместо суммы появляется интеграл. Следовательно, W

(7)

где

У(0 = а + а J j(x)X(t-x)dx, о

оо будет представлять собой непрерывное запаздывание, в котором /(т) будет временной формой запаздывания, или взвешивающей функцией. Следовательно, У зависит^не только от значений X в предшествующие отдельные моменты времени, как в дискретном ряду, но и от значений X на протяжении всего прошлого (непрерывного) времени. Функция /(т) характеризует зависимость У в момент t от значений X за время t — т, то есть за промежуток т до этого момента t. После перехода к Z = а + аХ уравнение (7) примет вид: (8)

где

У(*)= [f(x)Z(t-x)dx, о

оо

\f(x)dx = l. Отставание с фиксированным промежутком времени является частным случаем (7) или (8), когда /(т) = 1 в момент х = Т и равно нулю во все остальные моменты.

Вычисление интегралов (7) или (8) представляет значительные трудности. Однако можно показать, что при некоторых условиях (8) равносильно дифференциальному уравнению в операторной записи (см. приложение А): 7

(9)

где

х ~Щр) Z = a + aX,

a F и G — полиномы, причем степень F ниже степени G (см. 4.8). Вообще говоря, дифференциальное уравнение (9) решается проще, чем вычисляются интегралы (8).

Важным частным случаем непрерывного запаздывания является запаз' дывание в форме показательной функции, представляющее собой непрерывный вариант распределенного в геометрической прогрессии дискретного

запаздывания. Временная форма последнего будет убывающим геометрическим рядом. Соответствующее непрерывное запаздывание будет иметь вид f(r) = Xe~kx (X — положительная постоянная), то есть оно будет представлено непрерывным множеством ординат убывающей показательной функ-

оо

ции. Можно проверить, что ^/(т)йт=1 (как это и требуется):

о

ке-te dx = [- е-^]™ = —(0 — 1) = 1.

s

о

Следовательно, при Z = a-\-aX уравнение (8) дает запаздывание в показательной форме вида

оо

Y (*) = *, J e-^Z(t-x)dx. (10)

о

В этом частном случае легко получить дифференциальное уравнение типа {9). Произведем в (10) замену переменной интегрирования x = t — т:

t t Y(t) = X ^ e^^Z{x)dx = Xe^t ^ eb*Z{x)dx.

—со — оо

Тогда

t

У (t) еМ = X J e**Z(x)dx.

—ОО

Дифференцируя, получаем

t

то есть

^ = — я (У — Z) или {D + X)Y = XZ.

dt

Следовательно, дифференциальное уравнение запаздывания в показательной форме имеет вид:

где " Л К h (И)

Z = В последнем случае мы пользуемся оператором D. Очевиден параллелизм с распределенным в геометрической прогрессии запаздыванием (4) или (5). Действительно, (11) получается из (5) при

Смысл (И) для запаздывания по показательной функции совершенно аналогичен интерпретации (4) или ч (5) запаздывания, распределенного в геометрической прогрессии. Скорость возрастания У всегда пропорциональна разности — (У —Z) фактической и потенциальной величин У. Коэффициент пропорциональности X называется скоростью реакции.

Вместо скорости реакции X можно взять в качестве другого возможного параметра как для геометрической прогрессии, так и для запаздывания по показательной функции, обратную величину Т= І/Х, то есть временную постоянную запаздывания. Это соответствует употреблению того же выражения в случае отставания с фиксированной продолжительностью; тогда параметр Т равен продолжительности отставания. Интересны два предельных случая: при 77 = 0(Х—>оо), уравнение (И) дает y = Z = = a + аХ, и запаздывание отсутствует; при Г —> оо, (Х = 0) имеем dY/dt = О, У есть величина постоянная, и реакции нет.

В. Реакция У на ступенчатые изменения X. Предположим, что в момент ? = 0 происходит единичный скачок X, и выберем единицу так г чтобы Z = a + aX скачкообразно изменилось от Z = 0 в момент t < 0 до Z = ZQ В моменты ?>0. Рис. 3 иллюстрирует три возможных типа запазды- I.

Отставание с фиксированной продолжительностью при временной постоянной Т:

Y(t) = Z(t-T) = 0 для tT. II.

Распределенное в геометрической прогрессии запаздывание со скоростью реакции Я = 1 /Г и интервалом ДГ = 10/з^:

АУ,= -l(yf-Z0) для t>0 из (5),

то есть

Yt+T/z-~-jYt = -j ZQ и Уг = 0 при ? = 0. Путем итерации получаем отсюда 1

y«T/3 = {l-(f)n}z0 для 11 = 0, 1, 2, ... . III.

Запаздывание по показательной функции со скоростью реакции Х = 1/Т:

СО t СО

Y(t) = X ^ e-MZ(t-T)dT = X jj e-MZ(t-T)dT + X J e-MZ(t-1)dxy о 0 t

где

Z(t — x) = Z0 для и Z(t — т) = 0 ДЛЯ t>i.

Итак,

t

Y(t) = 7tZ0 J dt = Z0[ - er*]*, 0

то есть

Y{t) = {\-e-V)Z0.

Та же линия движения во времени У (г) = (1 — e~M)Z0 получается для

показательно-функционального запаздывания и в результате решения дифференциального уравнения (11), которое имеет вид

dY

— = XZ0 при условии, что У = О в момент ? = 0.

Эти три вида реакции У (для случаев I—III) показаны соответственно тремя линиями движения во времени на рис. 3. Основным вариантом можно считать случай II—дискретное распределенное (в геометрической прогрессии) запаздывание. У здесь представлен ступенчатой функцией, в пределе, при f—> оо, приближающейся к потенциальной величине Z0. Число шагов этого процесса зависит от временного интервала запаздывания У, распределенного в геометрической прогрессии. В данном случае интервал равен 273, где Т — временная постоянная запаздывания. Случай III можно рассматривать как непрерывный вариант случая II, получающийся при переходе к пределу, то есть как непрерывно распределенное (по показательной функции) запаздывание, под действием которого У асимптотически стремится к Z0. Случай I представляет собой очень специальный случай ступенчатой функции случая II, когда У достигает Z0 за один шаг, при t=T.

В более общем виде случай 1 можно рассматривать как характеристику отставания на любой фиксированный промежуток времени; случай II как характеристику любого распределенного дискретного запаздывания с временной формой, заданной рядом коэффициентов а±, аъ, а3, ...; случай III как характеристику непрерывно распределенного запаздывания с временной формой, заданной функцией/(т). Вид кривой III в общем случае определяется t 1

уравнением У =Z0^/(t) dx или dY/dt = f(t)ZQ, а не показательной кри-

о

вой, нанесенной на графике для частного случая (см. упражнение 5).

Остается нерешенным вопрос: какое запаздывание принять в качестве «реального» в экономической модели? Отставание с фиксированной продолжительностью может оказаться подходящим, например, в том случае, когда речь идет о реакциях единичной фирмы с периодом решения продолжительностью Т. Ясно, что оно становится менее пригодным, когда переменные укрупнены и охватывают весь рынок какого-либо товара или все хозяйство. Специфические свойства отставаний с неизменной продолжительностью также способствуют их отрыву от реальности, например может возникнуть ряд краткосрочных колебаний в пределах промежутка отставания Т (см. гл. 8).

Может быть выдвинут следующий аргумент: при введении распределенного запаздывания реакция, описываемая ступенчатой функцией (подобная случаю II нарис. 3), пригодна для случая дискретного анализа. Однако совершенно неочевидно, что непрерывная форма, в частности реакция, описываемая показательной функцией (случай III на рис. 3), окажется неподходящей. Столь удобное для математики непрерывное запаздывание, по-видимому, вполне уместно применить в макроэкономических моделях, которые включают множество отдельных лиц и предприятий с различными интервалами принятия решений. Тогда реакции укрупненных переменных, вероятно, будут приблизительно непрерывными.

Задачи и упражнения 1.

Показать, что па рис. 3 линия OA является касательной к кривой III в точке О, тем самым дать иную интерпретацию временной постоянной Т запаздывания показательной формы. 2.

В задаче из раздела 1.3 принять спрос без запаздывания равным а -\-аР, ввести непрерывное запаздывание показательной формы на стороне предложения, фактическая величина которого равна + (Р+^Р)- Показать, что Р удовлетворяет уравнению Тем самым показать, что «грубо соответствующая действительности предпосылка* в разделе 1.3 представляет собой на самом деле предпосылку о существовании запаздывания показательной формы на стороне предложения.

3. Z— потенциальная величина, Yx зависит от Z с запаздыванием показательной формы (скорость реакции А,), а У2—от Ух со вторым аналогичным запаздыванием (скорость реакции JA). Положить dYxldt=. —X (Ух—Z) и DY2/D? = —JJI (У2—и> исключив Ух, показать, что зависимость У2 от Z выражается уравнением

Получить то же дифференциальное уравнение из

Y1=_IL_ Z И Y^ * V

D+X 2 D+\i 1

так что

V ^

« 4.

В качестве частного случая двойного запаздывания по показательной функции предыдущего упражнения взять

ґ "\а dY

У— J Z прИ Z==Zo ДЛЯ t>0 И Y = ~dT==° При t==0'

Нанести на график значения У и сравнить с графиком одинарного запаздывания показательной формы, то есть с кривой III на рис. 3. Показать, что каждое из последо-

1

вательных запаздывании имеет временную постоянную так что в целом временная

постоянная двойного запаздывания равна опять-таки Т = 1Д. Обобщить результат путем рассмотрения запаздывающей переменной У = [nX/(D+nX)]nZ. 5.

Для запаздывающей переменной У в уравнении (8) положить Z(?)=0 (*<()) и Z(t)=Z0 (f>0).

Показать, что

t

Y=Z0^1(x)dx и ^L=f(t)Z0.

<< | >>
Источник: Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ. 1963

Еще по теме 1.9. ЗАПАЗДЫВАНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ:

  1. ГЛАВА 1 ПАУТИНООБРАЗНАЯ МОДЕЛЬ И ДРУГИЕ ПРОСТЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
  2. Коростелев, Иван Николаевич. Математическая модель стационарных физических полей и критерий МГД—стабильности В алгоритмах динамической модели алюминиевого электролизера / Диссертация / Москва, 2005
  3. 13.7. Динамические модели
  4. Глава 9. Динамические модели
  5. 2.4. ДИНАМИЧЕСКАЯ ДЕНЕЖНАЯ МОДЕЛЬ
  6. 2.7. МОДЕЛЬ С ДИНАМИЧЕСКИМ МУЛЬТИПЛИКАТОРОМ
  7. 11.2. Динамические модели
  8. 8.2. Динамическая математическая модель процесса
  9. 16.9. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ; МОДЕЛЬ РОСТА НЕЙМАНА
  10. Динамическая модель социально-территориальной системы
  11. 6.2. Динамическая модель распределения серы между фазами
  12. 5.7. ОТСТАВАНИЯ, РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ И МУЛЬТИПЛИКАТОР-АКСЕЛЕРАТОР
  13. Группа С. Медиаобразовательные модели, представляющие собой синтез социокультурной, образовательно-информационной и практико- утилитарной моделей Медиаобразовательная модель А.В.Шарикова [Шариков, 1991]*
  14. Статические и динамические описания
  15. 13.9. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЛЕОНТЬЕВА