<<
>>

Глава III. Раздел 6. Концепция мультифрактала.

  В физике твердого тела реальные фрактальные структуры типа дислокаций, пор или трещин начали изучаться сравнительно недавно. Хотя наблюдение самих многомасштабных структур затруднительно, их последовательное описание может быть достигнуто только в рамках фрактальной идеологии.
Научно выражаясь, такие неравновесные системы представляются как суперансамбли, состоящие из иерархически соподчиненных статистических ансамблей, которые в свою очередь состоят из набора подансамблей и т.д. Поэтому, говоря о фракталах в конденсированной среде, следует иметь в виду скорее использование концепции, а не описание наблюдаемого геометрического образа, хотя первоначально фрактал был введен как геометрический объект в обычном физическом пространстве.

Как показывает опыт исследования турбулентности фрактальные множества, представляющие реальные физические образования и процессы, характеризуются не одним значением размерности D, а целым их спектром. Это приводит к необходимости введения концепции мультифрактала, который можно представить как суперпозицию монофракталов с разными величинами D. Причем свойство неоднородности распределения проявляется с изменением характерных линейных масштабов измерения или наблюдения. Переход от фрактального описанию к мультифрактальному означает переход от исследования масштабно инвариантных свойств объектов, обладающих скейлинговой симметрией, к изучению особенностей распределений физических свойств или каких-нибудь других величин на геометрических носителях.

Рассмотрим некоторое множество или некоторую "популяцию", занимающую область с характерным линейным размером L или объемом L3, то элементы этого множества могут быть распределены по нему неравномерно, научно выражаясь, быть подвержены флуктуациям. Такой популяцией могут быть, например, народонаселение, распределение ракетных шахт, особняков олигархов или сеть метеостанций.

Все эти популяции неравномерно распределены по поверхности Земли.

Многие переменные подвержены флуктуациям. Например, золото встречается в высоких концентрациях лишь в немногих местах, в более низких концентрациях в существенно большем числе мест и в очень низких концентрациях почти повсюду - практически, как особняки олигархов, главным месторождением которых является Москва и ее Московская область. Важно отметить, что это утверждение остается в силе независимо от линейного масштаба, будь он глобальным, порядка нескольких метров или микроскопическим, как совесть Березовского. С исследованием распределения физических или каких-нибудь других величин на геометрическом носителе связаны мультифрактальные меры. Они связаны также и с необходимостью разработки методов количественного описания (параметризации) внешне хаотических (сложных) структур и субструктур материалов, (границ зерен, скоплений дислокаций, совокупностей точечных дефектов, пор, мелкодисперсных частиц вторичных фаз и др. Под параметризацией понимается способ описания различных

систем с помощью некоторых количественных характеристик (метрик), таких как размер, размерность, площадь, масса, температура и др. Введение количественных характеристик, позволяющих так или иначе различать подобные друг другу системы, является инструментом научного исследования, которое полностью определяется способом и уровнем описания объекта исследования.

Мультифрактальная параметризация структур основана на генерации тем или иным способом (или/и с использованием того или иного распределения) меры. Для этого исследуемый объект с неупорядоченной структурой "помещается" в евклидово пространство, которое разбивается на ячейки характерного размера. Ячейкам приписываются "веса" в соответствия с распределением, которым характеризуется объект. Каждой ячейке сопоставляется мера (вес) в виде некоторого положительного числа, а полученная совокупность (матрица) значений задает глобальную меру на том или ином масштабе дискретизации изображения структуры.

Основной идеей мультифрактального подхода к количественному описанию структур различной природы является построение тем или иным способом меры множества, аппроксимирующего изучаемую структуру. Разбиение пространства, охватывающего множество, на элементарные гиперячейки и суммирование непустых, т. е. содержащих элементы множества, ячеек в определенном смысле эквивалентно покрытию исследуемого множества, называемого носителем меры.

Разбивая на ячейки евклидово пространство, охватывающее изучаемую структуру, можно приписать каждой ячейке свою меру (вес) соответственно природе объекта (доли массы, площади, энергии и пр.) Таким образом, исследуемое самоподобное множество моделируется набором взаимопроникающих множеств сингулярностей а, каждое из которых моделируется набором взаимопроникающих множеств сингулярностей а, каждое из которых имеет соответствующую размерность.

Изучение скейлинговых свойств обобщенной корреляционной функции меры при некоторых предположениях относительно скейлинга самой меры (или без них) предоставляет исследователям широкие возможности для довольно тонкой идентификации объектов со сложной структурой, часто неразличимых (или плохо различимых) при традиционных способах описания. Под скейлингом понимается свойство масштабной инвариантности измеряемых характеристик, что математически выражается степенными зависимостями характеристик от масштаба измерения. В общих чертах такой подход к количественному описанию структур дает возможность ставить в соответствие изучаемой структуре кривых (графиков зависимостей) характерного вида. Некоторые параметры этих кривых вычисляются довольно точно даже при достаточно грубой обработке компьютерных изображений структур, поэтому их можно использовать для количественного описания, а сам подход получил название мультифрактального формализма.

Поэтому даже относительно грубые оценки мультифрактальных характеристик структур в соединении с их качественной нагрузкой на основании информационной интерпретации мультифрактального формализма позволяют извлекать дополнительные сведения о различных процессах, например, разрушений в реальных материалах.

Значения фрактальных размерностей структур поверхностей изломов, лежат в довольно узком диапазоне (1,9 lt; D lt; 2,0), что свидетельствует об ограниченности параметризации структур с помощью лишь одной величины фрактальной размерности.

Мультифрактальный формализм может служить основой эффективной количественной параметризации структур материалов, количественно отражая такие свойства структур как сложность, упорядоченность и неоднородность. Мультифрактальный формализм предоставляет дополнительные возможности для прогнозирования механических свойств материалов и для предсказания возможных путей эволюции структуры при внешних воздействиях, а также для оптимизации структур материалов.

Идея о том, что фрактальная мера может быть представлена взаимосвязанными фрактальными подмножествами, изменяющимися по степенному закону с различными показателями, открывает новый простор для применений фрактальной геометрии к физическим системам. Исследование мультифракталов представляет собой быстро развивающуюся область физики фракталов. Ведущее положение и приоритет в использовании концепции фракталов в исследовании металлических материалов принадлежит школе профессора В.С. Ивановой. Первый вариант методики мультифрактальной параметризации структур материалов был создан в 1993 г. в Лаборатории прочности металлических материалов ИМЕТ РАН Встовским Г.В., Колмаковым А.Г. и Терентьевым В.Ф.

Возможны два пути генерации мультифрактала: 1) геометрическое построение, в процессе которого исходный фрагмент делится на несколько блоков, число и взаимное положение которых затем изменяются, и процесс многократно повторяется; метод свертывания, где в отличие от предыдущего построения остаются постоянными как число блоков, так и полная величина их физической меры (например, масса); сам же процесс построения сводится к сжатию блоков (свертыванию).

Особый интерес представляет генерация меры по "рельефу" плоского изображения структуры (микрофотографии). Современные компьютерные технологии позволяют любую микрофотографию представить в оцифрованном виде, если она изначально уже не была получена именно таким образом, как матрица дискретных одинаковых по размеру элементов изображений - пикселов.

Пикселы - это "точки" различных цветов, уровней серости и пр. Каждому пикселу приписывается три числовых характеристики (координаты): две из них задают положение пиксела на плоскости изображения а третья характеристика задает его полутоновую характеристику или цвет. Цветовые характеристики пикселов задаются целыми числами: от 0 до 16, от 0 до 256 или от 0 до 256 - для цветных изображений, от 0 до 256 - для серых изображений и 0 - 1 - для черно-белых изображений (бинарные матрицы из нулей и единиц). "Координаты" пикселов на плоскости представляют собой номера рядов и колонок в матрице пикселов (с помощью которой представляются изображения в цифровом виде) и также задаются целыми числами. Значение цветовой характеристики можно интерпретировать как высоту рельефа в данной точке (пикселе) изображения. Таким образом, используя цветовую характеристику пиксела как обычное число, можно представить себе плоское изображение в виде рельефа поверхности в трехмерном пространстве. Причем координаты точек этой поверхности имеют целочисленные значения.

При изучении топографических структур вместо характеристик цвета можно использовать и непосредственно значение высоты рельефа изучаемой поверхности (после нормировки и/или дискретизации для получения целочисленных значений высоты). Примером таких структур могут служить трехмерные цифровые изображения поверхности материалов, полученные с помощью туннельного зондового, атомно-силового или растрового электронного микроскопов. Генерируемая по характеристике цвета или высоты мера на множестве элементарных ячеек мера может непосредственно использоваться для мультифрактального анализа изображений. Таким образом, при разбиении охватывающего пространства, в котором содержится изучаемый объект, на нем можно генерировать меру, распределение некоторой эффективной не меняющей свой знак величины. Сам объект называется носителем меры. Такая интерпретация мультифрактального формализма не является единственной. Имеются интерпретации Мандельброта, термодинамическая и информационная.

Последняя дает ряд дополнительных возможностей и позволяет вводить характеристики упорядоченности и однородности упорядоченных структур и измерять относительную величину степени нарушения фрактальной симметрии.

Для практических расчетов применяется метод генерации мер огрубленных разбиений (МГМОР). При использовании данного метода охватывающее изучаемую структуру пространство разбивается на как можно более "мелкие" равные элементарные ячейки определенного размера. Их величина может определяться условиями эксперимента, способом представления наблюдаемой структуры, чувствительностью аппаратуры и пр. Форма ячеек предполагается кубической в трехмерном пространстве или квадратной для изучаемой структуры на плоскости. Размеры элементарных ячеек во всех направлениях предполагаются равными, что является дополнительным условием, наложенным на равноячеечное разбиение. Число элементарных ячеек должно быть достаточно большим. Практически во всех случаях исследования мультифрактальных свойств реальных объектов, введение такого разбиения и вычисление на нем меры, соответственно природе изучаемых объектов, реально осуществимы.

Конкретный практический алгоритм выглядит следующим образом. Оцифрованные изображения представляют собой матрицы точек - пикселов, каждый со своей цветовой характеристикой, которая фактически является целым числом. Если каждое такое число разделить на сумму всех чисел на фотографии, то получится мера для каждого пиксела. Теперь на основе этой меры можно сгенерировать меры огрубленных разбиений изображения на большие ячейки из 2х2, 3х3 и т.д. пикселов, просто складывая меры отдельных пикселов в укрупненных ячейках. Таких разбиений можно сделать довольно много, если удачно выбрать размер изображения в пикселах.

Для случая плоских бинарных структур после дискретной аппроксимации их изображений получаются двухмерные матрицы нулей и единиц и далее проводится ряд последующих разбиений матриц на более крупные ячейки и построением для каждого разбиения характеристической меры в виде равноячеечного распределения единиц. Для вычисления мультифрактальных характеристик пределы при переходе к бесконечно измельченным разбиениям заменяются на производные, или наклоны, которые можно оценить в логарифмических или полулогарифмических осях методом наименьших квадратов, посчитав суммы по нескольким огрубленным разбиениям для каждого q из заданного интервала с заданной частотой.

Способ вычисления мультифрактальных характеристик состоит в том, что используя набор огрубленных разбиений с их мерами для каждого разбиения рассчитывается его обобщенная корреляционная функция для всех заданных величин q из некоторого диапазона. Далее для каждой такой обобщенной корреляционной функции строится аналог графика Ричардсона в двух логарифмических осях и по методу наименьших квадратов определяется его наклон. В результате получается оценка экспоненты обобщенной корреляционной функции. После численного построения функции для некоторого диапазона значений q, взятых с заданной частотой, численно берется производная и рассчитываются спектры размерностей.

Литература к главе 3. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.              - М.:              Институт

компьютерных исследований, 2002, 656 с. Иванова В.С. Синергетика. Прочность и разрушение металлических материалов., М.: Наука, 1992, 160 с. Иванова В.С., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М.: Наука, 1994, 383 с. Встовский Г.В., Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Введение в мультифрактальную параметризацию структур материалов. - Москва - Ижевск: Научноиздательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 116 с. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ. - М.: Мир, 1991, 254 с. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. - М.: Наука, 1991, 136 с. Золотухин И.В., Калинин Ю.Е. Фракталы в конденсированных средах: полимеры и биологические структуры: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2002, 89 с. Фракталы в физике: Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике: Пер. с англ. /Под ред. Л.Пьетронеро, Э. Тозатти. - М.: Мир, 1988, 672 с. Зосимов В.В., Лямшев Л.М. Фракталы в волновых процессах. - УФН. - Т. 64, № 4. - 1995. - С. 361 - 401. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. - Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 160 с. Олемской А.И. Синергетика конденсированной среды / А.И. Олемской, А.А. Кацнельсон, М.: Едиториал УРСС. - 2003, 336 с

<< | >>
Источник: В. И. Марголин. Основы нанотехнологии. Учебное пособие. 2004

Еще по теме Глава III. Раздел 6. Концепция мультифрактала.:

  1. Глава III. Раздел 6. Концепция мультифрактала.