<<
>>

Глава III. Раздел 3. Реальные фракталы и методы определения фрактальной размерности.

  Распространенность фрактальных структур в природе невообразима. Фракталь- ны пористые минералы и горные породы; расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая и др.
системы в организмах животных и человека; реки, облака, линия морского побережья, горный рельеф и многое другое. Мало того, фрактальны практически все поверхности твердых тел. В последнее время появляются теории фрактального строения и принципов развития Вселенной, физического вакуума и много других разнообразных теорий. Возникает естественный вопрос (не что делать или кто виноват) - как рассчитать фрактальную размерность реальных природных объектов или субъектов.

К настоящему времени разработано довольно много методов измерения фрактальной размерности, которые можно разделить на геометрические (метод островов среза, Фурье анализ профилей, метод вертикальных сечений, метод подсчета числа ячеек и пр.) и физические, связанные с использованием на первой ступени сложной физической аппаратуры (ртутная порометрия, растровая электронная и просвечивающая электронная микроскопии, атомно-силовая микроскопия, вторичная электронная эмиссия, малоугловое рассеяние электронов и нейтронов и т.д.). Получаемая с помощью физических методов информация о характеристиках объекта носит косвенный характер и требует дополнительной обработки и осмысления, поэтому физические методы особой популярностью не пользуются.

Геометрические методы можно также условно разбить на два направления. Первое направление занимается непосредственным измерением фрактальной размерности собственно самой фрактальной структуры. Второе направление моделирует реальную фрактальную структуру с помощью известных математических структур или регулярных фракталов, фрактальная размерность которых уже известна и приписывает изучаемой фрактальной структуре характеристики структуры-модели.

Метод настолько же удобен, насколько неадекватен.

Разработано множество модельных механизмов формирования фрактальных структур и кластеров. Это во многом связано с развитием и все более широким внедрением вычислительной техники. Проведено огромное количество численных экспериментов, в которых выявлялись закономерности фрактальной природы реальных объектов на основе модельных механизмов. Среди моделей агрегации следует выделить модель агрегации, ограниченной диффузией (DLA или ОДА), модель ограниченной диффузией кластерной агрегации (DLCA - ОДКА) и модель кластер-кластерной агрегации (ССА - ККА).

Многие реальные физические процессы хорошо описываются ОДА - моделью. Это прежде всего электролиз, кристаллизация жидкости на подложке, осаждение частиц при напылении твердых аэрозолей. В компьютерном моделировании ОДА-

процесса на начальном этапе в центре области устанавливается затравочное зерно, затем из удаленного источника на границе области поочередно выпускаются частицы, которые совершают броуновское движение и в конечном итоге прилипают к неподвижному зерну. Таким образом происходит рост ОДА - кластера.

При помощи ККА - процесса моделируются гелеобразование и формирование связанно-дисперсных систем. В этом процессе нет затравочного зерна. Все частицы совершают случайные блуждания и образуют кластеры, которые продолжают диффундировать, формируя кластеры больших размеров. В пределе система может превратиться в один гигантский кластер.

Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, в том числе в материаловедении и механике деформируемых тел, основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, отрезками, плоскостями, многоугольниками, многогранниками, сферами. При этом внутренняя структура исследуемого объекта обычно во внимание не принимается, а процессы образования структур и их взаимодействия между собой и с окружающей средой характеризуются интегральными термодинамическими параметрами.

Это приводит к утрате значительной части информации о свойствах и поведении исследуемых систем, которые, в сущности, заменяются более или менее адекватными моделями. В некоторых случаях такая замена вполне оправдана. В то же время, известны ситуации, когда использование топологически неэквивалентных моделей принципиально недопустимо.

В металлических материалах и сплавах существуют ячеистые или зернистые микроструктуры, чаще всего нанокристаллические. Они могут иметь фрактальный или нефрактальный характер. В развитых фрактальных структурах, образовавшихся в условиях самоорганизации и различных физических процессах возникает конкуренция нескольких центров за доминирование на плоскости или в объеме. В результате такого соперничества редко возникают простые границы между территориями. Чаще происходит взаимопроникновение структур и их конкуренция за самые незначительные участки территории, что приводит к деформации и искажению нормальной структуры границы. Пограничные области в большей или меньшей мере неоднородно и непредсказуемо зависят от условий, характеризующих изучаемый процесс.

Может возникнуть и большее число конкурентов, что особенно характерно для неоднородных фракталов и их структур. Может случиться, что один центр захватит всю локальную область и полностью на ней доминирует, но и в этом случае его доминирующее положение ограничено. Подобного рода границы могут быть описаны исключительно фрактальной геометрией. Инструментом для описания подобных объектов служат фрактальные множества. Расчет фрактальной размерности и других характеристик реальных объектов немыслим без применения современной компьютерной техники и компьютерных технологий.

В зависимости от размера объекта (фрактального агрегата) его изображение можно получить фотографированием в обычном оптическом, электронном растровом или просвечивающем микроскопе, сканирующем туннельно-зондовом или атомно-силовом микроскопе (три основные ступени увеличения исследуемого объекта). Дальнейший анализ изображения для получения фрактальных характеристик сводится к тому, что поле изображения фотографии разбивается на конечное число элементов, в простейшем случае квадратиков или пикселей.

Яркость изображения в пределах каждого элемента считается одинаковой. Минимальный размер изображения определяется разрешающей способностью аппаратуры, что, в свою очередь, определяет качество фрактального анализа.

Оптимальным является случай, когда размер элемента изображения соответствует размеру частицы р, из которых затем образуется фрактальный агрегат. Размер кадра или области сканирования должен приблизительно соответствовать размеру фрактального агрегата. Число дискретных элементов изображения должно быть достаточно большим, чтобы масштабную инвариантность можно было проверить в достаточно широком диапазоне размеров. Поэтому желательно производить анализ структуры на всех трех уровнях, от оптической микроскопии по всем ступеням ее возможностей - до атомно-силовой.

В тех случаях, когда фрактальные свойства проявляются на масштабах, не превышающих 1 мкм, для измерений можно использовать излучение с короткими длинами волн - рентгеновское или глубокий (вакуумный) ультрафиолет.

Геометрический метод весьма эффективно используется для природных ломаных форм типа описания броуновского движения. Его использовали, чтобы вычислить размерности побережий, границ и облаков, микропористых структур и наноразмерных частиц.

Метод подобия и геометрический метод для вычисления фрактальной размерности требуют измерения размера. Самым простым способом является разбиение изображения объекта (микрофотографии или схемы границ) посредством координатной сетки на квадраты или пиксели, с размером стороны h. Современная компьютерная техника позволяет это делать практически с любой точностью. Вместо нахождения точного размера фрактала, производится подсчет числа клеток, которые не пусты. Приравняем к этому числу переменную N. Уменьшение клеток делает подсчет более точным, что равносильно увеличению. Фактически увеличение е является равным 1/h. Тогда формулу для фрактальной размерности:

D = log N / log e

Заменяем с учетом произведенного разбиения на:

D=logN/log(l/h)

Уменьшение h будет делать размерность более точной.

Для 3-х размерных фракталов аналогичную операцию можно производить с кубами вместо квадратов, а для фракталов в одном измерении можно использовать отрезки. Метод счета кле

ток применим для природных форм, которые с трудом поддаются измерению, от фрактальных наноразмерных пленок до культуры бактерий.

Для определения фрактальной размерности можно применять также дисперсионный метод, состоящий в следующем. Используется временной ряд из N=2M отсчетов. На первом шаге из N=2M отсчетов вычисляется коэффициент вариации Cv(1),% с использованием всех N значений временного ряда. Затем каждые 2 соседних отсчета усредняются и для вновь полученного временного ряда длиной N/2 вычисляется Cv(2). На следующем шаге усредняются 2 отсчета из полученного на предыдущем шаге ряда длиной N/2 и вычисляется Cv(3) и т. д. Данный процесс усреднения двух соседних отсчетов в пределах зерна укрупнения временной шкалы и расчета Cv(i) для вновь модифицированного ряда производится М-1 раз до достижения ряда, состоящего только из 2 отсчетов, каждый из которых есть результат усреднения первой или второй половины временного ряда. Затем строится в логарифмических шкалах график зависимости Cv(i) от размера зерна укрупнения временной шкалы. Вычисляется тангенс угла наклона A(tgA) прямой регрессии для отмеченных точек оси X. Фрактальная размерность временного ряда определится как:

D = l-tgA.

К непрямым геометрическим методам относится метод вертикальных сечений, состоящий в исследовании зависимости длины профиля поверхности разрушения от масштаба разрушения. Максимальная достоверность достигается при анализе нескольких ориентаций профилей на обрабатываемой поверхности. Профили по-

лучаются при шлифовании вертикальных сечений поверхности разрушения, покрытой твердым компаундом. Зависимость длины профилей L от масштаба измерения б описывается уравнением:


где d=1 - целая размерность линии, D' - размерность профиля.

В методе вертикальных сечений непосредственно измеряется наклон зависимости lnL(e) от ln(e), а размерность самой поверхности разрушения определяется по формуле:

D = D'+1

Также к непрямым методам относится метод островов среза, состоит в получении зависимости А(Р), где Р - периметр, А - площадь островов, получающихся при сечении поверхности разрушения плоскостями, параллельными основной (средней) плоскости поверхности разрушения - рис. 1. а Для получения таких срезов обычно применяется специальная технология. Поверхность разрушения сначала покрывают тонким слоем электролитически выращенного никеля, образец заливается компаундом и после затвердения компаунда подвергается ступенчатой полировке. Получаемые при этом последовательные шлифы обрабатываются тем или иным способом, чаще всего с помощью анализатора изображения, который выделяет границы островов срезанной верхушки поверхности разрушения, что дает статистику точек на плоскости lnP - lnA. Наклон D' прямой, проводимой по методу наименьших квадратов, является размерностью береговых линий островов. Регрессионный анализ зависимости площади А островов от их периметра Р в двухлогарифмических координатах показан на рис. 1 б.

Для описания реальных объектов существует довольно большое множество различных типов фрактальных размерностей. Если использовать модельную систему фрактального пористого (перколяционного) кластера то возникает вопрос, а что, собственно, понимать тогда под поверхностью, поскольку для нее возможно

Рис. 1. Различные виды фрактальных поверхностей, возникающих при описании

перколяционных кластеров.

уже несколько определений, а не одно, как в случае классической физики. Как показано на рис. 1, это может быть внешний периметр Dh (иногда не совсем коррект-

но с высоконаучной точки зрения, зато понятно и доходчиво, его называют кожурой или скорлупой), полный периметр Df, и неэкранированный периметр Du.

Неэкранированный периметр (показан штриховой линией) с размерностью Du, - это области, где велика вероятность столкновения блуждающей частицы с границей кластера. Узлы роста образуют границу кластера, фрактальная размерность их множества Dg, а конкретный вид фрактала, образованного этими узлами, зависит от механизма роста кластера.

Наиболее употребимыми типами фрактальных размерностей, если так позволено будет выразиться, являются: Химическая фрактальная размерность D^, которая учитывает расположение и величину всех химических связей, которые существуют между частицами кластера, и определяется через соотношение:

где N - число узлов (частиц) в кластере, а L - длина химических связей между узлами. Статистическая (массовая) фрактальная размерность объектахарактеризующая распределение всех узлов кластера в пространстве и является фрактальной размерностью в обычном понимании. Фрактальная размерность узлов роста Dg, характеризующая пространственное распределение узлов, к которым далее могут присоединяться частицы в процессе роста кластера. Иногда ее называют фрактальной размерностью периметра роста. Фрактальная размерность неэкранированной части поверхности Du. Фрактальная размерность минимального пути для блуждающей частицы, помещенной на кластер.

Эти величины связаны соотношениями:


Если образующиеся в процессах кристаллизации и конденсации критические зародыши новой фазы имеют фрактальное строение, значительный интерес представляет вопрос о дальнейшей эволюции кристаллизующейся системы. С учетом того, чтои предполагая, что для критического зародыша в процессах кристаллизации и конденсации свойственнопри D^ = 2,5,т.е. ка

ждый узел фрактального кластера (в данном случае частицы критического зародыша новой фазы) является потенциальным узлом роста, получаем:

Значит, "химическая" фрактальная размерность системы в момент образования критических зародышей новой фазы возрастает до критического порогового насыщения, что означает, что каждая частица жидкого расплава становится потенциальным узлом перколяционного кластера. Поэтому данное состояние системы

можно охарактеризовать как состояние предкристаллизации жидкой фазы. В этом состоянии частицы расплава уже не движутся хаотически по броуновским траекториям, а находятся в поле сил дальнодействующего притяжения между собой и в особенности к узлам роста критических зародышей новой фазы. Процесс предкристаллизации характеризуется переходом жидкой фазы в состояние геля - своеобразного студня, подобного киселю. Центрами уплотнения данной системы являются критические зародыши новой фазы. Плотность системы в дальнейшем возрастает. Поскольку при кристаллизации система не обменивается веществом с окружающей средой, поэтому ее общее количество узлов N = const. При постоянном N рост химической фрактальной размерности системы приводит к снижению химической длины связей 1. Когда химическая размерность достигает определенного критического значения Dхим gt;gt; 1 достигается критическое значение химической длины связи 1крит, которое соответствует химическому расстоянию между частицами в более плотной конденсированной фазе. С этого момента все составляющие систему частицы лавинообразно стремятся сконцентрироваться на узлах роста критического зародыша и находиться на расстоянии друг от друга, равном 1крит lt;lt; 1, что соответствует началу фазового перехода первого рода с образованием частиц новой, более плотной конденсированной фазы.

Однако, с ростом фрактального кластера все большее число его узлов лишается возможности присоединения частиц жидкой фазы, то есть экранируется. Под экранированием понимается прекращение процесса роста на отдельных участках поверхности кластера. Экранированными узлами чаще всего являются узлы, расположенные во впадинах извилистой фрактальной поверхности кластера, куда вероятность проникновения частицы из соседней мезофазы очень мала. Обычно частицы присоединяются к тем узлам роста кластера, которые более доступны для контакта в первые моменты попадания частицы на кластер. Такие узлы роста оказываются расположенными на выступах поверхности кластера. Поэтому экранированные узлы роста фрактального кластера остаются незадействованными. Они трансформируются в процессе роста кластеров во внутренние замкнутые поры и служат причиной возникновения внутренних напряжений и накапливают внутри себя энергию, которая называется скрытой теплотой фазового перехода первого рода.

По мере дальнейшего роста частиц конденсированной фазы часть энергии, выделяющейся при образовании связей между атомами, не уносится, а аккумулируется в кластерах. Данный факт является одной из причин стабилизации температуры во время фазовых переходов первого рода. Это снижает тенденцию активного присоединения атомов расплава к фрактальным частицам новой фазы. За счет этого, в свою очередь, снижается плотность расположения атомов в кластерах по мере их роста, увеличиваются размеры и количество пор на периферии растущих фрактальных кластеров. Это приводит к тому, что непрерывный рост фрактальных кластеров в системе кристаллизующегося жидкого расплава не может продолжаться бесконечно.

Это также означает снижение вероятности дальнейшего роста фрактальных кластеров посредством присоединения атомов из расплава. Физической причиной этого является возникновение внутри кластеров процессов выделения и диссипации скрытой теплоты фазового перехода первого рода, которая была запасена при образовании связей кластер-частица. Таким образом, плотность кластера падает от центра к периферии, в этом же направлении снижается его фрактальная размерность, которая в центре кластера приближается к D = 3 (плотная упаковка), а на границе - к D=2.

Применение модельных фракталов для моделирования реальных и приписывание затем реальным фракталам свойств модельных достаточно широко применяется вследствие его простоты, тем более что диапазон совместимости целиком определяется добросовестностью исследователя. Подбирая тип структуры, ее параметры и свойства из числа известных можно сопоставлять им исследуемую структуру. Чаще всего в качестве модельных используются достаточно простые структуры: ковер и салфетка Серпинского, кривые, снежинки и острова Коха, канторова пыль.

Физические методы измерения размерности, как отмечалось выше, менее популярны вследствие их технической сложности. Часто встречаются случаи, когда изучаемый материал имеет исключительно развитую внешнюю поверхность или сложную трехмерную структуру взаимосвязанных пор различного размера и формы. К ним относится значительное количество наноматериалов, включая нанопорошки, аэрогели, адсорбенты и пр. Для них специально были введены новые структурно-чувствительные параметры: поверхностная фрактальная размерность Dfs (наружная поверхность или поверхность пор) и фрактальная размерность порового объемного пространства Dfv. Методы их определения являются отчасти калькой метода подсчета клеток (считаются либо молекулы и атомы адсорбата, либо используется связанное с ними какое-либо физическое свойство).

Одним из старых методов, обретшим новую фрактальную жизнь, является метод ртутной порометрии. В этом методе в исследуемый пористый образец нагнетается или вдавливается жидкость с углом смачивания более 90° (ртуть, расплавленный сплав Вуда, глицерин) и измеряется зависимость объема вдавленной жидкости от внешнего давления. Ртуть привлекательна тем, что изменение объема вдавленной жидкости определяется по изменению электрического сопротивления проволоки, погруженной в жидкость на достаточном удалении от образца (экологические и медицинские аспекты, связанные с таким приятным и полезным веществом, как ртуть, во внимание как-то не принимаются). Для фрактальной параметризации пористых структур вводится понятие эффективного геометрического объекта - скей- ла, с помощью которого можно моделировать структуру материала с любой пористостью ms. В этом случае под пористостью m понимают относительный объем по- рового пространства так, что ш~0 для сред с малой пористостью (в пределе весь объем твердого тела - скелет материала). а m ~ 1 для сред с большой пористостью (в пределе - поровое пространство). Скейл, сохраняя свойство самоподобия, не имеет фрактальной размерности, но характеризуется заданной пористостью m и степенным распределением числа пор по размерам.

Основная проблема представления фрактальных структур только с помощью фрактальной размерности в том, сложность и однородность модельных фрактальных структур могут быть различны, хотя величина их фрактальной размерности будет совпадать до четвертого знака. Это связано не только со сложностью и колоссальным многообразием реальных фракталов, но и с тем, что модельные регулярные фракталы задаются малым числом параметров и характеризуются только фрактальной размерностью (та же канторова пыль), и в принципе не могут охватить всего природного разнообразия. Структуры реальных материалов являются исключительно сложными стохастическими образованиями (стохастическим фракталами), самоподобными только в определенных рамках масштаба. Поэтому однозначная корреляция между фрактальной размерностью структуры и ее механическими, электрофизическими и прочими свойствами пока не найдено.

<< | >>
Источник: В. И. Марголин. Основы нанотехнологии. Учебное пособие. 2004

Еще по теме Глава III. Раздел 3. Реальные фракталы и методы определения фрактальной размерности.:

  1. Раздел 1. Понятие континуума. Непрерывность и дискретность
  2. Глава III. Раздел 3. Реальные фракталы и методы определения фрактальной размерности.
  3. Глава III. Раздел 4. Фрактальный подход в микро и нанотехнологии.
  4. Глава III. Раздел 5. Методы получения фрактальных структур в микро и нанотехнологии.
  5. Глава III. Раздел 6. Концепция мультифрактала.