Основные положения теории вероятностей

Теория вероятностей не может предсказать, произойдет или не произойдет какое-то реальное событие, а лишь предлагает математический аппарат для анализа и прогнозирования вероятности его появления. Она изучает вероятностные закономерности случайных событий, существующие объективно, т.е. независимо от наших желаний и предпочтений.

Исторически зарождение теории вероятностей связано с поиском закономерностей в азартных играх, таких как карты и кости. Именно тогда были предприняты первые попытки математического прогнозирования и количественного определения шансов на успех. Исходными понятиями здесь являются понятия “случайное событие” и “испытание” (опыт, эксперимент).

Случайное событие — это явление, которое при одних и тех же условиях может или произойти, или не произойти.

Испытание — это создание и осуществление этих неопределенных условий. Любое испытание приводит к результату или исходу, который заранее невозможно точно предсказать.

Случайные события происходят повсеместно — в природе, науке, технике, экономике, военном деле и т.д. Приведем простейшие примеры испытаний и соответствующих им случайных событий.

Важно отметить, что на самом деле “случайные события” вовсе не случайны - просто для их расчета пришлось бы учесть такое количество факторов и произвести расчеты такой сложности, что никто этим не занимается. Однако с совершенстованием компьютеров и датчиков люди смогут анализировать данные все

Табл 3.

быстрее и точнее и многие события перестают быть случайными. Например, попадание снаряда в цель перестало быть случайным, когда в нем появился компьютер, рассчитывающий и корректирующий траекторию полета. Выигрыш в рулетку сотни лет считался случайностью, пока хитрые игроки не наловчились передавать данные об игре через видеокамеру в суперкомпьютер, который смог рассчитать, на какую цифру упадет шарик. С развитием нанотехнологии компьютеры станут еще мощнее и компактнее, а значит, многие события перестанут быть случайными и станут не только предсказуемыми, но и управляемыми.

Случайные события могут быть:

а)              достоверными или невозможными;

Достоверным называется событие, которое в данных условиях всегда происходит, невозможным — если оно никогда не может быть результатом данного испытания. Например, при бросании монеты событие А — “Выпадение какой-либо стороны монеты” будет достоверным, а B — “Одновременное выпадение “решки” и “орла”” — невозможным.

б)              зависимыми или независимыми;

Если появление одного события влечет за собой появление другого, то говорят, что второе событие зависит от первого.

в)              равновероятными или неравновероятными;

Например, в случае бросания игральной кости события выпадения каждой цифры равновероятны (если, конечно, это “честная” кость, без смещенного центра тяжести).

А вот вероятности события “В полдень в Москве выпадет снег” будут сильно различаться в зависимости от времени года, соответствующего данному испытанию.

К определению самого понятия вероятности существует несколько различных подходов. Мы рассмотрим лишь те из них, которые необходимы нам для понимания изучаемых квантовых явлений, а именно — классический и статистический подходы.

Классическое определение вероятности исторически сложилось первым. Оно имеет место в случаях, когда случайные события являются равновероятными.

Результатом этого опыта будет служить одно из следующих случайных событий ю1, ш2, ... , ш10,

Интуитивно понятно, что вероятность выпадения красного шара выше, чем остальных, поскольку среди всех возможных исходов количество возможных благоприятных исходов, соответствующих этому событию, выше. Таким образом,

Вероятность — это отношение числа благоприятных событию исходов m к общему числу всех равновозможных исходов n

Обычно вероятность обозначают буквой P (от англ. “probability” - вероятность). Вероятность в данном случае понимается как количественная мера объективной возможности появления случайного события А и определяется формулой

В нашем примере событиям выпадения красного, зеленого и желтого шара будут соответствовать вероятности 6/10, 3/10 и 1/10.

Функция вероятности обладает некоторыми специальными свойствами: , так как количество благоприятных исходов не может быть больше их общего числа. Вероятность достоверного события = 1 Вероятность невозможного события = 0

Статистическое определение вероятности

Классическим подходом к вероятности удобно пользоваться, когда количество всех равновозможных исходов в опыте ограничено и не слишком велико. Однако эти условия не всегда соблю-

www.nanonewsnet.ru

даются на практике: иногда приходится решать задачи, в которых число исходов постоянно меняется или бесконечно велико. Кроме того, не всегда события могут быть равновероятными.

Практика показывает, что массовые случайные явления обладают одним уникальным свойством: с увеличением числа испытаний повышается устойчивость их появления. Например, если повторить опыт бросания монетки 100 раз, то примерно в 50% испытаний выпадет “орел”, а в 50% - “решка”. Если увеличить число испытаний до 1000 раз, это в конце концов приведет к еще большей устойчивости частоты полученных значений, а это уже определенная закономерность.

При статистическом подходе нас интересует не исход отдельно взятого испытания, а то, что получается в результате его многократного повторения, то есть в качестве статистической вероятности события принимают частоту появления того или иного события при неограниченном увеличении числа испытаний.

Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к 0.4, то это число можно принять за статистическую вероятность события.

Статистический вероятностный подход используется повсеместно для анализа и прогнозирования событий, процессов, явлений. На его основе построены некоторые научные теории физики, квантовой механики, эволюции, генетики, информатики и др. Вероятностно-статистические методы широко применяются в промышленности для контроля качества продукции, технической диагностики оборудования, организации массового обслуживания, астрономических наблюдений и т.д.

В рамках статистического подхода вводится понятие плотности распределения вероятности р(х), вид функции которой определяет закон распределения случайных величин. Существуют самые разные законы распределения: равномерное распределение, распределение Пуассона, распределение Бернулли и др., но наиболее распространено в природе так называемое нормальное распределение, или распределение Гаусса. На рисунке представлен вид функции такого нормального распределения, а смысл его заключается в том, что в результате большого числа испытаний относительная частота появления какого-то события группируется вокруг некоторого среднего числа, которое и можно принять за значение статистической вероятности.

Следующий пример наглядно иллюстрирует данный закон распределения: предположим, мы высыпаем мешок гороха на пол, держа его в одном и том же вертикальном положении. В принципе, после этого существуют некоторая вероятность обнаружить горошину в любом месте комнаты, даже в самом дальнем углу. Однако вероятность того, что мы найдем горошину в самом центре образовавшейся на полу “кучки”, гораздо выше. Значение вероятности, соответствующее координате центра кучки, мы и принимаем за статистическую вероятность.

Другой пример: пусть производится серия выстрелов по цели. Если учесть, что стрелки палят не наобум, а прилагают все усилия, чтобы попасть в “яблочко”, то вероятность попадания пули будет возрастать с приближением к центру мишени.

Но “вернемся к нашим баранам”. Итак, мы решаем задачу нахождения микрочастицы в некотором объеме dV, например, ищем местоположение электрона в атоме. Как мы уже знаем, из- за несовершенства измерительных приборов мы не можем точно указать его местоположение, а можем лишь указать вероятность dP его местонахождения в той или иной части объема dV.

Кроме того, мы знаем, что эта вероятность dP прямо пропорциональна dV и связана с ней следующим соотношением:

где- это квадрат амплитуды волновой функции, математический смысл которой соответствует как раз функции плотности распределения вероятностей.

Перепишем данное уравнение в виде:

www.nanonewsnet.ru

НАНОТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ ВСЕХ

Теперь ясно видно, что определяет вероятность нахождения частицы в некоторый момент времени t в некотором объеме dV, то есть фактически место ее нахождения в точке с координатами x,y,z (объем имеет три измерения)

В атоме водорода единственный электрон как бы образует вокруг ядра электронное облако — облако отрицательного заряда, плотность которого в некоторой точке характеризует вероятность нахождения там электрона.

Максимальная вероятность найти электрон соответствует расстоянию г=0,053нм. Вполне возможно, что в некоторый момент электрон находится или ближе к ядру, или дальше, но вероятность его обнаружения при этом убывает.

Область пространства, для которой вероятность обнаружения электрона составляет 95%, называется атомной орбиталью.

Итак, мы усвоили еще одну важную особенность квантовой механики:

Поведение элементарных частиц носит вероятностный характер, описываемый волновой функцией

Чтобы определить волновую функцию частицы для конкретной задачи, физики решают уравнение Шредингера, которое учитывает влияние электромагнитных сил на ее движение. Это дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка.

Страшно? Для решения этого уравнения потребутся знания, которые не может обеспечить школьная программа по математике, поэтому мы не будем обсуждать его в нашем курсе. Заметим лишь то, что для квантового мира уравнение Шредингера играет ту же роль, что законы Ньютона для мира классического.