<<
>>

Раздел 1. Основные понятия нелинейной динамики.

  С точки зрения особенностей взаимодействия с внешней средой все системы (от маленького забитого вируса до гигантской звездной системы) делятся на открытые и закрытые. Открытая система обменивается с внешней средой веществом, энергией и информацией, вследствие чего в ней происходят различные процессы, изменяющие ее состояние во времени.
Такая система во-первых находится в состоянии, далеком от равновесия, поскольку обмен веществом, энергией и информацией с внешней средой все время изменяет ее состояние и она просто не успевает должным образом отрелаксировать. Во вторых, она эволюционирует во времени, если процессы, в ней происходящие, необратимы, причем в зависимости от изменения начальных параметров системы ее эволюция может протекать различным образом. Закрытая система не обменивается с внешней средой ни энергией, ни веществом, ни информацией и пребывает в состоянии равновесия. Если вывести каким-либо образом закрытую систему из положения равновесия путем внешнего воздействия, то через некоторое время за счет релаксационных процессов равновесие в системе восстановится.

Классическая физика и все ее производные в основном оперируют с закрытыми системами, а если на такую систему и подается какое-то возмущение, то интересуются только двумя состояниями - до возмущения и после него, когда система придет в равновесие. Переходной процесс, эволюция системы даже в таком маленьком временном интервале внимания не заслуживали, что очень странно, т.к. пример истинной закрытой системы отыскать практически невозможно, если не рассматривать (и то с большой натяжкой) всю Вселенную. В остальных случаях приходится оговаривать, с какими приближениями, натяжками и допущениями систему можно считать закрытой. Биологические системы принципиально не могут быть закрытыми, они эволюционируют с уменьшением энтропии до момента прекращения своего существования и с ее увеличением после наступления этого во многом прискорбного факта (грубо говоря, начинают разлагаться после смерти - но это не изысканная формулировка).

Переход к изучению открытых систем означает также ломку сложившихся научных стереотипов и косных систем мышления, тесно связанных с их биологическими носителями и соответствующими материальными и социальными благами.

Поскольку для открытых систем не пригоден принцип временной инвариантности, то описание процессов, происходящих в открытых системах отличается от такового для закрытых. Для описания закрытой системы используются уравнения, обратимые во времени и, соответственно, обратимы во времени все происходящие в ней процессы. В открытых системах происходящие процессы не обратимы во времени. Особый интерес представляют динамические системы. Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно опреде

лено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан оператор, описывающий эволюцию начального состояния во времени. Это система любой природы (физической, химической, биологической и даже социальной или экономической), состояние которой изменяется во времени, дискретно или непрерывно.

Понятие динамической системы, первоначально возникшее как обобщение понятия системы механической природы, при таком определении существенно расширяется. Динамические системы - это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описание динамических систем в смысле задания оператора эволюции также допускает большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.

Все системы по способу своего описания делятся на линейные и нелинейные. Геометрическим образом линейной функции на плоскости будет прямая линия, а геометрическим образом нелинейной функции - любая кривая.

Любая линейная функция откликается на приращение независимой переменной (х) одним и тем же приращением своего значения (у), в какой бы части области определения ни находилось то значение независимой переменной, которой придается приращение, как это показано на рис. 2 а. Нелинейные функции ведут себя совершенно иначе, как это демонстрирует рис. 2 б. На приведенном графике вначале вообще проявляется "безразличие" к приращениям х, затем падение, потом на малое приращение х следует мощный рост у и т.д.

Рис. 2 Линейная (а) и нелинейная (б) функции

Нелинейные функции изменчивы и неповторимы. То, что точно описывает характерные особенности одного класса нелинейных функций может быть абсолютно неприменимо к другому их классу. При переходе в нелинейный мир навсегда утрачивается основной краеугольный камень предыдущей физики - принцип суперпозиции, позволявший конструировать любую задачу как набор частных решений, к примеру всем известная кусочно-линейная аппроксимация.

Напоминание для забывчивых или вовремя не выучивших. Принцип суперпозиции, он же принцип наложения - это допущение, согласно которому если составляющие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга, то результирующий эффект будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности. Принцип суперпозиции строго применим к системам, поведение которых описывается линейными соотношениями, т.е. для линейных систем. К примеру, если среда, в которой распространяется волна, линейна, т.е. ее свойства не меняются под действием возмущений, создаваемых волной, то все эффекты, вызываемые негармонической волной, могут быть определены как сумма эффектов, создаваемых каждой из ее гармонических составляющих. С помощью преобразованию Фурье любую негармоническую функцию можно представить как комбинацию гармонических. Для линейных систем характерны так называемые аффинные преобразования - точечные взаимно однозначные отображения плоскости (пространства) на себя, при которых прямые переходят в прямые, параллельные прямые и плоскости преобразуются в параллельные прямые и плоскости.

Примером аффинного преобразования может служить ортогональное преобразование и последовательное сжатие (или расширение) по трем взаимноперпендикулярным плоскостям.

Нелинейность в мировоззренческом смысле означает много вариантность путей развития, наличие выбора из альтернатив путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. Нелинейность в математическом смысле означает, определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды. То есть, в случае применения классических моделей (например, трендовых, регрессионных и т. д.), будущее объекта однозначно детерминированное и его можно предсказать, зная прошлое объекта (исходные данные для моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент, что является попыткой смоделировать хаотичное развитие.

Как понятно даже малоподготовленному читателю, реальный мир весьма далек от прекрасного идеалистического линейного существования и описывается совершенно нелинейными функциями. Причем это относится даже к таким "наукам", как социология и экономика (как известно, экономисты имеют такое же отношение к экономике, как метеорологи к погоде). Для описания нелинейного мира необходима не только новая математика (она уже есть), но и не заскорузлое мышление и способность воспринимать новое и непривычное (вот этого еще очень мало). Однако самое болезненное для большинства, так сказать пик формы - это соединение в "одном флаконе" нелинейных и открытых систем.

Речь идёт о системах, имеющих выход и вход, то есть обменивающихся с окружающей средой потоками энтропии (энергии, вещества, информации), благодаря этому система оказывается выведенной из состояния термодинамического равновесия, то есть оказывается неравновесной, в ней происходят необратимые процессы, которые могут самопроизвольно протекать только в одном определённом направлении.

Нелинейность означает, что распространяющиеся через систему потоки энтропии изменяют её параметры тем в большей мере, чем интенсивней эти потоки. Поэтому динамику системы описывают нелинейные модели, например, нелинейные дифференциальные равнения. Они имеют не одно, а несколько возможных решений, то есть система может эволюционировать несколькими путями. Изменение параметров системы способно вызывать ветвление пути эволюции, то есть бифуркацию. Сложность означает, что система является иерархией подсистем, образующих целостность, и протекающие процессы имеют кооперативный (коллективный) характер. К числу названных систем относятся самые разнообразные: клетка, организм, город, лазер, популяция животных, человеческое общество, государство и социум и т.п.

Хаос может выступать в роли конструктивного начала, когда движение системы неустойчиво, то есть когда малые воздействия способны перевести её в другое макроскопическое состояние, либо когда система застигнута вблизи точки бифуркации и флуктуация параметра системы обусловливает выбор её движения по одному из возможных путей эволюции, что сопровождается или разрушением порядка, или переходом к новому упорядоченному состоянию.

Синергетика занимается построением математических и компьютерных моделей процессов в системах любой природы. Изучением условий, механизмов, типов переходов структуры, выяснением свойств структуры и хаоса, их связи с процедурами обработки информации, возможности управления сложными системами посредством стимулирования оптимальных процессов самоорганизации и др.

Если подводимый к системе поток, например, энергии, превышает некоторое пороговое значение, при котором компенсируются потери энергии в системе, в ней образуются пространственно-временные структуры, т.е. происходит самоорганизация. Так, в лазере, когда подводимая к лазерному веществу энергия накачки мала, его атомы пускают свет несогласованно, создавая излучение, чьи характеристики изменяются хаотически. Достижение порогового значения приводит - скачком - к возникновению упорядоченной структуры, то есть волны когерентного излучения, характеристики которой постоянны.

Иначе говоря, имеет место переход хаос

структура. Дальнейший рост подводимой к лазерному веществу энергии при условии сильных её потерь способен вызвать переход структура-хаос. Существенно, что такой хаос, называемый динамическим или детерминированным, структурен, то есть обладает той или иной степенью упорядоченности.

Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан эволюционный оператор, позволяющий решать задачу определения изменения состояния во времени.

Описывать эволюцию динамической системы во времени можно по разному, в зависимости от того, какой аспект ее эволюции представляет интерес для исследователя. Если интерес представляет конфигурация системы, ее положение в эвклидовом пространстве или состав, то принято пользоваться конфигурационным пространством, в котором каждая точка описывает какую-то конфигурацию системы. Но для описания эволюции системы во времени информации, содержащейся в конфигурационном пространстве, недостаточно. Пространство, каждая точка которого соответствует состоянию динамической системы, называется фазовым пространством.

Для определения динамической системы необходимо указать объект, допускающий описание состояния заданием величин хь х2, ... хм в некоторый момент времени t = t0. Величины х; могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величинотвечают два строго разных состояния. За

кон эволюции динамической системы во времени записывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

Если рассматривать величины xb x2, x3,...xN как координаты точки х в N - мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление состояния динамической системы в виде этой точки. Эту точку обычно называют фазовой точкой, а пространство состояний — фазовым пространством динамической системы. Изменению состояния системы во времени (эволюции системы) отвечает движение фазовой точки в фазовом пространстве вдоль некоторой линии, которая называется фазовой траекторией. При этом далеко не всегда движение точки в фазовом пространстве отвечает ее движению в трехмерном эвклидовом пространстве. Очень редко может оказаться, что N -мерное фазовое пространство динамической системы окажется евклидовым и будет наблюдаться соответствие между всеми возможными состояниями системы и точками эвклидова пространства.

Важным понятием является степень свободы системы и число степеней свободы. Под степенью свободы принято понимать независимую координату, связанную с описывающим систему параметром, а под числом степеней свободы - наименьшее число независимых координат, необходимых и достаточных для однозначного

определения состояния системы. Каждому состоянию x(to) в фазовом пространстве ставится в соответствие то единственное состояниекуда за время t - to

переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с вышеприведенным уравнением, которое можно переписать в виде:

где Tt - оператор отображения фазового пространства на себя. Это означает, что изменяя начальные условия в момент времени равный нулю, мы изменяем эволюционную фазовую траекторию точки. В качестве примере рассмотрим тигель с расплавом, находящийся неподвижно и в эвклидовом пространстве не перемещающийся. Под действием различных причин (в них разбираться не станем) он будет охлаждаться и его температура медленно падать, значит ее возьмем за первую фазовую координату. Будем добавлять в раствор какую-нибудь примесь, причем не монотонно, отчего, естественно, ее концентрация будет меняться тоже не монотонно - это вторая фазовая координата. Также по другому закону будем добавлять вторую примесь - это третья фазовая координата. Их мы еще можем изобразить на доступном нашему скудному воображению графике в эвклидовом пространстве. А теперь начнем облучать систему модулированным лазерным излучением, меняющим конфигурацию и количество кластеров в жидкой фазе - это будет четвертая координата, но ее мы на графике уже изобразить не сможем, а сможем дать только математическое описание этой четырехмерной системы. А кто нам помешает и дальше измываться над беззащитной системой, вводя различные физические воздействия и факторы и, соответственно, фазовые координаты. Никто, даже общество защиты животных. Но наглядно, с помощью имеющихся у нас скудных графических средств и ограниченных умственных способностей, мы можем описать эволюцию в фазовом (не эвклидовом) пространстве только трехмерной системы. Для описания четырех переменных эвклидово пространство, с помощью которого хотелось бы описать фазовое пространство, бессильно. А жаль.

Рассмотрим эволюцию во времени некоей открытой абстрактной системы, эволюционирующей во времени и в самом общем случае движущейся в трехмерном эвклидовом пространстве и попутно обменивающуюся с внешней средой веществом, энергией и информацией. По оси абсцисс (х) будем откладывать изменение во времени пространственных координат системы в эвклидовом пространстве и обозначим изменение во времени через Q (имеем право хоть на что-то, в конце-то концов), где одна точка на фазовой оси обозначает совокупность трехмерных эвклидовых координат для данной системы в данный момент времени.


По оси ординат в общем виде обозначим изменения какой-либо другой характеристики системы - пусть количества вещества С, которым система обменивается с окружающим миром. В общем виде - значит не вдаваясь во всякие дурацкие подробности - какими веществами, как и сколько.

Тогда по оси у можем отложить либо изменения в энергии системы Е, что мы и сделали, или информации, что мы не сделали, так как не захотели. Таким образом, для информации в трехмерном фазовом пространстве места не осталось. Но это в жизни лучше не читать газет и не смотреть в ящик для идиотов. Для любой нормальной системы (не демократической) игнорирование информационного обмена может быть катастрофичным - точно так же, как игнорирование обмена веществом или энергией. Из этого следует весьма печальный вывод, что даже для описания системы в самом общем виде не хватает трехкоординатной эвклидовой сетки, а оперировать с большим числом координат в эвклидовом пространстве мы не умеем. Поэтому реальную полноценную нелинейную открытую систему даже в самом общем виде наглядно описать невозможно, а только с помощью математических уравнений, что не есть хорошо - куда уж хуже.

Рассмотрим далее наш график. Эволюция системы началась для нас с временной точки t=0, но поскольку система уже располагалась в пространстве и имела в своем составе какое-то вещество, и обладала какой-то энергией, то эволюция пойдет не из начала координат. В каждый последующий момент времени за счет обмена с внешней средой веществом и энергией система будет перемещаться в фазовом пространстве (и в эвклидовом тоже, но лишь как составляющей фазового, т.е. каждая новая совокупность всех трех координат в эвклидовом пространстве в фазовом пространстве будет отображаться одной точкой). Эволюция во времени большинства систем приводит к тому, что фазовая траектория начинает эволюционировать вокруг некоей области притяжения, называемой аттрактором, как это и показано на графике. Если траектория при t^w будет описывать такую фигуру ни разу не пересекаясь сама с собой, то такой аттрактор будет именоваться странным.

Для простоты понимания представим фазовое пространство в виде двухкоординатного эвклидова, в котором течет река и впадает в озеро. Бросим в реку теннисный мячик (или еще какой-нибудь плавающий объект - по выбору экспериментатора, например, голову его научного противника - она тоже всегда плавает на поверхности) и будем отслеживать его перемещение. В зависимости от того, как мы его бросим (начальных условий) его траектории в фазовом пространстве (речке) будут разными, т.е. эволюция системы будет происходить по-разному, но подчиняться определенным закономерностям. Например, за берег мячик не выскочит. Попав в озеро, берега которого являются границей аттрактора, мячик будет всю оставшуюся жизнь (пока его не украдут) болтаться по озеру, описывая динамические траектории, как на нашем рисунке, но за пределы озера так и не выйдет. Точно так же в любом фазовом пространстве ведет себя любая динамическая система, важно только понять, что является берегами озера и кто и как кинул мячик. После того, как Ельцин кинул всю страну, это уже не так сложно.

По энергетическому признаку динамические системы классифицируются на консервативные и неконсервативные. Консервативные системы характеризуются неизменным во времени запасом энергии. В механике их называют гамильтоновыми. Для консервативных систем с n степенями свободы определяется гамильтониан системы, который полностью характеризует динамическую природу системы и с физической точки зрения в большинстве случаев представляет собой ее полную энергию. Эволюция во времени консервативных систем описывается уравнениями механики Гамильтона. Движение изображающих точек в фазовом пространстве в данном случае можно интерпретировать как стационарное течение несжимаемой жидкости, подчиняющееся уравнению непрерывности. Отсюда следует, что элемент фазового объема в консервативных системах не изменяется во времени.

Динамические системы с изменяющимся во времени запасом энергии являются неконсервативными. Системы, в которых энергия уменьшается во времени ввиду наличия, например, трения или рассеяния, называются диссипативными. А вот для систем, энергия которых нарастает со временем не хватило ума придумать красивое и изысканное название, и их называют системами с отрицательным трением или отрицательной диссипацией. Принципиальной особенностью диссипативных систем является зависимость элемента фазового объема от времени. В системах с поглощение энергии фазовый объем во времени уменьшается, в системах с отрицательным трением - увеличивается. Это обстоятельство приводит к тому, что в диссипативных нелинейных системах могут существовать изолированные траектории, являющиеся предельными для начальных состояний из некоторой области притяжений. Динамические системы называются автономными, если они не подвержены действию внешних сил, переменных во времени. Уравнения автономных систем явной зависимости от времени не содержат. Та или иная форма воздействия на систему делает ее неавтономной и приводит к явной зависимости уравнений от времени.

Большинство реальных колебательных систем в физике, радиофизике, биологии, химии и других областях знаний является неконсервативными. Среди них выделяется особый класс так называемых автоколебательных систем, которые принципиально неконсервативны и нелинейны. Автоколебательной называют динамическую систему, преобразующую энергию источника в энергию незатухающих колебаний, причем основные характеристики колебаний (амплитуда, частота, форма колебаний и т.д.) определяются параметрами системы и в определенных пределах не зависят от выбора исходного начального состояния. Введение диссипации энергии в колебательную систему приводит к качественной перестройке структуры фазового портрета, но стационарные незатухающие колебания в линейных диссипативных системах невозможны, т.к. нет условий для поддержания колебаний - энергия, расходуемая на преодоление сил трения, не восполняется. Поэтому в линейных диссипативных системах наблюдаются только переходные затухающие колебательные процессы и в принципе невозможны установившиеся автоколебания.

Реакция динамической системы на малое возмущение определяется ее состоянием и в одних случаях возмущающие факторы влияют на режим функционирования системы незначительно, а в других - приводят к резкому отличию характера возмущенного движения по сравнению с исходным. В первом случае состояние системы устойчиво, во втором - нет.

Большинство интересных физических задач при их математическом описании приводит к дифференциальным уравнениям, зависящим от параметров. Изменение параметра может вызвать потерю устойчивости одним режимом движения и переход системы в другое состояние. Это явление называется бифуркацией, а значение параметра, при котором оно происходит, — точкой бифуркации. Особо интересны такие бифуркации, в результате которых при прохождении точки бифуркации в системе возникают новые устойчивые режимы движения.

Иерархия смены одних устойчивых состояний системы другими с изменением управляющих параметров вызывает последовательность фазовых переходов от одних структурно устойчивых режимов к другим и осуществляется через переходное состояние в точке бифуркации.

Глава IV. Раздел 2. Процессы самоорганизации и синергетика.

С точки зрения классической физики мир вокруг нас однозначно детерминирован и инвариантен во времени. Детерминистическое мировоззрение можно символизировать биллиардным столом, на котором соударяются шары, получившие определенный импульс количества движения. Траектория движения каждого шара однозначно определена в предыдущий момент времени взаимодействием с другими шарами, поверхностью стола и бортами. Классическая наука свято верила, что будущее такой системы жестко и однозначно определено ее прошлым и, при условии знания прошлого, неограниченно предсказуемо. Однако, современная математика показала, что в некоторых случаях это не так: например, если шары ударяются о выпуклую стенку, то ничтожно малые различия в их траекториях будут неограниченно нарастать, так что поведение системы становиться в определенный момент непредсказуемым. Тем самым позиции однозначного детерминизма оказались подорванными даже в классических простых ситуациях.

Мировоззрение, основанное на теории самоорганизации, можно ассоциировать с образом горной страны с долинами, по которым текут реки, и хребтами- водоразделами. В этой стране действуют мощные обратные связи - как отрицательные, так и положительные. Если тело скатывается вниз по склону, то между его скоростью и положением существует положительная обратная связь, если оно пытается взобраться вверх, то отрицательная. Нелинейные (достаточно сильные) обратные связи - непременное условие самоорганизации. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает многовариантность путей эволюции, наличие выбора из альтернативных путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов.

Более того, в теории самоорганизации эта горная страна обязана изменяться во времени, т.е. эволюционировать. При этом важно выделить переменные различного порядка. Такая иерархия переменных по времени является необходимым условием упорядочения самоорганизации. Смешение иерархии приведет к хаосу (примерземлетрясение, когда сдвиги геологического порядка происходят за считанные минуты, а должны за несколько тысячелетий). Самыми важными оказываются наиболее медленные по времени переменные (их называют параметрами). Именно значения параметров определяют, каким набором устойчивых решений будет обладать система и, таким образом, какие структуры могут быть в ней вообще реализованы. В то же время более быстрые (динамические) переменные отвечают за конкретный выбор реализуемых устойчивых состояний из числа возможных.

<< | >>
Источник: В. И. Марголин. Основы нанотехнологии. Учебное пособие. 2004

Еще по теме Раздел 1. Основные понятия нелинейной динамики.:

  1. § 4. Пути к изобретению философских понятий
  2. § 3.1. Сетевой подход в социальных науках: базовые понятия и принципы
  3. Глава 16 ЭКОЛОГИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
  4. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ СОЦИАЛЬНОЙ ИСТОРИИ. ФОРМАЦИОННЫЙ, ЦИВИЛИЗАЦИОННЫЙ И КУЛЬТУРОЛОГИЧЕСКИЙ подходы К ИСТОРИИ ОБЩЕСТВА
  5. Глава 11 МАТЕМАТИЗАЦИЯ ФИЗИКИ
  6. Бифуркации, неустойчивость и самоорганизация в естественной науке и натурфилософии
  7. Критическая проверка теорий
  8. ТЕМА 10. РОССИЙСКИЙ ПЛАНИРОВЩИК И БУДУЩЕЕ РОССИИ
  9. Методы и приёмы социально-гуманитарных наук
  10. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ АЭРОДИНАМИКА. НАЧАЛО РАЗВИТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
  11. Раздел 1. Понятие континуума. Непрерывность и дискретность
  12. Глава III. Раздел 4. Фрактальный подход в микро и нанотехнологии.
  13. Раздел 1. Основные понятия нелинейной динамики.
  14. Глава IV. Раздел 3. Проблемы невоспроизводимости в нанотехнологии