<<
>>

Раздел 1. Понятие континуума. Непрерывность и дискретность

  Понятие континуума однозначно связано с философским вопросом современного естествознания - непрерывны материя, волновая энергия и пространство, хотя бы эвклидово, или дискретны. Относительно материи спор идет уже около двух с половиною тысяч лет как минимум.
Аристотель полагал, что предела делимости материи не существует - она может дробиться до бесконечности. Кроме того, он полагал, что все в мире состоит из четырех основных элементов - земли, воды, воздуха и огня, что у человека 34 зуба и много другого странного и удивительного. Был он убежденным схоластом, т.е. полагал, что истина познается путем рассуждений и логических выкладок и абсолютно не нуждается в экспериментальной проверке. Этот подход он блестяще продемонстрировал в своих трактатах относительно числа зубов у человека или ног у мухи (тоже, естественно, облажался). Правильно вопрос о делимости материи с большевистской прямотой и суровостью был решен его современником Демокритом, который, к его счастью, не был демократом (западноевропейским). Он постулировал, что существует предел делимости материи, и назвал его атомом. С тех пор, как водится, эта идея подвергалась уточнениям и дополнениям. Оказалось, что атом имеет свою собственную структуру, состоит из элементарных частиц, которые, как теперь модно думать, в свою очередь состоят из неведомых структур, называемых кварками. Однако принципиально идея дискретности материи сомнения не вызывает. Стремящаяся к идеализации любого объекта наука, по отношению к его, объекта, пространственной структуре, рассматривает его как одномерный, двумерный и трехмерный. Тут однако кроется некий подводный камень - а как, собственно говоря, этот объект рассматривается.

Как оказалось, существует субъективность в анализе объекта, напрямую связанная с масштабом производимого анализа его структуры. Грубо говоря, структура объекта непосредственно зависит от масштаба увеличения, с которым мы его анализируем.

Возьмем обычный клубок ниток, но без котенка. С очень большого расстояния он будет представляться нам как математическая точка - то есть вообще мы должны его рассматривать как нульмерный объект. При приближении к нему и изменении масштаба анализа неожиданно обнаруживается, что это трехмерный объект, имеющий какую-то структуру и располагающийся в трех измерениях (особенно если клубок большой, а нитка тонкая).

Дальнейшее приближение переводит его в разряд одномерных объектов - нитка, она нитка и есть, прямая или скрученная и имеет одно измерение- длину. Но пока это все еще реальный физический объект, с реальными физическими характеристиками - объем, плотность и т.д. При дальнейшем продвижении вглубь объекта мы попадаем либо между витками - и тогда с ужасом обнаруживаем, что объект исчез, как вклады при гайдаре. Если попадаем на нитку, то процесс продолжается - нитка состоит из переплетающихся ворсинок, т.е. объект опять переходит в разряд

трехмерных. Процесс продолжается и венцом его является либо пустота, либо кварк, которого никто не видел, но все про него все знают, особенно журналисты. Но дискретность материи как была, так и осталась - либо пустота, либо материя, даже в форме кварка. Но характеристики объекта, как оказалось, зависят от увеличения, с которым мы его рассматриваем.

Совершенно иной случай, когда мы рассматриваем пространство и траекторию любого тела в нем. Пространство непрерывно, соответственно, и траектория любого объекта в нем также непрерывна. Пространство является континуумом, непрерывной совокупностью всех его составляющих, так же, как траектория любого объекта в классической физике. Рассматривая траекторию движения любого тела, мы интуитивно ощущаем (возможно, совершенно неверно), что она непрерывна. Объект движется плавно, в любой точке траектории, какую бы малую ее часть мы не рассмотрели, он движется непрерывно. Наиболее изученным непрерывным образованием в математике является совокупность всех чисел - так называемый числовой континуум.

Свойства непрерывности системы действительных чисел могут быть охарактеризованы различными способами (при помощи различных «аксиом непрерывности). Если основным понятием считать понятие неравенства (а lt; б), то непрерывность числового континуума можно, например, охарактеризовать следующими двумя положениями: а) между любыми двумя числами а lt; б лежит по крайней мере ещё одно число с (для которого а lt; с lt; б): б) если все числа разбиты на два класса А и Б так, что каждое число а класса А меньше любого числа б класса Б, то либо в классе А есть наибольшее число, либо в классе Б есть наименьшее число (аксиома непрерывности Дедекинда).

В топологии, являющейся не чем иным как геометрией непрерывности, свойства непрерывности пространства или любого множества формулируются при помощи понятия предельной точки. Основное понятие связности множества, лежащего в топологическом пространстве (или всего пространства), определяется так: множество М называется связным, если при любом разбиении его на два непересекающихся непустых подмножества А и В найдётся хотя бы одна точка, принадлежащая одному из них и предельная для другого.

Числовая ось распространяется от нуля в обе стороны до минус и плюс бесконечности. Она состоит из целых чисел, промежутки между которыми занимают числа дробные, рациональные и иррациональные. Как бы далеко мы не углублялись в любую точку числовой оси - она непрерывна. Нет на ней таких двух чисел, которые можно было бы разделить дискретным промежутком. Все эти мудрствования кажутся весьма далекими от сложных реалий жизни, но это не совсем так. Решение проблем континуума позволило создать теорию бесконечно малых величин, на основе которой было создано такое могучее и ужасное оружие современной науки, как дифференциальное и интегральное исчисление. Этот рывок в математике позволил подвести математическую базу под многие физические теории и сделал их предикативными, т.е. позволяющими на основе расчетов предсказывать результат физического явления или процесса и сравнивать его с экспериментом.

Предположение, что физическое явление или процесс можно смоделировать, а затем описать системой дифференциальных уравнений, пусть и очень сложной - исключительно привлекательно. Оказалось, однако, что сложность окружающего мира приводит к необходимости его упрощать, чтобы описать системой уравнений.

Что же касается вопроса о дискретности энергии и тесно связанного с энергией понятия поля или волновой структуры, то тут ситуация оказалась довольно запутанной. С точки зрения квантовой механики в микромире энергия квантована, волновые структуры могут проявлять корпускулярные свойства, а элементарные частицы - волновые, как это предписывает им принцип волнового дуализма Де- Бройля. Таким вот образом разрешился вековой спор о том, что такое свет - волна или частица. А и то, и то - как посмотреть. Депутат Госдумы - порядочный человек или вор и проходимец? К сожалению, принцип волнового дуализма оставляет открытым вопрос о дискретности или континууминальности нашего мира. А вопрос этот исключительно важный. Стоило московскому профессору Майкову предположить (любит столица дурить голову православному народу), что основной постулат квантовой механики - энергия дискретна и никакого континуума не существует - действителен и в макромире, границу между микромиром и макромиром определяет постоянная Планка, имеющая размерность действия (энергия, умноженная на время), как из этого полезли такие следствия, что хочется резко интенсифицировать умственную деятельность путем чесания затылка.

Основной постулат Майкова, что макромир квантован, означает, что существует дискретность пространственно-временной метрики и в макромире существует квант энтропии, равный постоянной Больцмана - 1,380662 1023 Дж К-1. Из этого следует, что имеется квант пространства (минимальный микроскопический объем, зависящий только от температуры и для нормальных условий равный сфере радиусом 3,8 мкм) и квант времени, равный 10-14 сек (минимальный интервал, для которого имеет физический смысл различение прошлого, настоящего и будущего).

Квант пространства является короткоживущим мерцающим физическим кластером, который за малый интервал времени можно рассматривать как целое. Структура пространственно-временной метрики дискретно эволюционирует, хотя и очень незначительно, но это определяет существование "стрелы времени" - время необратимо. С точки зрения математики и формальной физики к теории Майкова придраться пока нельзя, а кто прав - покажет будущее. Самое неудобное в ней, это следствие, согласно которому имеется эффект электромагнитного дальнодействия (мгновенной передачи информации) в конденсированной среде (для воды - 16 м) и гравитационного дальнодействия (на несколько порядков более слабого), но с радиусом для воды 10 м.

Глава III. Раздел 2. Основные понятия фрактальной геометрии и фрактальной физики.

Примерно до середины прошлого века физика стремилась к идеализации окружающего мира, который был разнообразен и многолик, один объект этого мира, будучи даже очень похож на другой, все равно от него отличался, и чем глубже мы их изучали, тем больше различий обнаруживалось. Было от чего придти в отчаяние и повеситься. Жаль, что многие этого решительного шага не сделали. С целью приведения своих заскорузлых, но таких приятных, радующих глаз и удобных для расчета представлений об идеальном физическом объекте они пытались строить модели объектов реального мира из простых геометрических фигур: прямых линий, правильных окружностей, кубов, параллелепипедов, сфер и многогранников. Классическая кристаллография имела дело исключительно с идеализированными формами, в которые пыталась запихнуть прекрасный окружающий мир (правда, не такой уж и прекрасный, это я погорячился). Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, в том числе в материаловедении и механике деформируемых тел, основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, отрезками, плоскостями, многоугольниками, многогранниками, сферами. При этом внутренняя структура исследуемого объекта, как правило, игнорируется, а процессы образования структур и их взаимодействие между собой и с внешней средой характеризуются усредненными, интегральными параметрами.

Это приводит к утрате значительной части информации о свойствах и поведении исследуемых систем, которые, в сущности, заменяются более или менее адекватными моделями, причем скорее менее, чем более (чем больше женщину мы меньше, тем меньше больше она нам). В некоторых случаях такую замену с натяжками можно считать оправданной, но, известны ситуации когда использование топологически неэквивалентных моделей принципиально недопустимо.

При изучении достаточно массивных образцов с таким подходом можно было если не согласиться, то смириться. Переход к нанотехнологии и уход в проблемы наномира заставил искать новые геометрические и физические подходы. В 1975 г. бельгийский математик Бенуа Мандельброт ввел понятие фрактала и фрактальной геометрии для описания реальных объектов и математических абстракций. На первых порах с абстракциями получалось гораздо лучше. Название фрактал Мандельброт произвел от латинского "fractus", что означает дробный, ломаный, нерегулярный, фрагментарный, рекурсивный, создающий фрагменты неправильной формы, и определил как структуру, состоящую из частей, которые в каком-либо смысле подобны целой структуре. Определение это оказалось чрезвычайно широким, поскольку под него попадают практически все объекты реального мира. Любая попытка как-либо уточнить это определение приводит к его неоправданному сужению. В другой, тоже авторской трактовке, фрактал - это самоподобная струк

тура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом. Фрактал, инвариантный при обычном геометрическом преобразовании, называется самоподобным. Основной термин фрактал подразумевает неупорядоченность и относится к структурам ярко выраженной иррегулярности, тогда как определение масштабноинвариантный означает наличие некоторого порядка, хотя в окружающем мире нет ничего строго однородного или строго масштабно-инвариантного.

Таким образом Мандельброт постулировал, что эта структура обладает иерархичностью и масштабной инвариантностью (скейлингом), а одним из важнейших свойств фрактала является свойство самоподобия, т.е. их вид не меняется в любом пространственном масштабе. Сие означает сохранение принципа подобия при различных уровнях рассмотрения структуры - в идеале от атомного силового микроскопа до наблюдений из кабины космического корабля (разумеется, российского производства). Вырезав небольшую часть из структуры, имеющей свойства фрак- тальности, мы можем рассмотреть ее в некотором увеличении и обнаружить, что она подобна всей структуре в целом. Вырезав еще более мелкую часть из уже вырезанной части и увеличив ее, мы опять же с немалым удивлением обнаружим, что и она подобна первоначальной структуре. Если рассматривать идеальную фрактальную структуру, такую операцию мы можем проделывать до бесконечности, и даже самые микроскопические частички будут подобны структуре в целом. Поскольку теоретики, а особенно математики, никогда не слышали, а уж тем более не применяли на практике такие скучные и прозаические веще, как предел делимости материи, элементарная частица и прочее, то такая точка зрения имеет право на жизнь в человеческом мозгу. Природные же и техногенные фракталы имеют четко ограниченный интервал масштабов, в которых сохраняется принцип фрактальности и в которых они проявляют свою фрактальную природу. В реальности любой фрактал имеет некоторый минимальный и максимальный масштаб длины, при меньших или больших значениях этой длины самоподобие пропадает или нарушается. Когда в форме фрактала появляются элементы случайности, говорят о "случайных фракталах". Говорить о самоподобии в этих случаях можно, но только в статистическом смысле, т. е. когда нельзя говорить о точных копиях, а только о совпадении статистических характеристик (когда проводится усреднение по всем статистически независимым реализациям объекта).

Основу фрактальной геометрии составляет так называемая аффинная геометрия. Она использует понятие аффинного (линейного) пространства и оперирует его свойствами. Множество R элементов х, у, z ... называется линейным (аффинным) пространством, если: каждым двум элементам х и у поставлен в соответствие элемент z, называемый суммой элементов х и у и обозначаемый как х+у каждому элементу х и каждому числу X из некоторого поля поставлен в соответствие элемент Хх, называемый произведением числа X на элемент х.

Аффинная геометрия задает только соотношения между объектами аффинного пространства. Фрактальные структуры состоят из точек, расположения которых задано некоторым соотношением = gt; , аффинная геометрия служит математической базой для описания фракталов. Мандельброт ввел также понятие размерности фрактальных объектов (D).

Пусть мы имеем дело с круговым или сферическим объектом массой М и радиусом R. Справедливо соотношение М ~ ЯЕ , где Е - размерность (число координат) пространства. Для фрактальных объектов справедливо соотношение М ~ RD, где D фрактальная размерность, не совпадающая с пространственной размерностью. Отсюда можно сделать вывод, что фрактальная геометрия описывает объекты с дробными размерностями.

Все сказанное выше свойственно только для геометрических фракталов. На практике, в реальных физических системах фрактальная размерность D выполняется не для любых масштабов длины, а ограничивается верхними и нижними пределами фрактальных объектов, которые являются не самоподобными. Вводят понятие локальной и глобальной фрактальной размерностей. 1лобальная размерность оценивает рост числа объектов бесконечно малого диаметра, необходимых для того, чтобы покрыть данную форму и изменяется от размерности гладкого объекта до размерности пространства. Её также называют размерностью Хаусдорфа - Безико- вича. Локальная размерность - размерность характеризующая "квазиобъем" этого объекта с учетом протяженности соприкосновения общих элементов его форм и изменяющаяся от размерности гладкого объекта до бесконечности. Еще одно название - мера Хаусдорфа. Для наглядности построим один из фрактальных геометрических объектов (кривая Коха) и найдем его размерность.

Возьмем отрезок прямой единичной длины, назовем его инициатором и разделим на три равные части. Теперь среднюю часть выкинем и заменим ее двумя такими же отрезками, равными 1/3 от первоначального и соединенными друг с другом и оставшимися отрезками, получив таким образом второе приближение - ломаную линию, составленную из четырех отрезков равной длины и назовем ее генератором. Далее каждый прямой отрезок получившейся ломаной линии будем преобразовывать согласно этому алгоритму. Будем повторять эту операцию до бесконечности, поскольку в математике нет понятия предела делимости материи. Каждый раз мы делим отрезок на 3 части, среднюю выбрасываем и добавляем ломаную линию, в результате чего первоначально прямой инициатор постепенно превращается во все более длинную изощренного характера ломаную линию.

Поскольку на каждом шаге каждый отрезок разбивался на три части (а мог бы и

на четыре и более), то в итоге получаем фигуру, названную Мандельбротом триадный терагон (от греческого слова терос - чудовище, странное создание) Коха, длина стороны которого е при

каждом шаге уменьшается, стремясь в пределе к бесконечно малой величине, но

число таких сторон адекватно увеличивается, стремясь к бесконечности. При этом при каждом шаге длина кривой Коха L(e) увеличивается на треть и при бесконечном числе шагов длина линии бесконечна. На первом шаге алгоритма длина отрезка б составляет 1/3 от первоначальной. Тогда длина кривой Кох вычисляется просто:

L = 4-1/3 = 4/3 = 1,33

На втором шаге алгоритма длина элементарного отрезка б = 1/9, соответственно длина кривой:

L = 16-1/9 = 16/9 = 1,777

На третьем шаге алгоритма б = 1/27 и длина кривой:

L = 64-1/27 = 64/27 = 2,370370

Процесс этот можно продолжить до бесконечности, заметив, что с увеличением числа шагов n длина элементарного отрезка б стремится к 0, а длина кривой L стремится к бесконечности:

где n= 1,2,3... и из этих выражений получаем: n = (1/1пЗ)-1п(1/б). Подставляя n получим:

Обозначив, получаем:

Из последнего соотношения видно, что постоянным показателем остается только величина D, поскольку она не зависит от масштаба измерения и является характеристикой данной линии "кривая Коха". Она называется фрактальной размерностью. С геометрической точки зрения фрактальная размерность является показателем того, на сколько плотно эта линия заполняет плоскость или пространство. Аналогичным образом можно рассчитать фрактальную размерность других регулярных фракталов, например, плоского регулярного фрактала - салфетки Серпинского и множества других, измысленных математиками.

Логарифмируя, получим D =1п(4)/1п(3)=1,2618. Получается, что фрактальная размерность линии больше, чем у линии, но меньше, чем у плоскости. На самом деле мы имеем дело с особым физическим (или математическим) объектом, относящимся к классу множеств. В зависимости от того, как мы его измеряем, он несколько меняет свои параметры, а, возможно, и свойства. Это уже не линия, но еще и не полноценная плоскость. Кривую Коха можно растянуть в прямую линию, поэтому ее топологическая размерность равна единице. Фрактальная размерность, равная 1,2618.. больше топологической, что и говорит о том, что кривая является структурой, отличной от линии, но еще не ставшей плоскостью. Идеально гладкий лист бумаги есть символ плоскости. Хорошо помятый лист бумаги в принципе

представляет собой фрактал, площадь которого зависит от того, как мы его измеряем, хотя до акта помятости никаких сомнений не возникало. Перевод объекта в иные рамки изменил его свойства. Интересный вопрос о фрактальной размерности тонкой вуали, изготовленной из тонких нитей.

Другим математическим фракталом, имеющим аналоги как в нанотехнологии, так и в космогонии, является канторова пыль. Инициатором является единичный отрезок прямой линии. Первый этап построения состоит в разделении интервала на три части и удаления открытой средней части. С глаз долой, из сердца вон. Затем удаляются средние трети у каждого из N=2 оставшихся отрезков. И так до бесконечности. Образовавшееся множество остатков С определяется как двоичное, поскольку N=2, и называется канторовым дисконтинуумом, но Мандельброт предложил его называть канторовой пылью.

В общем случае количество частей, называемое основанием, обозначается буквой b, причем отношение между N-ой частью множества и всем множеством определяется коэффициентом подобия г = 1/b. Множество, полученное в результате этих несложных манипуляций, самоподобно, а его размерность определится, как:

D = lnN/ln(1/r) = ln2/ln3 * 0,6309

Изменяя алгоритм построения (можно делить на 5 частей и удалять четные и т.п.) можно получать и другие значения фрактальной размерности, лежащие в интервале 0 - 1. С топологической же точки зрения все канторовы множества имеют размерность 0, так как по определению, любая точка канторова множества отделена от любой другой, причем для ее отделения ничего не надо удалять. С этой точки зрения нет никакой разницы между дисконтинуумом С и конечным множеством точек.

Свойство частей быть подобными всей структуре в целом называют самоподобием. Интервал самоподобия различных природных объектов может содержать масштабы от долей микрометра при рассмотрении структуры пористых горных пород и сплавов металлов до десятков километров при рассмотрении рельефа местности и формы облаков. В качестве примеров естественных (природных) фракталов можно привести деревья, облака, реку и разветвленную сеть ее притоков, систему кровообращения человека, "морозные" узоры на стекле и т.д. Самоподобие предполагает, что копирование и масштабирование некоторого "эталонного" образа позволяет природе легко создавать сложную многомасштабную структуру. Знать бы еще, как это делается, и можно было бы спокойно спать (хорошо бы не вечным сном).

Другим важным свойством фракталов является их иерархичность, т.е. способность повторяться в разных масштабах пространства и времени. Однако, существует четкий, но не всеми признанный, критерий принадлежности объекта к фракталам - объект нельзя считать фрактальным, если он не обладает свойством самоподобия, но можно - если он не иерархичен.

Математические фракталы обладают удивительной и неповторимой красотой. Сейчас известно громадное количество алгоритмов их построения и использование самых разных инициаторов и генераторов. В Интернете можно найти целые галереи различных математических фракталов. На рис. 3.2.1 приведен в качестве примера математический фрактал под названием "дракон Пеано", а на рис. 3.2.2 математический фрактал "губка Менгера" с фрактальной размерностью D = 2, 7268.

Фрактальный агрегат каждого вещества формируется при определенных физических условиях, которые до конца не поняты. Тем не менее то, что уже известно, дает возможность использовать законы образования фрактальных агрегатов для создания материалов с необычными физическими свойствами. Так, можно создавать материалы, способные поглощать электромагнитное излучение в достаточно широком диапазоне длин волн, новые красители, жидкокристаллические

системы, наноструктуры, твердые вещества с пористостью до 99% и новые технологии борьбы с накипью в паровых котлах и энергетических установках, и конечно же - как можно было забыть - новые образцы смертоносного оружия.

Реальные физические структуры, как природные, так и техногенные, могут являться (а чаще всего и являются) суммой или разностью множеств с различной фрактальной и топологической размерностью. Причем ни одно из этих множеств нельзя исключить из рассмотрения без потери информации об объекте, даже если они пренебрежимо малы как во фрактальном, так и топологическом смысле. Такую совокупность множеств принято называть неоднородным фракталом.

Много вещей вокруг нас выглядят похоже вне зависимости от степени их увеличения. Многообразие Природы поражает, но подобие можно находить в ветвях деревьев, горах, облаках, реках и фактически повсюду в природе. Подобны друг другу и абсолютно различные объекты - капиллярная система человека и дельта реки, структура холма и структура фрактальной наноразмерной пленки. Когда части некоторой фигуры подобны всей фигуре, это называется самоподобием. Само-

подобие также находится фактически во всех математически созданных искусственных фракталах.

Работа Мандельброта не являлась причудой впавшего в маразм теоретика, а была связана с реальной, насущной задачей, получившей название "Определение длины береговой линии". На самом деле проблема была в том, что длина государственной границы между двумя государствами оказывается разной для одного государства и для другого. Для Испании - Португалии и Бельгии - Нидерландов эта разница, согласно официальным сведениям, опубликованных в справочниках, составляет до 20 %, что может привести даже к локальному конфликту, несмотря на то, что эти государства полностью привержены изумительным общечеловеческим западным демократическим ценностям, с энтузиазмом борются за права человека, обезьяны и клопа домашнего обыкновенного и даже говорят практически на одних и тех же языках. А вот длина общей границы разная - какой пассаж! Как в анекдоте про крокодила, у которого от носа до хвоста 3 метра, а от хвоста до носа всего два. Так ведь одно дело крокодил, а другое дело серьезная государственная проблема. Цифры-то официально в справочниках опубликованы, а разные, - как тут документы согласовывать и подписывать?

Для начала рассмотрим более простую задачу об определении длины береговой границы озера, где и живут те самые крокодилы. Если диаметр озера представить величиной R, то площадь поверхности этого озера S = nR . Проведем измерение периметра этого озера. Интуитивно кажется ясным, что длина береговой линии озера L не должна зависеть от того, какой линейкой мы ее измеряем. Однако, как ни странно, это совершенно не так. Возьмем 100-метровую линейку и проведем измерение таким образом, чтобы концы линейки были на границе раздела вода- суша. Полная длина ломаной линии - это периметр озера. Затем возьмем 10 метровую линейку и с ее помощью измерим периметр озера. В этом случае он будет большим и будет лежать внутри предыдущего. Если же измерить периметр озера 1 метровой линейкой, то он увеличится еще больше, и так далее. С каждым увеличением точности метрологического инструмента величина казалось бы неизменной береговой линии все время увеличивается. Таким образом получается, что периметр озера зависит от масштаба измерения. По мере того как длина линейки (масштаб измерения) уменьшается, длина ломаной линии возрастает как L = I(R / I)D, где I -величина используемого масштаба. Параметр D является фрактальной размерностью береговой линии.

Береговая линия озера является множеством, занимающим промежуточное положение между обычной линией (D = 1) и поверхностью (D = 2), причем величина 1 lt; D lt; 2 тем больше, чем более изрезанным и неоднородным является берег. Совершенно аналогичная ситуация при определении государственной границы. Разные страны измеряли ее разным масштабом измерения. Те, что поменьше - более тщательно, те, что покрупнее - более безалаберно. Вот и получилась разница аж в километров. Отсюда следует вывод, что все границы между государствами, береговые линии, границы облаков и людских толп, вопящих на площадях - суть фрактальные объекты. С определенными, очень грубыми допущениями, их можно аппроксимировать кривой Коха, но лучше этого не делать, а честно преодолевая немыслимые трудности заняться измерением фрактальной размерности реальных физических объектов.

Еще более интересным является анализ реальных объектов, которые можно сопоставить с канторовой пылью. С одним из них каждый из нас знаком от момента рождения до момента наступления летального исхода. Речь идет о системе кровообращения, которая состоит из двух подсистем - артериальной и венозной. Первая из них получает кислород от легких и доносит и другие необходимые для жизнедеятельности клеток ингредиенты до каждой клетки, а вторая удаляет из них продукты метаболизма. Это значит, что в принципе является абсолютно необходимым, чтобы и артерия, и вена были расположены бесконечно близко от любой клетки или точки тела, — исключая, разумеется, точки, находящиеся внутри артерий или вен. Мандельброт сформулировал это еще более странно: каждая точка ткани, не относящей системе кровообращения, должна лежать на границе между двумя кровеносными системами. При этом существует еще конструкторское ограничение, заключающееся в том, что кровь нужно экономить, особенно если в ней большой процент алкоголя. Отсюда полный объем всех артерий и вен должен составлять лишь малый процент от объема тела, оставляя основную часть пространства тканям. В человеческом организме вся кровь объемом около 5 литров в течение одной минуты полностью прокачивается сердцем через сеть капилляров общей длиной порядка 100 тысяч километров.

С точки зрения классической физики и евклидовой геометрии, эти требования невыполнимы, аномальны и анормальны, однако мы, как ни странно живем, причем некоторые очень даже и неплохо (не о нас с вами речь). Искомая фигура должна быть топологически двумерной, так как она образует границу, общую для двух топологически трехмерных фигур, причем требуется, чтобы ее объем являлся одновременно не только пренебрежимо малым по сравнению с объемами фигур, которые она ограничивает, но и гораздо больше этих объемов. Как не вспомнить великого Гашека с идеей существования внутри земного шара другого, по размеру гораздо больше наружнего. Однако, что недоступно жалкому гуманитарию, то доступно фрактальному физику.

Одно из достоинств фрактального подхода к анатомии заключается в том, что вышеуказанные требования прекрасно сочетаются друг с другом. Вены и артерии являются стандартными трехмерными областями, поскольку в них должны целиком умещаться сферы малого радиуса (кровяные шарики). С другой стороны, сосуды занимают очень небольшую долю от общего объема тела. Ткань - иное дело; в ней нет ни одного участка, сколь угодно малого, который не был бы пересечен и

u              u rp              /* u 1

артерией, и веной. Ткань представляет собой фрактальную поверхность: ее топологическая размерность 2, а фрактальная размерность 3. В таком виде вышеприведенные критерии теряют всю свою экстравагантность, а система представляет собой одну из разновидностей канторова множества.

С помощью фрактальной физики легко объясним и такой парадокс, как эффект пылающего неба, заключающийся в том, что в случае бесконечной Вселенной в ней бесконечное количество звезд, и небо ночью должно просто пылать. Отсутствие пылающего неба объясняется очень просто. Поскольку количество излучаемого звездой света прямо пропорционально площади ее поверхности, количество света, достигающее наблюдателя, находящегося от звезды на расстоянии R, должно быть пропорционально 1/R2, но площадь видимой поверхности звезды также пропорциональна 1/R2. Таким образом, отношение количества света к видимому сферическому углу не зависит от R. Кроме того, если распределение звезд во Вселенной равномерно, то практически любое направление взгляда рано или поздно встретит какую-нибудь звезду. Следовательно, небо освещено звездным светом равномерно и выглядит пылающим.

Если же допустить, что Вселенная фрактальна и что ее размерность D lt; 2, то парадокс разрешается сам собой. В этом случае проекция Вселенной на небесный свод является фрактальным множеством той же размерности D, т.е. множеством нулевой площади. Даже если звезды имеют ненулевой радиус, большая часть направлений уходит в бесконечность, не встречая на своем пути ни одной звезды. Если смотреть вдоль этих направлений, то мы увидим только черноту ночного неба. Если за интервалом, в котором D lt; 3, следует интервал, в котором D = 3, то фон неба будет не строго черным, но чрезвычайно слабо освещенным. Это простое рассуждение является еще одним кирпичиком в здание теории фрактальной Вселенной, причем неважно, конечной или нет.

Важным понятием фрактальной геометрии и фрактальной физики является перколяция. Бродбент и Хаммерсли рассмотрели общую ситуацию, возникающую при случайном распространении жидкости через среду, когда абстрактные термины "жидкость" и "среда" могут быть интерпретированы в соответствии с физическим смыслом задачи. В обычных процессах диффузии случайность есть не что иное, как случайные блуждания частиц жидкости. Примером могут служить нерегулярное тепловое движение молекул в жидкости. Другой пример случайности, Хаммерсли назвал протеканием, или перколяционным процессом, поскольку жидкость в среде ведет себя, как вода в перколяторе (кофеварке).

Диффундирующая частица может достигать любой точки в среде. Иначе обстоит дело в случае перколяции. Наиболее характерной особенностью перколяцион- ных процессов является существование порога протекания, ниже которого процесс распространения жидкости ограничен конечной областью среды. Жизненно важным примером является просачивание радиоактивных отходов в трещины и разло

мы горной породы. Вопрос заключается в том, останется ли они локализованными в каком-то объеме или будут распространяться все дальше и дальше. И в этой задаче можно ожидать, что существует критический порог концентрации трещин. Величину порога протекания можно определить с помощью численного моделирования.

Аналогичной проблемой, имеющей огромный практический интерес, является распространение воды, вытесняющей нефть в пористых породах. В этом случае распространяющийся фронт жидкости (воды) может запереть нефть в некоторой области ("ловушке"), что приводит к инвазивной перколяции. Случайность, связанная с инвазией (вторжением) вытесняющей жидкости, зависит, помимо прочего, от динамики образования ловушек. Идеи и понятия теории протекания применимы и к распространению и взаимосвязи трещин и разломов в горных породах и в материалах, используемых в технике. Во многих приложениях не существует резкого различия между перколяционными процессами и диффузией. Важным случаем является диффузия от источника. Возникающий фронт диффузии имеет геометрическую структуру, тесно связанную с фрактальной геометрией протекания.

Для описания фрактальных структур, встречающихся на микро и наномасштабах, широко используют понятие кластер. Это - скопление близко расположенных, тесно связанных друг с другом частиц любой природы (атомов, молекул, ионов, ультрадисперсных и наночастиц) общим количеством 2-100 частиц. В последнее время термин кластер распространяется и на системы, состоящие из большого числа связанных макроскопических частиц. Введено также понятие фрактального кластера, под которым понимают структуру, образующуюся в результате ассоциации частиц при условии диффузионного характера их движения. Основной чертой фрактального кластера является то, что средняя плотность частиц в нем р(г) падает по мере удаления от образующего центра по закону

р(г)= const / га,

где г- расстояние от центра.

Связь между размером кластера и числом частиц N (или массой фрактала) можно представить в виде:

N ~ Rd,

где R - расстояние от центра кластера; а - размер частицы; D = d - а - фрактальная размерность кластера; d - размерность объемлющего пространства. В другом виде это же соотношение можно представить следующим образом:

N =р (R/Ro)d

где Ro - размер частицы или мономера (все частицы полагаются равными по размеру); р - плотность массы - учитывает тип упаковки и плотность кластера.

Paзмерность кластерa D не зависит ни от его формы, ни от типа упаковки в нем частиц. Она лишь служит количественной характеристикой того, как кластер заполняет занимаемое им пространство. Поскольку фрактальная система обладает свойством самоподобия, то его можно сформулировать следующим образом: если в окрестности точки, занятой кластером, выделить область относительно небольшого объема, то попадающие в него участки кластера будут подобны в физическом смысле. Таким образом, фрактальный кластер, построенный по случайному закону, имеет внутренний порядок, а свойство самоподобия следует понимать статистически.

Фрактальная размерность кластера служит количественной характеристикой того, как кластер заполняет занимаемое им пространство. Надо отчетливо понимать, что если кластер пористый или случайный, то это отнюдь не означает, что он фрактальный. Фрактальный кластер в большинстве случаев отличается тем свойством, что с ростом размером его плотность убывает по закону, описываемому показателем степени в соотношении число частиц - радиус. Фрактальная размерность кластера в принципе не описывает его форму, однако существуют другие характерные особенности кластера, которые также допускают его количественное описание. К их числу относится разветвленность кластера, являющаяся мерой числа связей, которые нужно перерезать, чтобы изолировать произвольно большую часть кластера. Необходимо, однако, все время помнить, что фрактальные кластеры одной размерности могут иметь несовпадающие другие характеристики, такие, как разветвленность.

Процесс взаимодействия кластера с электромагнитным излучением имеет свою специфику. Сечение рассеяния излучения на кластере, деленное на число частиц в нем, может сильно превышать сечение рассеяния излучения на отдельной частице. Сечение рассеяния излучения на кластере, отнесенное к отдельной частице кластера, зависит от размера кластера и его фрактальной размерности. Сечение поглощения нерезонансного излучения кластером является суммой сечений поглощения для отдельных частиц.

В силу интерференционных явлений фрактальный кластер может быть эффективным поглотителем излучения для длин волн, сравнимых с его размерами. Этот факт используется при нанесении покрытий на приемники инфракрасного излучения. Такие покрытия изготавливаются путем испарения металла и осаждения его на поверхность. Осаждение имеет место в форме частиц, и эти частицы образуют фрактальный кластер на поверхности. Такие покрытия сильно поглощают в далекой инфракрасной области спектра.

Наиболее интересные оптические свойства фрактальных кластеров могут быть связаны с нелинейными оптическими процессами. Фрактальный кластер является набором случайно расположенных самостоятельных элементов, причем корреляции в конфигурации этих элементов определяют взаимодействие системы с фотонами. Поскольку конфигурация частиц в кластере не меняется в процессе взаимодействия с фотонами, то корреляция в их расположении проявляется тем сильнее, чем больше фотонов участвует в элементарном акте излучательного процесса. По

этой причине нелинейные эффекты при взаимодействии излучения с фрактальными кластерами будут существенно сильнее, чем с газовыми или конденсированными средами.

С пористыми структурами также связано несколько странноватое для нашего восприятия понятие вязких пальцев. Проблема их образования в пористых средах имеет первостепенное значение для добычи нефти. Она представляет интерес и для гидродинамики, и для физики пористых сред. Это явление связано с неустойчивостью фронта вытеснения в пористых средах, где сильно вязкая жидкость (например, нефть) вытесняется слабо вязкой жидкостью (водой). При контакте двух подобных разнородных жидкостей поверхность их раздела для двумерной задачи в случае покоя определяется действием капиллярных сил, и между двумя жидкостями существует разность давлений, определяемая, как:

где - поверхностное натяжение на границе раздела между двумя жидкостями,

а два главных радиуса Ях и Яу описывают границу раздела жидкостей локально, как это показано на рис. 3.2.3, где нижняя жидкость, обозначим ее индексом 1, вытесняет верхнюю жидкость - индекс 2. Жидкости расположены между двумя пластинами, имитирующими пористую структуру, на расстоянии b друг от друга.

Условимся считать радиусы кривизны положительными, если их центр находится в жидкости 1. Радиус кривизны Ry определяется углом смачивания 0, описывающим, как именно граница раздела двух жидкостей соприкасается с пластинами, которые задают геометрию ячейки. Обычно, и, кроме того, мы будем предполагать, что Rx gt;gt; Ry. Если жидкости по

коятся и жидкость 2 смачивающая, то p1 gt; p2.

Будем теперь инжектировать жидкость 1 с постоянной скоростью U в точке z =

2 с такой же постоянной скоростью в точке              1раница

раздела между двумя жидкостями в этом случае будет двигаться с постоянной скоростью U вдоль оси z. Но если вязкость вытесняющей жидкости меньше вязкости вытесняемой жидкости, то граница раздела двух жидкостей оказывается неустойчивой. Энгельбертс и Клинкенберг, описывая свои наблюдения такого рода неустойчивостей при вытеснении нефти водой в пористой среде, предложили термин "образование вязких пальцев".

Физика процесса образования вязких пальцев определяется динамикой движения границы. Вследствие ее неустойчивости некоторые локальные области начнут

двигаться быстрее, образуя пальцы. Предполагается также, что палец выступает в ту сторону, куда движется фронт вытеснения, опережая остальную его часть. Следовательно, наибольший градиент давления в сильно вязкой жидкости образуется на конце пальца и его можно определить соответствующими формулами. Этот большой градиент индуцирует максимальную скорость течения жидкости непосредственно перед самым длинным пальцем, который растет быстрее, чем фронт в среднем, а такая ситуация, как нетрудно видеть, неустойчива. Как только этот самый большой палец достигнет определенных размеров, весь процесс повторяется на его границе, в результате чего образуется ветвистая структура.

Саффмэн и Тейлор исследовали образование вязких пальцев на примерах вытеснения глицерина воздухом. Начальная граница раздела имела мелкие нерегулярности, как это показано на рис. 3.2.4 а. Поскольку давление воздуха одинаково, то эти нерегулярности начинают развиваться на средней стадии, как это показано на рис. 3.2.4 б. На поздней стадии более длинные пальцы тормозят рост соседей - рис. 3.2.4 в. К настоящему моменту теория развития вязких пальцев достаточно разработана и нашла применение для объяснения многих физических процессов, в частности пробоев диэлектриков, дендритному росту, процессам в пористых структурах и нефтяных скважинах.

<< | >>
Источник: В. И. Марголин. Основы нанотехнологии. Учебное пособие. 2004

Еще по теме Раздел 1. Понятие континуума. Непрерывность и дискретность:

  1. ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ. НАЦИОНАЛЬНЫЕ ВАРИАНТЫ
  2. КОСМОС ИСЛАМА
  3. §1. Может ли пространство быть непрерывным, а время — дискретным?
  4. ЛЕКЦИЯ6
  5. САКРАЛЬНАЯ СОЦИОЛОГИЯ
  6. Критическая проверка теорий
  7. 1.7. ВВЕДЕНИЕ В СИСТЕМНО-СТРУКТУРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
  8. 3.2. ФИНСЛЕРИАН И НОВАЯ ФИЗИКА. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕАЛЬНОСТИ
  9. Раздел 1. Понятие континуума. Непрерывность и дискретность
  10. §1. Переходные периоды как революционные этапы эволюционного развития общества