1 Обзор литературных источников

Работа электролизеров характеризуется высокой температурой, агрессивным электролитом, в котором растворяется большинство металлов, и большой силой тока.

В математическом моделировании алюминиевых электролизеров можно выделить два направления: 1.

Получение основных полей (магнитного, электрического), формы стационарной поверхности металла и скоростей в установившемся стационарном течении [18,21,31, 33,73,74, 107,115,116]. 2.

Изучение колебаний поверхности металла и получение критериев устойчивости [8, 9, 10, 11, 12, 13, 30, 34, 45, 56, 58, 64]. Как правило, исследование устойчивости проводится на основании приближения «мелкой воды» и линеаризации в окрестности стационарного решения с последующей оценкой вкладов членов в уравнении движения. Полученные уравнения отличаются правой частью, авторы работ по- разному учитывают возмущающие электромагнитные силы, также уравнения отличаются граничными условиями [8, 9,44],

Преимущества математического моделирования заключаются в быстроте, многовариантности и экономичности проведения исследований.

Первый из них [21], основан на двумерных уравнениях Навье-Стокса и к-е модели турбулентности; учитывается только движение в горизонтальной плоскости, не учитывается вертикальный перенос импульса, т. е. трение относительно узких слоев жидкости о дно ванны, нижнюю поверхность анода и между собой. Для нахождения скоростей, давления и формы поверхности металла решается усредненная по времени система уравнений Навье-Стокса. В [21] приведены результаты расчета скоростей в металле и электролите и формы поверхности металла для ванн с различными схемами ошиновки. В работе [21] также описана модель для расчета электрического и магнитного поля в алюминиевом электролизере. Для нахождения распределения тока в электролизере авторы работы используют закон Ома

J = -

Электрический потенциал находится из уравнения

V(o-Vp) = o.

Авторы работы [21] делают предположение, что величина компоненты электрического тока, направленной вдоль длинной стороны электролизера мала по сравнению с вертикальной компонентой и с компонентой, направленной вдоль короткой стороны электролизера. Уравнение на электрический потенциал решается в плоскости, в поперечном сечении электролизера. Магнитное поле находится с помощью закона Био-Савара- Лапласа

где ](?') - вектор плотности электрического тока, F — радиус вектор точки, в которой вычисляется магнитное поле. Интегрирование ведется по объему, занятому токонесущими элементами системы. Магнитное поле рассчитывается без учета ферромагнетиков.

Второй подход - это рассмотрение движения металла, электролита, распределения температуры в вертикальном разрезе, представляющий собой систему уравнений теплоэлектропереноса, Максвелла и Навье-Стокса [31]. Этот подход не позволяет получить распределение температур и линии циркуляции в планарной плоскости, тем не менее, конвекция учитывается с помощью эффективного коэффициента теплопроводности.

Третья, наиболее распространенная в настоящее время модель Моро- Эванса [33].

В результате разность между электромагнитным силами и градиентом давления уравновешивается силами трения, которые предполагаются пропорциональными скорости. Для определения граничных условий в электролите включаются большие каналы.

Позднее эта модель получила свое развитие в работе [73], где задавалось идеализированное распределение магнитного поля и электрического тока в жидкой среде, что позволило получить решение гидродинамических уравнений в виде аналитических выражений. В работе [73] сделано предположение, что распределение электромагнитных величин при продольном расположении электролизеров в серии двухмерно и не зависит от координаты х вдоль длинной стороны ванны, аналогичное предположение для токов сделано в работе [21]. Для расчета магнитного поля от соседнего ряда электролизеров последний представляется как линия с током, равным по модулю току серии. Магнитное поле от соседнего ряда электролизеров и от ошиновки считается по закону Био-Савара-Лапласа для отрезка с током. Для нахождения магнитного поля от токов, текущих внутри электролизера, из всех возможных решений уравнения VJ5 = 0 выбираются те, которые соответствую простейшему распределению плотности тока в жидкости как линейной функции координат. Индуцированные токи в модели [73] не учитываются. В работе [74] авторы описывают методику расчета распределения тока и магнитных полей для конкретной конструкции электролизера. При этом авторы не приводят данных об идентификации модели. Далее в ряде работ, например [107, 115, 116] также используется модель Моро-Эванса, для расчета магнитного поля используются замеры магнитного поля по периметру ванны. В этих работах, как и в модели Бояревича [73], также делается переход от трехмерной задачи к двухмерной, он делается путем усреднения трехмерных уравнений (Д#> = 0) по высоте каждого слоя.

2 2 5

до 13 • 10" м /с, в работе [81] для тока серии 10 А и характерного размера ванны 5 м значение турбулентной вязкости в металле равно 4.7 ? 10" м /с.

В работе [78] авторы исследуют циркуляцию электролита и металла в алюминиевом электролизере. Для описания совместного движения металла и электролита в работе применяется система уравнений Навье-Стокса. Значения электромагнитных сил задаются аналитически по формулам, не зависящим от вертикальной координаты. При таком задании сил вертикальная компонента скорости в слое металла близка к нулю, что свидетельствует о горизонтальной конвекции алюминия. С этим связан тот факт, что отклонение положения поверхности металла от начального (задавалось прямой) в работе составляет величину ~10" м.

В работе [80] как и в работе [78] авторы исследуют топологию движения расплава в алюминиевом электролизере. Однако в работе [80] используется другой подход. В [80] предлагается концепция оценки гидродинамики электролизера, позволяющая получить информацию о характере движения расплава.

rot]xB = (B-v)j-{j-v)B

. дв: . , дВ

dz дх бу ^ dz

из которого следует, что завихренность силы возникает в том случае, если плотность тока меняется вдоль направления магнитного поля или магнитное поле меняется вдоль направления плотности тока. Так как толщина слоя электролита и жидкого алюминия много меньше горизонтальных размеров ванны, то основная циркуляция будет происходить в горизонтальной плоскости. Ответственной за эту циркуляцию является вертикальная составляющая ротора силы

Выражению можно придать несколько иной вид, если воспользоваться связью 1Г(дв2 дв \ (евх ев А- (вв евЛг

7= Л' +jyj+Jzk = и найти значение

дх dz /jq' ду dz fj0

Тогда

С помощью предположения о том, что составляющие магнитного поля практически не меняются по толщине слоя расплава, выражение преобразуется в

из чего следует, что завихренность электромагнитной силы, а значит и горизонтальная циркуляция расплава, вызываются неравномерностями в распределении вертикальной компоненты плотности тока jz в объеме расплава. Таким образом, в [80] говорится, что, если ликвидировать неравномерность вертикальной компоненты плотности тока, то в любом внешнем магнитном поле, т.е. при любой схеме ошиновки, расплав будет оставаться практически неподвижным. В работе [81] проводится оценка параметров электролизеров различной мощности.

] = cr(-V^ + vxs) (1.1)

Согласно оценкам значение плотности индуцированных токов в электролите пренебрежимо мало по сравнению с общим током. В металле для электролизера с током серии 175 кА величина индуцированных токов сравнима с общим током. Значения первого и второго слагаемого в правой части выражения (1.1) оказались одного порядка.

В работе [103] описаны различные модификации ошиновки электролизера для оптимизации распределения магнитного, поля и увеличения выхода по току. Отмечается, что важнейшей мерой повышения эффективности работы электролизера является уменьшение скоростей движения расплава в межэлектродном пространстве. Основным способом уменьшить скорости циркуляции расплава является снижение электродинамических сил уменьшением индукции магнитного поля и распределение ее так, чтобы вместо больших контуров циркуляции расплава образовалось несколько с малыми скоростями и перекосами уровня. Для компенсации магнитного поля тока соседнего ряда электролизеров, расположенных в два ряда применяется ошиновка, создающая встречный компенсирующий поток. Отличием этих ошиновок является увеличение тока в катодных шинах на стороне ближней к соседнему ряду и уменьшение на стороне дальней от соседнего ряда, а также различное расположение по высоте и удалению от катода. При расположении электролизеров в корпусе в один ряд ошиновка выполняется симметричной относительно продольной

24

оси. Состояние настылей на подине определяет величину и направление горизонтальных токов. Если край настыли у борта за проекцией края анода, то горизонтальные токи максимальны по величине и протекают в сторону борта. Если настыли заходят под анод, то горизонтальные токи протекают к центру. Когда граница круто падающей настыли находится под краем анода («Идеальные настыли»), то горизонтальные токи минимальны. При этом металл как бы зажимается в пространстве, ограниченном проекцией анода, увеличивается гидравлическое сопротивление, обеспечивается более спокойное состояние расплава.

Работа по сокращению расхода анодных блоков в связи с изучением формы стационарной поверхности металла представлена в [2]. Аноды выставлялись по уровню металла, чтобы обеспечить одинаковое МПР. Это позволило существенно увеличить ток без снижения частоты замены анодов, улучшить токораспределение, снизить волнение металла и, в конечном итоге, увеличить наработку металла без дополнительных затрат.

В работах [61, 94] предложена модель для расчета магнитного поля в электролизере. Для построения модели в качестве расчетного метода применен метод пространственных интегральных уравнений. Напряженность полного магнитного поля в рамках этого подхода представляется в виде суммы двух компонент

Н = Нс + Нт.

Часть магнитного поля Йс, которая создается токонесущими элементами системы, рассчитывается на основе закона Био-Савара-Лапласа. Напряженность магнитного поля Нт, создаваемого намагниченными объектами вычисляется по формуле

где М - вектор намагниченности вещества,

интегрирование ведется по объему Vm, занятому ферромагнетиками. В итоге

задача расчета магнитного поля с учетом влияния ферромагнетиков сводится к решению интегрального уравнения

Результатом решения этого интегрального уравнения является поле вектора М в ферромагнетике. Обладая этой информацией можно вычислить поле в любой точке пространства. В расчетной области вычисляется полное магнитное поле как сумма поля ошиновки (включая соседние в корпусе электролизеры и общекорпусную ошиновку), собственно магнитного поля объемно-распределенного тока и поля ферромагнитных элементов (по рассчитанной намагниченности). В работе [61] приведено сравнение рассчитанного магнитного поля с экспериментально измеренным магнитным полем. Авторы приводят графики рассчитанного магнитного поля при однородном распределении электрического тока в электролизере и при реальном распределении тока.

Тем не менее, никакие модели не могут претендовать на точное описание процессов в электролизере. Даже использование пакетов программ известных фирм [84] показывает значительное расхождение в вычисленных и измеренных значениях z-компоненты магнитного поля. Задача состоит в том, чтобы на основании модели можно было судить о том, как изменения конструкции и технологических параметров отражаются на количественных и качественных характеристиках процессов, происходящих в электролизере.

В работе [84] проведено сравнение показателей российских электролизеров с самообжигающимися анодами с показателями электролизеров с самообжигающимися анодами лучших зарубежных заводов. Большая единичная мощность российских электролизеров и их геометрические размеры предопределяют ухудшение условий массо- и теплопередачи: повышение термической нагрузки анода и снижение выхода по току, компенсация последствий которых обеспечивается снижением удельной анодной плотности тока и увеличением уровня (массы) металла. В работе [84] также приведены результаты расчетов магнитного поля по методам ВАМИ и Алюсвис. Расчетные и измеренные значения j-компоненты магнитного поля, направленной вдоль короткой стороны электролизера имеют близкие величины во всем диапазоне измерений. Вертикальная составляющая магнитного поля показывает значительные расхождения в зависимости от условий расчета (с учетом ферромагнетиков и без) и от методик (ВАМИ и Алюсвис), измеренные значения существенно отличаются от расчетных (максимальное расхождение ~50 Гс по методу Алюсвис с учетом ферромагнетиков). В [84] приведено распределение магнитного поля оптимизированного электролизера. Результаты расчетов оптимизированного варианта, выполненные фирмой Алюсвис, показывают существенное снижение у- и z-компоненты магнитного поля. Эти компоненты магнитного поля в оптимизированном электролизере оказались более симметричны. Авторы работы [84] делают вывод, что низкие значения и симметрия магнитного поля позволяют существенно увеличить предел МГД-

варианта электролизера при (массы) металла и величины

устойчивости оптимизированного одновременном снижении уровня межполюсного расстояния.

В работе [38] описано улучшение характеристик электролизера в симметричном магнитном поле. Приведены усредненные за месяц и за год значения напряжения на ванне, мощность электролизера и КПД реакции Фарадея, измерения проводились в течение двух лет и девяти месяцев. Одновременно исследовались как обычные ванны, так и ванны с симметричным магнитным полем. По результатам измерений видно, что в ваннах с симметризованным магнитным полем увеличивается КПД реакции Фарадея. Авторами работы [38] установлено, что вертикальные колебания поверхности металла в электролизере уменьшаются в результате симметризации магнитного поля.

В литературе рассматривается несколько возможных ключевых механизмов возникновения нестабильности в работе электролизеров. Исследуются различные виды неустойчивостей: нестабильность длинных волн на поверхности металла, неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, неустойчивость альвеновских волн. Расхождения между различными анализами проблемы происходят от различных упрощающих предположений, сделанных их авторами.

Силы Лоренца вызывают нежелательные возмущения на поверхности металла. При некоторых условиях наблюдается рост этих возмущений, нарушающих технологический процесс. В этом случае говорят, что электролизер работает неустойчиво. Эти неустойчивости были предметом исследования два последних десятилетия, главным образом потому, что они представляют большое препятствие увеличения выхода по току. В частности, толщина электролита должна быть поддержана выше некоторого критического значения, чтобы обеспечить стабильность, а за это расплата - большие энергетические потери.

Количественной характеристикой неустойчивости в алюминиевом электролизере является технологический параметр «Уровень шума», который представляет собой амплитуду флуктуации напряжения на ванне и измеряется в вольтах. Существуют анодные (высокочастотные) шумы и катодные (низкочастотные) шумы. Появление анодных шумов происходит в результате изменений в газовом слое под рабочей поверхностью анода. Поверхность анода подвергается воздействию выделяющихся из-под него газов, которые содержат СО и СОг, а также О2, содержащемся в воздухе. Эти газы, вступая во взаимодействие с углеродом вертикальных граней анода, приводят к их повышенному износу. Поэтому периферия анода обгорает быстрее, и расстояния между концами штыря и подошвой анода на периферии становится меньше, чем в центральной зоне. Выделяющиеся пузырьки газов влияют на распределение токов в аноде [104]. Так же эти пузырьки вызывают мелкую рябь на поверхности металла. Появление катодных шумов происходит в результате колебаний поверхности металла, обусловленных гравитационными и электромагнитными силами.

Свободная поверхность жидкости, находящейся в равновесии в поле тяжести, — плоская. Если под влиянием внешнего воздействия поверхность жидкости в каком-нибудь месте выводится из ее равновесного положения, то в жидкости возникает движение, которое распространяется вдоль всей поверхности жидкости в виде волн, которые называются гравитационными. Они происходят в основном на поверхности жидкости, захватывая ее слои тем меньше, чем глубже они расположены.

Также существуют капиллярные волны, которые обусловлены поверхностным натяжением жидкого алюминия. Эти волны представляют собой мелкую зыбь на поверхности металла.

Наиболее распространенным в последнее время является следующий механизм возникновения нестабильности длинных волн на поверхности металла [8, 9, 10, 11, 12, 13, 30, 56, 57, 58]:

Изменяясь, поверхность металла вызывает перераспределение тока в электролизной ванне. Ток направляется на те точки, где толщина, и, следовательно, сопротивление электролита меньше. Изменение тока вызывает возмущение сил Лоренца. Главным оставался вопрос, действительно ли эти изменения в силе Лоренца увеличивают начальное движение. В отсутствии магнитного поля поверхность может поддерживать конечное число обычных стоячих волн. Нормальные моды, связанные с этими гравитационными волнами образуют ортогональные множества функций. Так что произвольное возмущение поверхности можно представить как суперпозицию таких гравитационных волн. Когда силы Лоренца отсутствуют, эти моды не взаимодействуют между собой. Однако когда силы Лоренца принимаются в расчет, то некоторые гравитационные моды взаимодействуют с теми, которые участвуют в разложении Фурье сил Лоренца и могут возбудить ряд других гравитационных мод. Другими словами, возникают модулированные колебания. Когда магнитное поле достаточно большое, это взаимодействие приводит к неустойчивости, вовлекая две или больше соседних частоты.

Впервые уравнение колебаний поверхности металла без вывода было приведено в работах Urata [56]:

( ,d7h б 8h д dh дВ7 дВ7

dh / ?

on

Автор говорит, что стабильность работы алюминиевого электролизера зависит скорее от конфигурации магнитного поля, чем от его величины. В литературе есть такой результат: В 1981 году на заводе Kaiser Tacoma был построен электролизер, у которого по сравнению с предыдущими прототипами, работавшими с 1976 по 1979 год, вертикальная компонента магнитного поля была уменьшена с 60 Гс до 15 Гс, деформация уменьшена с 12.5 см до 2.5 см и работал он более нестабильно. После этого появился ряд работ, в которых стабильность стали связывать с собственными частотами, характером распределения магнитного поля, а через собственные частоты - с геометрией электролизера.

В работе [57] описывается механизм взаимодействия мод в разложении поверхности металла

mji С \ ( \ ят пп X COS —У L L \ X / \ у J Автор получает дисперсионное соотношение

(Ма>2 -агДи,лК,л -Al5(n,Mm>.)(l/AMV>(MV=0

где 'МНР

<* = (p,-pM)g fi = J.f{Wunp) -Л

L &

дх

дфт,п- ду Матрица антисимметричная. Рассматривается взаимодействие мод

для магнитного поля вида

Хе[-\,\] Ye[-l,T]

В этом случае матрица принимает форму, показанную в таб. 1.1.

Таблица 1.1 - Матрица {Щ (2,0) (1,1) (1,0) 0 4С0 0 -V2C, (0,1) 0 0 4 С, 4icy (2,0) 0 0 0 16/3-V2с№ (М) 0 0 0 0 Автор делает вывод, что в продольно расположенных электролизерах, для которых значение С0 относительно большое в нескомпенсированном магнитном поле в основном неустойчивость вызвана взаимодействием моды (1,0) и (0,1), а для поперечно расположенных электролизеров взаимодействием моды (0,1) и (2,0).

На рис. 1.1 показан механизм взаимодействия моды (1,0) и (0,1).

Рисунок 1.1 - Механизм взаимодействия мод.

Мода (1,0) поверхности металла вызывает перераспределение горизонтального тока вдоль длины электролизера. При взаимодействии этого тока с магнитным полем возникает электромагнитная сила, направленная вдоль ширины электролизера. Эта сила порождает моду (0,1). Далее мода (0,1) вызывает появление электромагнитной силы вдоль длины электролизера, которая в свою очередь влияет на моду (1,0).

В работе [34] рассматривается два различных вида неустойчивости.

Один - неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, обусловленная

тангенциальным разрывом скоростей на поверхности металла, она может

порождать малые возмущения. Другой — электромагнитная по своей природе

неустойчивость длинных волн на поверхности металла. Малые

периодические возмущения накладываются на равновесную поверхность

металла, и предлагается линейный анализ их характеристик. Первыми

рассчитываются возмущения электрических величин, и тогда возмущение

скорости и давления в двух жидкостях следуют из трехмерного уравнения

Навье-Стокса с линейной вязкостью. Результат - характеристическое

33

уравнение, которое связывает параметры возмущения (длину волны, скорость распространения) с параметрами электролизера (плотностью тока, толщиной слоев жидкостей, коэффициентами трения, равновесными скоростями...). Конечные размеры электролизера и изменения невозмущенных величин вдоль поверхности металла (скорость, электрический ток, магнитное поле) в расчет не принимаются. В рамках линейного анализа каждая неустойчивая мода независима от остальных. Нелинейные теории необходимы для анализа взаимодействия между модами и для предсказания развития неустойчивости во времени. В данном контексте замечательно то, что возрастание уровня турбулентности (возрастание коэффициента трения) может подавлять возмущения. Это склоняет к развитию нелинейных моделей.

В работе [64] описывает неустойчивость поверхности металла. Неустойчивость принимается автором скорее гидродинамической, чем магнитогидроди нами ческой по природе. Выше некоторого критического значения скорости жидкостей поверхность металла становится неустойчивой, этот результат получен без какого-либо особого электромагнитного механизма. Критическая скорость зависит от картины циркуляции в электролизере: например, одновихревое течение будет иметь критическую скорость, отличную от той, что у двух вихревого. Рассчитанные критические скорости близки к скоростям, измеренным в промышленных электролизерах. Волны генерируются в виде системы бегущих волн, чей вид зависит от картины циркуляции стационарной скорости. Многообразие наблюдаемых движений напоминает многообразие, видимое в топографических воспроизведениях поверхности металла, полученных по измеренным анодным токам. Иллюстрируется приложение этого анализа к действующему электролизеру, показывающее потенциал метода в оценке влияния на устойчивость различных операционных и конструкционных параметров.

В работе [31] рассматривается форма поверхности металла и циркуляция металла и электролита для различных типов ошиновки. В работе рассчитывается токоподвод, который дает практически плоскую поверхность металла. Отмечается, что деформация поверхности металла сильно зависит от горизонтальных токов.

В работе [62] представлена математическая модель, описывающая взаимосвязанную динамику технологических параметров алюминиевого электролизера. Представленная модель реализована в программе «Виртуальный электролизер» [105]. Модель предназначена для использования в алгоритмах АСУТП и учебно-консультационной программе в связи с этим одним из требований к модели было обеспечение высокой скорости расчета. Поэтому в модели не используются уравнения в частных производных и, соответственно, двух, трехмерные разностные схемы. Несмотря на высокую скорость расчета, технологические расчеты и прогнозы должны быть достоверными. Поэтому для виртуального электролизера были построены специальные динамические модели, удовлетворяющие этим требованиям. Эти модели построены на обыкновенных дифференциальных и балансовых уравнениях. Математическая модель была идентифицирована по результатам большого числа экспериментальных измерений. В представленной модели отсутствует возможность оценки порога МГД-устойчивости электролизера.

В работе [85] рассмотрены состояние и основные направления развития средств контроля технологических процессов производства алюминия. Изложены физические основы и принципы построения электромагнитных и акустических бесконтактных датчиков- преобразователей для контроля и измерения основных параметров электролизеров. Рассмотрены погрешности измерения и способы их компенсации. Представлены результаты лабораторных и промышленных испытаний разработанных устройств и систем контроля с целью их внедрения на алюминиевых заводах. В работе [85] показано, как зависит частота колебаний поверхности металла от высоты электролита и ширины электролизера. С ростом высоты слоя расплава алюминия увеличивается частота колебаний его поверхности. С увеличением ширины электролизера частота колебаний уменьшается.

С точки зрения приложений наиболее значимым является получение условий, выполнение которых гарантировало бы устойчивость работы алюминиевого электролизера. В литературе эти условия представляют собой неравенства, которые называются критериями устойчивости. В точном смысле известные в литературе критерии не являются необходимыми и достаточными условиями.

Аналитический критерий устойчивости был впервые предложен Селе [45]. В качестве основного механизма неустойчивости в этой работе берется взаимодействие между горизонтальными электрическими токами и вертикальной компонентой вектора магнитной индукции. Критерий не учитывает неоднородность магнитного поля. Критерий Селе отражает тот факт, что если электролизер работает устойчиво, то выполняется неравенство

(Кпр +

d0 — постоянная, (м) и равна 0.04 для электролизеров с обожженными анодами и 0.036 для электролизеров Содерберга,

А = 5 -10 2, м2ТЛ~1КА1.

Показатель А не зависит от технологических параметров: КО, А1203, CaF2, температуры электролита, длины настыли. На первый взгляд, длина настыли должна учитываться через z-компоненту магнитного поля, но изменение настыли существенно изменяет распределение вертикальной компоненты магнитного поля на границе, а максимальное значение изменяется несущественно. В работе [112] проведена оценка устойчивости электролизеров по критерию Селе. Исследовалась устойчивость электролизеров С-160М4. Согласно критерию Селе эти электролизеры должны быть устойчивы с большим запасом, для высоты металла 0.1 м критическое МПР равно 0.05 м. Реально же при таких параметрах электролизеры ведут себя неустойчиво.

В уточненном критерии Ch. Droste, М. Segatz и D. Vogelsang [15] рассматриваются продольно расположенные электролизеры. В критерии не учитывается пространственное распределение магнитного поля и индуцированные токи. Учитывается конечная длина и ширина. Авторы получили следующее волновое уравнение:

{pjK + PJKnr -g(pM~pMh = ~ I)

(- sip и (Л - Л))-« = 0

Согласно [15] МГД-неустойчивость есть наличие бегущих волн, поэтому одно из условий - отсутствие бегущих волн:

1т(л)=0

где G(r,r') - функция Грина. Второе условие относится к стоячим волнам: h

"AJnD '

'МПР

О",

а /

MA.-PJ здесь Яе(Л) не является универсальной постоянной для данной ванны, а зависит от конфигурации волны на поверхности металла. Нахождение Re(^) является довольно сложной задачей. В работе отмечается, что в присутствии постоянного магнитного поля есть два источника нестабильности - внутренняя и граничная область металла. Внутренний источник — это пространственные градиенты сил Лоренца, граничный источник - это сами силы Лоренца. В критерии [15] можно учесть технологические параметры КО, А1203, CaF2, температуру электролита, В самой модели, из которой получен этот критерий, считается важным влияние на устойчивость постоянного внешнего магнитного поля, но не учитывается пространственное распределение магнитного поля. Результаты этой работы по МГД-неустойчивости в присутствии постоянного вертикального магнитного поля находятся в противоречии с результатами работ [8, 58] (Авторы объясняют это тем, что по-другому ставят граничные условия). Сами авторы не считают этот критерий продуктивным, а для получения устойчивости предлагают решать задачу на собственные значения для интегро-дифференциального уравнения.

В работе [8] Бояревича и Ромерио предложен критерий устойчивости, учитывающий конфигурацию магнитного поля. Основные предположения, при которых он получен: •

Жидкости невязкие и несжимаемые. •

Нормальные компоненты поля скоростей равны нулю на стенках и непрерывны на поверхности металла, так же как и давление. •

Жидкости несмешиваемые. •

Индуцированными токами пренебрегаем. •

Учитывается конечная длина и ширина.

dtp дВ2 д<р дВг ду дх дх ду

v

( в ( п

g\pM -Р*)~-в2<тм nv—--и —- =0

О \1 М г 3 / —1 2 М V л J л

on ^ дх ду j •

Критерий относится к стоячим поверхностным длинным волнам. Авторами получено волновое уравнение:

Содержательно критерий состоит в том, что гравитационные частоты должны быть расположены как можно дальше друг от друга, т.е. величина должна удовлетворять некоторому неравенству. Чтобы привести

точную формулировку, обозначим через

к = (кх,ку) — волновой вектор,

kI=—m> ку =—и, т, я - целые числа, Ас Ly 2 / \Л

Я"

— n

Pm ~ P,

- собственные частоты

<„ = —:—g\ i —™ i +

МПР

/

PJK+Pjh,

системы. Любой другой волновой вектор запишется в следующем виде:

к'= (к'х,к'у)\ к'х=^~т', к'у=—п'; т\ п' - целые числа.

Соответствующая собственная частота Рм!К +Рэ!Кпг

=

Рм ~Рз

?8 ( / л К , 1 ( \ л , — m + — п , L L \ У ) В формулировке критерия участвует некоторое число, которое считается по формуле: =

1/V2 , если кхмш к =0, кх & к 1 /2, если кх=ку= О Кроме того, в критерии учитывается распределение вертикальной компоненты магнитного поля через ее преобразование Фурье: В,

К*, L J

* У

Таким образом, для того, чтобы электролизер работал устойчиво, необходимо выполнение следующего неравенства:

\Вг sin^jcsini^t&c/y. г

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА ml.

L2 + L1\ Ly J

т п m -m л -п

у /

С A,-A)Vff4AX„. /г

п т- пт

Кh

> is -V

«'/и + л/и LxLy

Достижение равенства дает границу области устойчивости. Критерий плохо работает, если есть не одна пара близких значений |а>1п , поэтому для

выбора ведущей пары необходимы еще какие-то дополнительные условия. То, что учитывается характер распределения вертикальной компоненты магнитного поля, представляется очень важным.

В критерии P.A. Davidson [9, 10, 11,12, 13, 30] вертикальное магнитное поле предполагается постоянным. Выводы авторов при сходных условиях находятся в согласии с результатами, полученными в работах [8, 58]. Критерий состоит в том, что разность между любыми двумя собственными частотами должна превышать некоторое число. Для использования критерия также достаточно проверить выполнение некоторого неравенства между двумя ближайшими гравитационными частотами. Неравенство выглядит так:

лл

(p„ -P3KkMnpg (b. +bj)

где

kx=-j-m, ky=~n, m,n - целые числа, кj — (кг,ку), JL

L.

я

кх=~т\ ку=—«', т\п' — целые числа,

24Д„

у I Т kk 8Д„ = [m'(« + ri')Sn+n. (Sm+m. - SM_m.) - ri(m + т')<5и,и. (<5,1+„. - ?„_„.)]

= - , если r - нечетное r

6r = 0 , если r - четное или О

В работах [27, 28] используются идеи работ [9, 29]. Автор исследует два волновых уравнения, полученных путем применения дивергенции и ротора к уравнению Навье-Стокса. Исследуется стабильность волн на поверхности металла и стабильность альвеновских волн.

Автор получает следующее волновое уравнение для поверхности металла: ШР

МПР

P3 + h

Р, + К

Р.

дГ

а2А_ (л,-л)

'ЧПР

h +

'К1ПР Х72 dh dt Соответствующее дисперсионное соотношение: \

{ со — i ?

k

j МП.

У

к где v - кинематическая вязкость. Так как подкоренное выражение всегда больше нуля, то согласно работе [27] волны на поверхности металла всегда стабильны. При получении волнового уравнения учитывается возмущение только вертикальной компоненты плотности электрического тока, в уравнении не учитываются конвективные члены.

Альвеновские волны - есть поперечные волны. Причина возникновения альвеновских волн обусловлена тем, что магнитное поле сказывается как в появлении магнитного давления, так и дополнительной силы, которая может рассматриваться как некое натяжение, действующее вдоль магнитной силовой линии. В хорошо проводящей среде магнитные силовые линии с одной стороны подвержены, таким образом, как бы натяжению, а с другой стороны, будучи вмороженными в среду, обладающую инерцией, могут совершать колебания как струна. Именно распространение таких колебаний и приводит к возникновению альвеновских волн.

После применения ротора к уравнению Навье-Стокса, в работе [27] автор получает уравнение, которое содержит только скорость и магнитное поле. Уравнение линеаризуется в окрестности альвеновской скорости

В

В результате в работе [27] приводится критерий устойчивости альвеновских волн: V

В,

Л 1 -[pi л/А а.,

к

2

'ШР .

'МНР

^мпр J где е— малый параметр, vm = l/(pi<7). Выводы по разделу 1 1.

Существуют различные математические модели для описания процессов в алюминиевом электролизере. Модели находятся в развитии, в ряде случаев работы находятся в противоречии друг с другом. Как правило, этими моделями сложно воспользоваться, часто уравнения предлагаются без вывода, авторы приводят только результаты расчетов. При использовании моделей приходится сталкиваться с различными неопределенностями, связанными с неполным описанием моделей в литературе. Применение существующих моделей для получения конкретного результата является отдельной задачей. 2.

Устойчивость работы электролизера зависит от распределения физических полей в нем. Предлагаемые в литературе уравнения колебаний поверхности металла и критерии устойчивости включают в свои соотношения распределение магнитного поля, электрического потенциала и других параметров электролизера. Таким образом, исследование устойчивости электролизера неотделимо от моделирования физических полей в нем. 3.

Практическое использование существующих математических моделей алюминиевого электролизера связано с рядом трудностей, обусловленных особыми требованиями АСУТП. Одним из требований к моделям для использования в алгоритмах АСУТП является обеспечение высокой скорости расчета. Так, в работе [62] строятся специальные динамические модели, удовлетворяющие этим требованиям. На сегодняшний день в литературе нет критерия устойчивости электролизера, который можно было бы включить в систему подобную [62].