Решение парадокса «Ахиллес и черепаха»

Зенон Элейский (V в. до н. э.) приводит четыре опровержения движения, основанные на возможности бесконечной делимости пространства и времени. Одно из этих опровержений получило название «Ахиллес и черепаха».

Парадокс допускает две интерпретации. Во-первых, Зенон мог иметь в виду, что Ахиллес должен сначала преодолеть половину расстояния между собой и уползающей черепахой, затем четверть оставшегося расстояния, затем его восьмую часть и до бесконечности. Но если это так, тогда Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху в конечное время. Такое заключение является парадоксальным.

Во-вторых, Зенон мог иметь в виду, что прежде чем Ахиллес достигнет половины пути между собой и черепахой, он должен преодолеть его четверть, а для этого он должен пробежать его восьмую часть и так далее до бесконечности. Но если это так, тогда Ахиллес не сможет даже начать движение в конечное время. Данное заключение, соответствующее апории Зенона «Дихотомия», также парадоксально.

Обе интерпретации допускают обобщение: «Ни одно движение не может быть закончено в конечное время» и «Ни одно движение не может быть начато в конечное время». Нетрудно увидеть, что эти два обобщения эквивалентны. Если истинно первое, то всегда истинно второе; а если истинно второе, то необходимо истинно и первое. Значит, каждая из интерпретаций является необходимым следствием другой, и они эквивалентны друг другу.

Доказательство Зенона символизирует следующее умозаключение. Движение либо возможно, либо невозможно.              (1) Если движение возможно, тогда Ахиллес может пробежать бесконечное число непрерывно уменьшающихся отрезков за конечное время.

Значит, движение невозможно.

Умозаключение (1) общезначимо, т. е. заключение следует из указанных посылок. Но оно противоречит обыденному и научному опыту. Значит, причина парадокса в недостоверности по крайней мере одной из его посылок. Первая посылка указывает альтернативы доказательства. Список альтернатив удовлетворяет требованию полноты. Значит, первая посылка истинна. Вторая посылка также истинна, так как при допущении возможности движения предел суммы s(1/2 + 1/4 + ... + 1/2"), где n ^ и s — конечное расстояние, равен s. Сомнение может вызывать только третья посылка. Основные доводы против истинности этой посылки были высказаны Аристотелем.

Согласно Аристотелю, «...ошибочно рассуждение Зенона, в котором предполагается, что невозможно пройти бесконечное множество предметов или коснуться каждого из них в конечное время» (Аристотель. Сочинения), потому что «бесконечного в количественном отношении нельзя коснуться в конечное время, а бесконечного в отношении деления можно, так как само время бесконечно именно в таком смысле» (Там же). Делимость времени прямо пропорциональна делимости расстояния. Это очевидно при рассмотрении равномерного движения. Ведь в этом случае «все движение будет проделано во столько равных промежутков времени, сколько таких частей (расстояния. — В. С.) будет в целом» и, следовательно, «всякое тело, движущееся с равной скоростью, необходимо проходит конечное расстояние в конечное время» (Там же).

Ложность третьей посылки разрушает доказательство Зенона, т. е. лишает умозаключение (1) всякой логической силы. Следующая простая модель позволяет предсказывать, когда именно Ахиллес догонит черепаху.

Пусть s обозначает расстояние, которое Ахиллесу необходимо пробежать, чтобы догнать черепаху, t — время, которое ему необходимо на это потратить.

v = s/t.              (2)

Допустим, скорость Ахиллеса равна vА = 10 м/с, скорость черепахи vq = 0,1 м/с; скорости обоих бегунов постоянны, и Ахиллес стартует, как только она отползет на 99 м. Значит, s0 = 99 м. При этих условиях Ахиллес догонит черепаху ровно через 10 с.

Значит, Ахиллес, бегущий с постоянной скоростью 10 м/с, догонит черепаху, уползающую от него с постоянной скоростью 0,1 м/с, ровно через 10 с после того, как преодолеет 100 м. Подставляя в (3) конкретные значения, получаем для первых трех отрезков времени:

Т = 9,9 с [1 + 0,01 + 0, 0001] = 9,9 с + 0,099 с + 0,00099 с = 9,99999 с.

Полученное значение является очень хорошим приближением к 10 с, полученным ранее. Соответственно общее расстояние, которое Ахиллес должен будет преодолеть в указанные временные интервалы, равно сумме пространственных отрезков:

S = 99 м + 0,99 м + 0,0099 м = 99,9999 м,

что тоже является хорошим приближением к расчетному значению 100 м.

Итак, данный парадокс разрешается, только если деление (прохождение) пространства обусловлено делимостью времени. Их отношение дает нам производную, называемую скоростью.

Решение парадокса «Летящая стрела»

Другое не менее известное опровержение возможности движения представляет апория Зенона «Летящая стрела». «Если всегда — говорит он (Зенон. — В. С.) — всякое тело покоится, когда оно находится в равном себе месте, а перемещающееся тело в момент “теперь” всегда находится в равном себе месте, то летящая стрела неподвижна».

(Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т 3. — М., 1981. С. 199.) Содержание апории выражает следующее умозаключение. Движение либо возможно, либо невозможно.              (4) В каждый момент времени «теперь» летящая стрела

занимает место, равное своей длине.

занимает место, равное своей длине, она покоится.

Значит, летящая стрела покоится, что абсурдно. Поэтому

движение невозможно.

Заключение (4) следует из приведенных посылок, но не доказывается ими. Причина — ложность второй посылки.

Доказательство

Допустим, расстояние, которое пролетает стрела, равно 50 м, длина стрелы l равна 1 м. Все расстояние s, пролетаемое стрелой, равно сумме пятидесяти отрезков длиной 1 м: s = 50 l.

Вторая посылка утверждает, что на каждом отрезке полета s. (i = 1, 2, ..., 50), равном собственной длине l, стрела покоится, т. е. ее скорость равна нулю, v = 0. Это равносильно утверждению истинности следующих утверждений:

Если s1 = l, то v = 0;

Если s2 = l, то v = 0;

Если s3 = l, то v = 0;

Если s50 = l, то v = 0.

Из условия второй посылки и начальных допущений следует, что стрела движется и ее длина больше нуля. Значит, антецедент (условие) каждого утверждения Зенона ложен, так как st = l gt; 0 и t gt; 0 для всех i (рассматриваемых отрезков). Из этого следует, что каждый отрезок дистанции полета s. (i = 1, 2, ..., 50) включает не только длину стрелы, но и расстояние, которое она преодолевает в соответствующий промежуток времени. Это означает, что антецеденты зеноновских утверждений должны быть модифицированы следующим образом.

Из сказанного следует, что в каждый момент времени полета s. (i = 1, 2, ..., 50) стрела действительно занимает место, равное своей длине, но так как она движется с ненулевой скоростью, то пролетаемое ею расстояние всегда больше ее длины. Приведенные расчеты не зависят от фактической длины стрелы. Требуется только, чтобы она не была равна нулю.

Данный парадокс разрешается, только если принимается во внимание, что каждое «здесь» летящей стрелы включает не только ее длину, но и все расстояние, которое она преодолевает в рассматриваемый отрезок времени «теперь». Движение как бы увеличивает место, занимаемой стрелой, на величину, пропорциональную ее скорости. Поэтому нет никакого противоречия в известном утверждении Гегеля, что «двигаться означает быть в данном месте и в то же время не быть в нем, — следовательно, находиться в обоих местах одновременно». (Гегель Г. В. Ф. Лекции по истории философии. Кн 1. — СПб., 1993. С. 282.)