<<
>>

Решения с помощью теории игр


Теория игр — это область математики. Основы ее были разработаны выдающимся математиком Дж. фон Нейманом (1903— 1957). Играть, конечно, умеет каждый (или каждый может научиться играть), но играть с максимальным успехом (или минимизировать свои потери), то есть играть оптимально — искусство, которым владеет далеко не всякий.
Теория игр служит для разработки самого лучшего, оптимального образа действий игроков на основе математического анализа тех или иных игр.
Здесь следует пояснить, о каких играх идет речь. Само собой разумеется, что азартные игры — «игры счастливого случая», к которым, кстати, относится и числовое лото, не поддаются теоретическому анализу. В этих играх отсутствует оптимальное поведение, или наилучший образ действий, играющих *. (В лучшем случае можно оценить соотношение вероят-




ностей, которое, однако, никогда нельзя применять к отдельным ситуациям.) На основе теории игр исследуются только такие игры, на исход которых непосредственно влияют рассуждения игроков, то есть игры, в которых игрок может делать хорошие и плохие ходы, как, например, при игре в шахматы или в скат. Такие игровые ситуации превращаются в задачи принятия решений.
Прн этом вопрос стоит так: как надлежит вести себя в той или иной игровой ситуации, чтобы максимально увеличить свой выигрыш или свести к минимуму свои потери? (Под выигрышем и потерями не обязательно понимаются денежные суммы.)
Теория игр возникла вовсе не из желания математически описать развлекательные игры. Кроме того, шахматы, скат и другие стратегические игры слишком сложны, чтобы их можно было полностью исчерпать теоретически. В гораздо большей степени теория игр возникла нз потребности исследовать математическими методами известные экономические проблемы (конкурентные ситуации) [†††††]. В теории игр, исследующей такого рода ситуации, две или несколько конкурирующих фирм рассматриваются как игроки, стремящиеся получить возможно

большую прибыль (доход) или свести к минимуму свои потери. Рассмотрим простой пример [19].
Два игрока А и В одновременно и независимо друг от друга записывают на листе бумаги одну из цифр 1, 2 или 3. Затем они показывают друг другу эти цифры и в случае, если их сумма окажется четной, то игрок В должен заплатить игроку А деньги, равные этой сумме. И наоборот, если сумма окажется нечетной, игрок А должен заплатить соответствующие деньги игроку В. Эта игра, с одной стороны, очень наглядна, а с другой — позволяет хорошо изучить основные положения и результаты теории игр. В качестве первого шага составляется так называемая матрица игры (табл. 21). В этой матрице для
Таблица 21
Матрица для игры с числами С точки зрения игрока А              С              точки              зрения              игрока В




В записывает 1 В записывает 2 В записывает 3

А записывает 1 А записывает 2 А записывает 3

2-3 4 -3 4 -5 4-5 6



— С\| Я
! | !
з ? з
? ? ?
§ 7 а ш т аз

А записывает 1 А записывает 2 А записывает 3

-2 3 -4 3-4 3
-4 5 -6





игрока А отводятся строки, а для игрока В — столбцы.
Вводится столько строк, сколько возможных поведений (решений) имеет игрок А; в нашем примере их 3. Аналогичное число столбцов соответствует возможным поведениям (решениям) игрока- В. Таким образом, матрица игры для нашего примера имеет 3 строки и 3 столбца, в результате образуется 3X3 = 9 клеток. В этих девяти клетках мы будем записывать выигрыш ( + ) или проигрыш ( —) для игрока А. То же самое сделаем и для игрока В. Мы получим такую же матрицу только с обратными знаками. Это, несмотря на компактность, исчерпывающий способ описания игры, который отражает как возможные образы действий (решения) игроков, так и вытекающие из них следствия.
Матрица игры — исходный пункт всех наших дальнейших рассуждений. Каждую игру, которую иадо исследовать с помощью такого метода, следует привести к единой форме. При этом более детального словесного описания игры можно не давать. Для того, кто знаком с теорией игр, все будет ясно.

Вспомним пример с покупкой льготного билета из раздела 7.3.1. Там мы тоже оперировали таблицами, строки которых соответствовали тому или иному поведению отпускника, а клетки содержали оценки последствий его решений. Столбцы были обозначены как «события» — описывали фактическое состояние погоды.
Этот пример можно рассматривать и в теоретико-игровой постановке, если под одним из игроков понимать природу. Природа может проявлять себя как «солнечная» или «дождливая». В «борьбе с природой» человек хотел бы понести возможно меньшие потери, природа же в «борьбе с человеком» может увеличить его ущерб (можете не смеяться — с точки зрения теории игр такие выражения вполне корректны).
Однако вернемся к нашей числовой игре и поинтересуемся, может ли специалист в области теории игр предложить нам целесообразный способ действий — стратегию. Но и от математика не надо требовать слишком многого. Он, естественно, не может сказать, как следует играть, чтобы всегда выигрывать. Конечно, если бы А знал, какую цифру записал В, это было бы возможно. Тогда А всегда мог бы иметь выигрыш, равный 4: если В записывает 1, А пишет 3; если В записывает 2, А пишет 2; если В записывает 3, А пишет 1.
Но такая игра не была бы честной. Прелесть нашей игры в том и состоит, что оба игрока принимают решения независимо друг, от друга. Именно поэтому и ие              может              математик              гарантировать нам выигрыш. Однако он              может              подсказать,              как              нам
вести себя, чтобы быть уверенным, что наш проигрыш минимален. А это уже кое-что. Он говорит нам: «Играйте на основе принципа мнннмакса».
Но что это значит?
Посмотрите иа табл. 22. В верхней матрице появляется еще одни дополнительный столбец, а в нижней — дополнительная строка, в которых проставлены минимальные цифры из строк или соответственно столбцов. В нашем примере это всегда отрицательные числа, то есть потерн. Они говорят, что при определении линии поведения для каждого игрока мы не можем потерять более, чем указанный минимум.
Итак, если А записывает 1, то он ие может потерять больше, чем 3 денежных единицы (это будет случай, когда В запишет . Конечно, он может и выиграть некоторую сумму (например, если В запишет 1 нли 3), но он ведь этого не знает. Он только знает с уверенностью, что его потерн не могут быть больше, чем 3. Если же А запишет 2 нли 3, то в неблагоприятном случае он должен считаться с возможностью потери 5 единиц. Это будет тогда, когда В выберет 2 или 3. Таким образом, очевидно,
что для игрока А выгодно всегда записывать 1. При этом, конечно, он никогда не может рассчитывать на «главный выигрыш» в 6 единиц, однако он сможет избежать и «самых больших потерь» — в 5 единиц.
Таблица 22
Матрица для числовой игры с минимальными потерями С точки зрения игрока А


В записывает 1 В записывает 2 В записывает 3

Минимум

А записывает 1

2-3 4

-3

А записывает 2

1
СО
сл

-5

А записывает 3

4-5 6

-5


С точки зрения игрока В


В записывает 1 В записывает 2 В записывает 3

А записывает 1 А записывает 2 А записывает 3

-2 3 -4 3-4 5 -4 5 -6

Минимум

1
СО
1
1
1


Такой образ действий игрока А, ориентированный на «гарантированный» результат, можно найти, если в наших таблицах в столбце минимальных значений выбрать наибольшее, то есть максимум. Соответствующее поведение игрока А составляет для него минимаксную стратегию.
А как все это выглядит с позиции игрока В? В нижней части табл. 22 в самой нижней строке приведены минимальные значения потерь для трех возможных его поведений. Он не может потерять больше 4 единиц, если запишет 1 или 2. Если же он выберет цифру 3, то его потери в этом неблагоприятном
случае могут оказаться равными 6 денежным единицам. Следовательно, для него выбор цифры 3 неблагоприятен, ибо связан с риском более высоких потерь, чем при 1 или 2. Игрок В таким же образом, как и игрок А, может искать свою минимаксную стратегию (в нашем случае игрок В может выбрать как первый, так и второй столбец). Это и составляет сущность принципа, который иазваи в математике принципом мииимакса.
Одну из двух матриц, приведенных в табл. 21 и 22, можно ие писать, так как обе матрицы отличаются друг от друга только знаками, означающими выигрыш или потерю. То, что в левой части табл. 21 и соответственно в нижней части табл. 22 указано как выигрыш для игрока А (положительные числа), в правой части табл. 21 и: соответственно в верхней части табл. 22 относится к потерям для игрока В (отрицательные числа). Это имеет место в случае так называемых игр с нулевой суммой, когда выигрыш одного игрока равен потерянмторого. Поэтому здесь можно работать только с матрицей, оценивающей игру
Таблица 23
Совмещенная матрица числовой игры с указанием минимаксной стратегии


В записывает 1 8 записывает 2 В записывает 3

| Минимум

А записывает 1

2-3 4


А записывает 2

-3 4 -5

-5

А записывает 3

4-5 6

-5

Максимум

4 4 6


Минимум!


с позиции игрока А. Точно так же можно найти и минимаксную стратегию для игрока В. Для этого надо только в самую нижиюю строку записать максимальные значения из столбцов и из иих найти минимум, то есть действовать по сравнению с игроком А наоборот (табл. 23).
Минимаксная стратегия — очень осторожная стратегия, в известной мере это стратегия для робких (нерешительных) людей. При этом, как мы видим, заботятся не о наибольшем выигрыше, а о наименьших потерях. Вот почему этот принцип
не позволяет ответить на вопрос, что же должен записать игрок В — цифру 1 или цифру 2. Для стратегии чистого минимак- са это безразлично, так как минимальные потерн при таком поведении игрока В одинаковы. Впрочем, каждый здравомыслящий человек, даже не искушенный в теории, глядя на матрицу игры (правая часть табл. 21), конечно, скажет, что записать 2 выгоднее, чем 1, так как при этом шансы на выигрыш будут больше. Если же не принимать во внимание самый неблагоприятный случай (— 4), то, записав 2, он может только выиграть (3 или 5 единиц); в то время как, выбрав 1, он может еще и проиграть (2 единицы). Но об этом принцип минимакса ничего ие говорит.
Что же произойдет, если оба игрока, как А, так и В, определят для себя свои минимаксные стратегии и применят их друг против друга? Игрок А будет все время записывать 1, а игрок В — все время писать 2. В результате А в каждом раунде будет терять по 3 единицы и вскоре откажется от такой бессмысленной игры или же примет решение оставить свою минимаксную стратегию и, поскольку В постоянно пишет свою двойку, также выберет цифру 2. При этом он выиграет 4 единицы. Это, естественно, ие останется надолго скрытым от игрока В. Он рассмотрит свою матрицу и нанесет игроку А ощутимые потери (—5), для чего ему нужно записать тройку. В начале реванша игрок А также выбирает 3. Теперь игрок В должен будет заплатить игроку А 6 единиц. И в таком духе эта игра может продолжаться до бесконечности. При этом, однако, возникают трн новых вопроса. Полностью ли утратила при этом минимаксная стратегия свое значение? Что случилось бы, если бы игрок В записывал не только двойку, но поочередно (или лучше — не строго поочередно, а лишь с одинаковой в среднем частотой) то 1, то 2? Существует лн вообще для А или В стратегия, которая может гарантировать выигрыши?
Постараемся ответить на эти вопросы. Минимаксная стратегия не бесполезна, как это может показаться, пока противник не настаивает на стратегии, которая приносит его партнеру только потери. Выше было показано, что продолжительная игра при обоюдных минимаксных стратегиях теряет всякую привлекательность для одного из игроков. Дело в том, что при определении минимаксной стратегии ведь исходят не нз того, что противник избирает какую-то определенную стратегию, а считаются со всеми возможными его реакциями. Далее предполагается так же, как в рассмотренном примере, что обе стороны не располагают никакой информацией о том, какое поведение наметил партнер. Конечно, при продолжитель
ной игре такую информацию можно получить, если установить, какую цель преследует соперник. Но при этом отпадает условие целесообразности применения стратегии минимакса и не имеет смысла больше ею пользоваться. В случае поочередной записи то 1, то 2 игрок А в среднем так же часто выигрывает, как и оказывается в проигрыше. Однако матрица игры показывает, что он проигрывает больше, чем может выиграть (+2 против —3). Потребуется только больше времени, прежде чем игрок А потеряет настроение и прекратит игру или же откажется от минимаксной стратегии («прозрение» особенно затягивается, если игрок В пойдет на хитрость: сначала много раз подряд будет писать 1 и таким образом пробудит у А надежды до того, как выигрыш А сможет не только возместить, но и превысить его потери). Пока отложим этот вопрос и подумаем, что произойдет, если оба игрока, как А, так и В, с одинаковой частотой реализуют все три свои возможности (то есть в 33,333 % случаев). Ответ мы можем получить, рассматривая матрицу игры из табл. 21. Надо просто сложить числа, стоящие в девяти клетках матрицы, так как выигрыш наступает так же часто, как и проигрыш.
Если мы просуммируем числа слева, получим сумму, равную + 4 для игрока А. Просуммировав числа справа, для игрока В получим сумму —4. Это означает, что такой характер игры выгоден только игроку А.
В каждой игре он выигрывает в среднем по 4:9 = 0,44 денежной единицы. (Впрочем, это будет достаточно точным только в том случае, если игра повторяется очень часто.) И наоборот, игрок В проигрывает в среднем в каждой игре по 0,44 денежной единицы (игра-то ведь с нулевой суммой). Теперь все стало ясно. Для игрока А из 9 клеток матрицы 5 дают выигрыш и только 4 — проигрыш. И наоборот, для игрока В существуют только 4 выигрышных клетки, в то время как остальные 5 клеток несут ему неудачу.
И вот что еще любопытно. Средний выигрыш (не учитывая потерь) для обоих игроков одинаков: если игрок А выигрывает, его выигрыш составляет в среднем 4 единицы, если выигрывает игрок В, то он выигрывает в среднем тоже 4 единицы. Как это совмещается с высказанными ранее утверждениями? Дело оказывается просто в том, что при этих стратегиях игрок А выигрывает чаще, чем игрок В. Это можно выразить и следующим образом: хотя средняя величина выигрыша игрока А равна средней величине выигрыша игрока В, при очень большом числе игр выигрыши и потери игроков не возрастают: для игрока А баланс положителен, а для игрока В — отрицателен. Неодинаковое число положительных и отрицательных клеток матрицы в данном случае фактически решает исход игры.

Таким образом, для игрока А мы нашли стратегию, гарантирующую ему выигрыш. К удовольствию игрока А она действует тогда, когда игрок В применяет свои три возможности без разбора. Она действует также и в том случае (даже еще лучше), когда игрок В решает все время записывать только 1 и 3 (проверьте это!). Однако она больше не действует, если игрок В насторожился и решил все время записывать 2. В этом случае игрок А проигрывает, он будет в каждой игре терять в среднем 1,33 единицы. Это, однако, снова приводит иас к проблеме взаимной информации, которая сводит к нулю все теоретические рассуждения [‡‡‡‡‡].
Теория игр может помочь нам при другом решении, которое мы до настоящего времени не исследовали. К сожалению, вычислительные методы слишком сложны, чтобы рассматривать их в рамках настоящей книги. (Ниже мы познакомимся с графическим методом решения иа очень простом примере с 2 X 2 возможными вариантами.) Хотя рассмотренные стратегии ие могли гарантировать равенство шансов на успех (а кто хотел бы взяться за игру, заранее зиая, что его шаисы на успех меньше, чем шансы партнера?), теория игр позволяет иам найти такую стратегию, при которой ие страдает ии одни из игроков.
Мы можем здесь лишь привести решение: оба игрока должны записывать в 25 % игр по 1, в 50 % игр по 2 и в 25 % игр по 3.
При такой игре вообще невозможно получить большие выигрыши. Если оба игрока имеют одинаковые шансы, то в среднем оии не могут накопить большие выигрыши, но не понесут и больших потерь. Выигрыши и проигрыши для обоих игроков уравновесятся. Другими словами, от игры нельзя получить ничего, кроме удовольствия. По окончании серии таких игр сумма выигрыша у обоих игроков приблизительно или точно будет равна нулю. В процессе долгой игры в зависимости от того, как игроки будут реализовывать частоту своих решений, конечно, то игрок А, то игрок В будут понемногу выигрывать.
В качестве обещанной демонстрации простого графического способа определения оптимальной стратегии игры воспользуемся следующим примером, заимствованным у Е. С. Вентцель [19] Перед двумя игроками на столе лежат «рубашками» вверх две игральные карты, например туз и двойка. Игрок А берет одну

из двух карт, игрок В не должен видеть какую именно. У игрока А имеются следующие возможности: если он открыл туза, то говорит об этом партнеру и требует от него 1 руб., если же ои вытянул двойку, ои может а) сказать правду и заплатить противнику 1 руб. или б) солгать (сказать, что вытащил туза) № потребовать от партнера 1 руб.
Игрок В в свою очередь располагает следующими возможностями: если партнер А предлагает ему 1 руб. — берет его. Если же, напротив, от него требуют 1 руб., он может а) поверить игроку А и заплатить ему, б) не поверить игроку А и проверить его карту. Если игрок А оказался честным, то В платит А 2 руб. (расплата за сомнения в его честности!). Если же игрок А солгал, то А должен заплатить В 2 руб. (за попытку обмануть!).
На первый взгляд эта игра кажется более сложной, чем числовая. Однако зто ие так. Матрица игры состоит всего из двух строк «обмануть» и «играть честно»*для игрока А и двух столбцов «поверить» и «ие поверить» для игрока В (см. табл. 24). Надо еще пояснить, откуда взялись цифры, стоящие
Таблица 24
Матрица игры «Туз — двойка»

Игрок А

Игрок В

Верить Не верить

Обмануть

1 0

Играть честно

0 'А


в клетках этой матрицы. Вероятность открыть туза или двойку каждый раз составляет ’/а (50 %). Из этого вытекают расчеты, сведенные в табл. 25.
Для графического решения воспользуемся построением, приведенным иа рис. 23. Проведем одну горизонтальную и две вертикальные оси иа расстоянии друг от друга, равном 1. Левая вертикальная ось соответствует стратегии игрока А «обмануть» и обозначена Ai, п-равая вертикальная ось — стратегии игрока А «играть честно» и обозначена АН. Теперь предположим, что игрок В решил все время верить игроку А (стратегия BI). Тогда, применяя стратегию AI, игрок А, выигрывает сумму в 1 руб. Отметим это число иа оси AI. Если же игрок А будет руководствоваться стратегией All (а игрок В все еще использует стратегию BI), то его выигрыш будет равен иулю. Отметим и эту точку (на оси All). Если игрок А ие будет играть только по стратегии AI или только по стратегии All, а

будет смешивать обе стратегии, то точка, соответствующая его выигрышу, должна оказаться на прямой, соединяющей обе отмеченные точки (прямая, идущая от левой верхней точки направо к нижней точке). Если игрок А с одинаковой частотой будет применять как стратегию AI, так и стратегию АП, то его выигрыш составит ‘/г РУб. (точка Gi). Рассуждая аналогично, предположим, что игрок В применяет стратегию BII, тогда если игрок А руководствуется стратегией AI, то выигрыш для В
Таблица 25
Расчет выигрышей в игре «Туз — двойка»

Клетка 1

(А говорит неправду, В верит)
А открывает туза, А получает ] руб. : '/г-• = '/г А открывает двойку, А получает 1 руб. : '/г11 = '/2

руб.
руб.


Сумма: 1 руб.


Клетка 2

(А говорит неправду, В не верит)
А открывает туза, А получает 2 руб. : '/г-2 = 1 руб.
А открывает двойку, А платит 2 руб. : 1 /2 - С — 2) = — 1 руб.


Сумма: 0 руб.


Клетка 3

(А играет честно, В верит)
А открывает туза, А получает 1 руб. : '/2-1 =1,2 руб. А открывает двойку, А платит 1 руб. : 1 /2-(— 1)=J,2 руб.


Сумма: 0 руб.


Клетка 4

(А играет честио, В ие верит)
А открывает туза, А получает 2 руб. : '/г•2=1 руб. А открывает двойку, А платит 1 руб. : 1 /2 - С — l)—lh

руб.


Сумма: '/г руб.



равен нулю, а при стратегии АП составляет '/г руб. Мы получаем прямую, проходящую слева снизу вверх направо. Если игрок А с одинаковой частотой использует как стратегию AI, так и АП, то его выигрыш составляет '/lt; руб. (точка Gz). Игрок А не должен знать, как ведет себя игрок В в действительности. Он должен считаться с тем, что игрок В может избрать как стратегию BI, так и стратегию BII. Если А в воловине игр использует стратегию AI {следовательно, так же часто он использует и стратегию АН), то он в среднем может выиграть суммы, лежащие между двумя значениями ординат G\ н G2, то есть между '/* и '/г Руб. в зависимости от ответной реакции игрока В. Однако самый интересный результат этого графического представления мы получаем, двигаясь по линии минимального выигрыша. Игрок А слева от точки Gmikc не может выиграть меньше, чем

Рис. 23. Графическое решение игры «Туз—двойка».
Рис. 23. Графическое решение игры «Туз—двойка».


ограничено восходящей, а справа от точки С„акс — нисходящей прямыми (жирные линии). Таким образом, линия минимального выигрыша имеет крышеобразную форму. Ее вершина («конек») соответствует максимально возможному значению минимального выигрыша. В теории игр эта точка соответствует оптимальной стратегии. Мы видим, что ее абсцисса равна 2/3. Это означает, что, если игрок А в 33,33 % всех игр будет говорить неправду, а в 66,66 % будет честным, ему в среднем гарантирован выигрыш в '/з руб. независимо от того, каким будет поведение игрока В. В этих обстоятельствах игроку В такую игру ие посоветуешь; с самого начала он обречен на проигрыш (поскольку согласно матрице игры в длинном ряду игр он все равно не может выиграть, то должен был бы по крайней мере достигнуть нулевого равновесия). Естественно, можно ировестн такой анализ и с позиции игрока В. При этом мы обнаружим, что его «оптимальная» стратегия состоит в том, чтобы в 33,33 % игр верить своему партнеру, а в остальных 66,66 % — не верить. Для игрока В слово «оптимальная» должно, однако, звучать почти насмешкой, так как для него «лучшая» игра заключается в том, чтобы в среднем проиграть только ‘/3 руб., а не большую сумму.
Как обстояло бы дело, если бы наши игроки играли не заду, мываясь, то есть использовали бы обе свои возможности прибли
зительно с одинаковой частотой? Считаем так же, как и при числовой игре. Поскольку все 4 клетки матрицы игры — все 4 возможности — реализуются с одинаковой частотой, мы должны сложить находящиеся в них числа и разделить на 4. В результате оказывается, что средний выигрыш игрока А составит в этом случае 3/в руб., а игрок В в среднем потеряет столько же. Стало быть, при таком образе действий игрок А выиграет еще больше, а игрок В соответственно еще больше проиграет (3/8gt; 7з). Теперь, имея в виду полученный результат, можио предположить, что для игрока А стратегия 50 : 50 оказывается лучше «оптимальной», следовательно, что-то здесь ие в порядке. Дело просто заключается в том, что оптимальная стратегия для А была установлена независимо от ответных реакций игрока В.
Избрав стратегию 50:50, игрок А в среднем выиграет 3/в руб. только в том случае, если игрок В также будет последовательно проводить стратегию 50 : 50. Если же игрок В заметит, что его партнер почти в половине случаев обманывает его и только в половине случаев говорит правду, он, конечно, никогда не будет ему верить и всегда будет проверять, то есть действовать в соответствии со стратегией BII. Что же получится в результате? Игрок А выиграет только '/2 : 2 = '/* руб., в то время как игрок В потеряет только эти 25 коп. Впрочем, это же минимаксные стратегии! Дорисуйте мысленно в табл. 24 дополнительные строку и столбец, в которые запишите максимальные значения столбца (они появятся в дополнительной строке) и минимальные числа строки (они появятся в дополнительном столбце). Нет необходимости определять наибольшее значение минимума — обе величины равны нулю.
Что же касается наименьшего значения максимума, то оно равно '/г. Таким образом, минимаксная стратегия для игрока А состоит в том, что он поочередно избирает оба решения, а для игрока В — в том, что ои постоянно придерживается стратегии BII.
Тогда можно отметить, что игрок А никогда не может проиграть больше 0 (то есть не проигрывает ничего) и что игрок В никогда не может проиграть больше ‘/г РУб.
«Позвольте,— воскликнет читатель,— только что вы сказали, что при таком поведении игрок А выигрывает в среднем '/4 руб., а игрок В в среднем теряет именно такую сумму! Как же это объяснить?»
Теоретико-игровое положение о принципе минимакса отно- ится к минимально возможным потерям, которые могут возникать при самой неблагоприятной реакции партнера. При этом вовсе не говорится о том, что при продолжительной игре он ие может добиться значительно лучших результатов. Средний выигрыш в '/4 руб. А получает только в том случае, когда
он с одинаковой частотой использует свои оба возможных образа действий, а игрок В будет все время придерживаться стратегии BII (то есть больше не верить своему партнеру). Но н при этом игрок В может рассчитывать, что его потери не превысят '/4 руб., если только партнеры сыграют очень много игр. Само собой разумеется, когда игрок А поймет, что партнер ему все время не вернт (а кто же этого не заметит?), не будет же он настолько глуп, чтобы продолжать оперировать обеими стратегиями. Он превратится тогда в «честного человека» и будет изымать из имущества своего партнера за каждую игру по 50 коп. Не правда ли, «странная мораль у этой истории»!
Средний выигрыш в 'Д руб., который А получает, применяя стратегии AI и All попеременно с одинаковой частотой, если В играет, используя стратегию ВИ, мы уже отметили на рис. 23 (точка G2). На том же рисунке мы можем убедиться, что средний выигрыш для А составит 3/а руб., если оба игрока будут играть без разбора, то есть каждый из них будет с одинаковой частотой переходить от одной возможной стратегии к другой. В этом случае нам надо составить среднее арифметическое из чисел Gi и G2 : ('/2+‘/4) руб. : 2=3Д руб.
<< | >>
Источник: Науман Э. Принять решение — но как?. 1987

Еще по теме Решения с помощью теории игр:

  1. 14.1. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ИГР
  2. 14.8. РЕШЕНИЯ КОНКРЕТНЫХ ИГР
  3. 14.4. МИНИМАКС, СЕДЛОЭЫЕ ТОЧКИ И РЕШЕНИЯ ИГР
  4. 14.6. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ИГР С ПЛАТЕЖНОЙ МАТРИЦЕЙ 2 х п
  5. КОНСУЛЬТАЦИЯ  ПО  ВЫРАБОТКЕ  РЕШЕНИЙ: ПЕРЕФОРМУЛИРОВКА  ТЕОРИИ  ФАКТОРОВ
  6. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ: ИНТЕРВЬЮИРОВАНИЕ,  ПЯТИШАГОВАЯ  МОДЕЛЬ  СБОРА ДАННЫХ,  ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ
  7. N° 529 ТЕЛЕГРАММА ГРАЖДАН с. ВЫСОКОГО ЧИМКЕНТСКОГО УЕЗДА ТУРКЦИК О ЕДИНОДУШНОМ РЕШЕНИИ ОКАЗЫВАТЬ ПОМОЩЬ КРАСНОЙ АРМИИ 7 февраля 1920 і
  8. ГЛАВА 14 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ИГР
  9. Занятие 13.5 ПРОЕКТИРОВАНИЕ ДЕЛОВЫХ ИГР
  10. ПРАВИЛА РУССКИХ БИЛЬЯРДНЫХ ИГР
  11. 1. ПСИХОЛОГИЯ ОПАСНЫХ ИГР И ЛОВУШЕК.