<<
>>

Вычисление математического ожидания

Некто проводит свой отпуск в местечке с замечательным пляжем. Наш отпускник — страстный любитель купания, а потому каждый погожий день его можно встретить на пляже. Однажды у входа на пляж он прочел объявление о том, что по выходным вводится продажа льготных билетов, действующих только до пятницы очередной недели.

Если обычный билет стоит 10 коп., то льготный — 15 коп., но действителен на два дня. Отпускник останавливается и начинает размышлять, нет ли в этом для него каких-нибудь выгод. На первый взгляд к концу каждой недели он может сэкономить 5 коп. Однако при более внимательном размышлении отпускник начинает сомневаться. В конце концов все зависит от погоды. Что пользы в льготном билете, если оба дня будет идти дождь? Да и при одном дождливом дне в конце недели он уже теряет деньги, так как и без льготного билета может приобрести разовый билет всего за 10 коп. С другой стороны, можно пойти купаться и при средней погоде, вовсе не обязательно ждать палящего солица. А очень плохая погода, к счастью, бывает не слишком часто. В нерешительности отпускник возвращается домой, ие зная, покупать ли ему билет на выходные или нет.


Попробуем прийти ему на помощь!

Посоветуем сначала составить таблицу (табл. 18), в которой были бы представлены:

а)              возможные действия отпускника,

б)              возможные события,

в)              последствия решений отпускника.

Таблица 18

Решения, события и последствия при приобретении льготного билета clear="all" />

Событие

Решеиие

2 дня хорошая погода

1 день хорошая погода

Оба дня плохая погода

Купить билет на выходные дни

За два дня заплачено 15 коп.

15 кол. заплачено за i день

Напрасно потрачено 15 коп.

Не покупать билет на выходные дни

За 2 дня заплачено 20 коп.

10 коп. заплачено за I. день

Деньги не истр ачены

В таблице обе строки описывают возможные решения отпускника — покупать билет иа выходные дни или нет. В трех столбцах указаны три возможных состояния погоды (для простоты рассматриваем целые дни, хотя иногда с утра погода бывает совсем другой, чем после обеда). В шести клетках таблицы размещаются последствия решений, а именно денежные затраты (в левой нижней клетке стоит 20 коп., поскольку отпуск

ник, не имея льготного билета, должен на каждый из двух дней покупать разовый билет стоимостью 10 коп.). Наш отпускник уже и сам понял, что в отношении погоды надо сделать некоторые предположения, вероятностные предположения, чтобы вообще стало возможным принять обоснованное решение. Одной табл. 18 для поиска решения недостаточно. Примем сначала в качестве грубого приближения предположение о том, чlt;го каждый день солнечная и дождливая погоды равновероятны ^промежуточные случаи, такие, как «пасмурно», «прохладно, на суха* и т. д., не принимаются во внимание). Тогда мы имеем следующие вероятности для трех событий: деяь хорошая погода: 0,5 (вероятность 50 %), дня. хорошая погода: 0,5 • 0,5 = 0,25 (вероятность 25 %),

2: дня плохая погода:              (1,0 —0,5) • (1—0,5) =0,25 (вероят

ность 25 %). (то есть ни одного дия с хорошей погодой).

$Цри этом мы допустили, что погода какого-либо одного ди» не? зависит от погоды предшествующего дня.) Эти вероятности можно упорядоченно представить в- виде таблицы вероятностей (табл. 19), состоящей,, как к табл. 18, из двух строк (действия) и трех столбцов (события).

Теперь мы несколько преобразуем табл. 18, представив последствия возможных решений, а именно: вычислим для- сравнения выигрыш и потери для каждого из противоположных решений и- преетавим эти значения- в- соответствующих клетках.

ПЬяучнтся табл. 19 (верхняя часть).

Таблица f9

Вероятности для оценки состояния погоды

События

Решение

2 дня хорошая погода

1 день хорошая погода

Оба дня погода плохая

Покупать билет на выходные днн

0,25

0,50

0,25

Не покупать билет на выходные днн

0,25

0,50

0,25

Ниже приведены соответствующие обоснования для нее, где

ЛБ означает льготный билет:

клетка слева вверху:              15              коп              при              ЛБ;              20              коп.              — без              ЛБ

= выигрыш 5 коп

клетка слева внизу:              15              коп.              при              ЛБ,              20              коп              — без              ЛБ

=потери 5 коп

клетка посредине вверху              15              коп.              при              ЛБ;              10              коп.              — без              Л Б

= потери 5 коп.

клетка посредине внизу              15 коп прн              ЛБ;              10              коп. —              без              ЛБ

= выигрыш 5              коп.

клетка справа вверху              15 коп. при              ЛБ;              00              коп. —              без              ЛБ

= потерн 15              коп.

клетка справа внизу.              15 коп. при              ЛБ,              00              коп —              без              ЛБ

= выигрыш 15 коп.

В этом примере под выигрышем понимаются неистраченные деньги. Выигрыш обозначается знаком « + », потери — соответственно знаком «— gt;. Таблицу выигрышей              и потерь мы              можем

изобразить и несколько по-другому, а именно; сравнивая оба решения не между собой, а с некоторым наилучшим (оптимальным) решением (которое оказалось бы возможным, если бы погода на будущее была известна достоверно). При этом в таблицу заносятся только потери или нули (ннжняя часть табл. 20). Оптимальное поведение отмечено нулями (левая верхняя, средняя и правая нижние клетки)» Потери при этом отсутствуют. И все же в двух случаях наш отпускник (средняя клетка сверху и нижняя клетка слева) напрасно тратит 5 коп., а в одном случае (верхняя клетка справа) даже 15 коп.

Таблица 20

Выигрыши и потери прн решении задачи о покупке билета на пляж

События

Решение

2 дня хорошая погода

1 день хорошая погода

Оба дня плохая погода

Покупать билет на выходные дни

5 коп.

— 5 коп.

— 15 коп.

Не покупать билет на выходные дни

— 5 коп.

5 коп.

15 коп.

События

Решение

2 дня хорошая погода

1 день хорошая погода

Оба дня плохая погода

Покупать бнлет на выходные днн

0

-5

-15

Не покупать билет на выходные дни

-5

0

0

Пользуясь известным методом принятия решений, так называемым байесовским методом [18], можно объединить табл. 19 и 20. Двигаясь вначале вдоль строк верхней части табл. 20, образуем произведения совпадающих клеток и суммируем их.

Для обеих строк нашего примера получаем решение 1 : 0,25-5 + 0,50[*****] (— 5) +0,25- (— 15) = —5, решение 2 : 0,25 • (— 5) + 0,50 • 5 + 0,25 • 15 = +5.

О чем говорят эти результаты?

Поскольку выигрыш оценивается положительно, а потери — отрицательно, логично было бы отнести положительный результат (вообще больший) к лучшему решению. Следовательно, второе решение (билет на выходные дни не покупать) предпочтительнее по сравнению с альтернативным. К такому же результату мы можем прийти, и если рассмотрим средний выигрыш или средние потери. Приобретая билет на выходные дни с учетом вероятности наступления хорошей и плохой погоды, наш отпускник теряет в среднем (прн очень большом числе недель) по 5 коп. в неделю по сравнению с альтернативным решением. И наоборот, он экономит в среднем 5 коп. по сравнению с расходами владельца льготного билета.

Если же аналогичным образом обработать ннжние клетки табл. 19 и 20, получим следующие результаты:

решение 1 (покупать льготный билет): — 6,25, решение 2 (не покупать льготный билет): — 1,25.

Это означает средние потери 6,25 и соответственно 1,25 коп. по сравнению с идеальным поведением. Таким образом, и в этом случае результат сравнения говорит однозначно в пользу второго решения.

<< | >>
Источник: Науман Э. Принять решение — но как?. 1987

Еще по теме Вычисление математического ожидания:

  1. 14.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ИГРЫ; ЧИСТЫЕ И СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ
  2. Модель арифметических вычислений
  3. НАПРЯЖЕННОЕ ОЖИДАНИЕ
  4. Высказывания ожиданий
  5.    В ожидании врага
  6. В ОЖИДАНИИ НОВОГО НАПОЛЕОНА
  7. 1.2. Формирование и поддержание повышенных ожиданий
  8. Ожидание мертвецов и ритуальная инициация
  9. Математический аспект
  10. 17. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
  11. 10.2. Математический аппарат
  12. Р. Аллен. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИЯ, 1963
  13. 3. Математика - математическая наука
  14. ГЛАВА 11 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ