<<
>>

2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК МАСС ГОТОВЫХ ДОЗ НА ВЫХОДЕ ИЗ ДОЗАТОРА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ АЛГОРИТМОВ РАБОТЫ МГД

При комбинационном весовом методе дозирования возникают необходимость определения характеристик массы готовых доз на выходе из дозатора в зависимости от выбранного алгоритма. В связи с этим возникает задача нахождения функции распределения и плотности меньшего (в случае выбора наиболее точной дозы) или большего (в случае выбора дозы, приводящей к уменьшению отклонения средней массы оставшихся ячеек) по модулю из нескольких случайных величин.
Анализ литературы показал задачи нахождения закона распределения минимума (максимума) двух случайных величин, закона распределения минимальной (максимальной) из n-независимых с.в., а также модуля с.в. [14,48], но решение данного вопроса ранее не рассматривалось.

Таким образом, возникли задачи нахождения следующих величин:

плотность и функцию распределения меньшего по модулю из п - с.в.

плотность и функцию распределения для большего по модулю из п - с.в.

дисперсия меньшего по модулю из п - с.в.

дисперсия большего по модулю из п - с.в. 2.2.1. НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТИ МЕНЬШЕГО ПО МОДУЛЮ ИЗ N - СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Рассмотрим задачу выбора меньшего из чисел по модулю: Пусть XI и Х2 - независимые случайные величины и математическое ожидание величин М(Х1)=0 и М(Х2)=0.

Найдем распределение X, Fx (t) - Р(Х < t); По формуле полной вероятности[14]:

{x>t)=(x>t).{\x1\<\x$+{x>ty(\x}\>\x2\)= = {x,>tyi\x}\<\x2\ )+(x2>t).(\x}\>\x2\)

a) t>0

б) t<0 Рис. 2.3. Схема распределения меньшего по модулю из 2-х чисел.

В случае, когда t>0 (рис. 2.3, а) вероятность попадания с.в. в заштрихо-ванную область равна: P{X>t) = l- F, (0 - F2 (t) + Fj (t)F2 (0 + B{t)

ОО (~Х1 ^ 09 (~Х1 ^

dx2 =

B(t) = B} + В2 = J/jfo). \f2{x2)dx2 dx} + \f2{x2)- < V-®

00

= \fj(z)F2{-z)dz+ \f2(z)Fj(-z)dz t i

B2 = )f2 (z)F} (- z)dz = (- (z) = t t

CO

^(-z)/s(z)| -v\F2{z)f!{-z)dz =

= (- t)F2 (t) + ]/; (- z)/s (z)rfz = /

5 = J// {z)F2 (- z)dz + (z)F2 (- z Vz - F} (- f )F2 W -

f —00

1Ф*

индексы 1 и 2 - равноправны = > jf2(z)F}(-z)dz-F}(-t)F2(t) =

\z\>t

J/l Ы + f2 № (- ^ - fa (- '^2 W + ^ (0^2 (- 0)

VM*

|г|г/

=> P{x>t)=l-Fj(t)-F2(0 + Fjit)F2(t) + (0-|fa t)F2(t) + F}(t)F2(-0)

Вычислим функцию распределения X: При t>0: Fx(t) = P(Xt) =

= F} W + F2 (t) - F, {t)F2 (t) - ]/; (Z)F2 (- z)dz - )f2 (z)F, (- z)dz =

/ /

= F} (t) + F2 (t) - F, (0/s (/) - (г) + l(Fj (- (0 + Fs (t)F2 (- 0)

При t<0:

Fx(t) = P(Xt) =

00 cc

= F1 (0 + ^2 W " F} {t)F2 (- 0 - F, (- f)^ W " J// № (- ^ - j/,

-/ -f

= F, (0 + F2(t) + F1 (t)F2(t) - В0(-t)-L(F,(- f)^ W + F, (" 0)

Найдем функцию плотности распределения X: При t>0:

ал

= /, (0 + /2 W - // № W - ^ W/2 (0 + /; (t)F2 (" 0 + /2 (t)F} (- /) = - f, (t) + f2 W - // № W - F2 (- /)) - f2 Ш (/) - F; (- /)) При t<0:

= fi W + fi (0 + // (t)F2 (/) + F} {t)f2 (t) - /, (t)F2 (- r) + F,«/> (- /) +

+ L (" t)F2 (0 - Fj (- t)f2 (t) - f} (- t)F2 (t) - f2 (- t)F, (0

= //(0 + /2 (')-/;Ш(- 0 ~ F2(r))- /2(- 0- Fj (/))

fi кf2- симметричные =>симметричная, это следует из (2.3) и (2.4), fx(-0 = fx(t)-

Считая, что fj и /^симметричные, рассмотрим: 2В0= \{Л (X)F2 (- х) + f2 (x)F; (- x))dx =

| x>t

|Л>/

J0> W+/2 W^/ =

f00 ^

\(FI'F2+F!F2')dx= \{F,F2)dx = \ \ + J =

|Л-|>/ |Д-|>< V-QO i у

Учитывая /) = 1 -Ft(г) и F2(-t)=l-F2(/), получим

2BQ=l-FlF3+{l-FlXl-F2) = 2-Ft-F2

0 2 При t>0:

Согласно (2.1) получим:

FX^=F1 + F2 ~F1F2-i(2-Fl-^b-rfc + i'-Fih)

-Fl + F2~F1F2 ~1 + + jfo + F2 ~2F1F2)= = 2{Fi+F2-FiF2)-1

При t<0:

Согласно (2.2) получим: Fx(t) = 2F1(t)F2(t)

Для плотности/^/) можно записать:

fx (/)=f,(fh л (0 - л (Ofc М- ъ Й- «О)- /MF, М- F, ц- г|))

fj(t) vifjft) - симметричны: Приx>0:

Согласно (2.1) получим:

fx(t)=fi +fi~ №2 ~ * + F2) ~ f2(Pi ~ * + Fj) =

= 2(f!+f2- f}F2-f2F!) = 2{{l-F2)f, +(1-Fl )f2 ): = 2{F2{~t)f!(t)+F!{-t)f2{t))

При x<0:

Согласно (2.2) получим:

(2.8)

fx{thfj+f2-fi(l-F2-F2)-f2(l-F!-Fl) = = 2(fIF2 + f2F,) = 2(fs (t)F2 (t) 4- /2 (/)F, (f)) = = 2(F2 (0/; (- /) + F} (t)f2 (- /)) = fx (-1) Рассмотрим случай f2=fi~f

fx (о=- У(гХИкО - И)))=vM - 41)+1 - НИ))

В случае симметричности:

(2.9)

fx (0 = 2Ml ~ 41) + / - F(\,\))= 4/Щ! - F

f(x) FM 1 - 2 t

Рис. 2.4. Функция распределения F(x) и плотность f(x) равномерно распределенной случайной величины.

Согласно (2.9), для меньшего по модулю из двух случайных величин получим:

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0 5 1 1.S 2 f

Рис. 2.5. Функция распределения F(x) и плотность/ЭД меньшего из 2-х равномерно распределенных случайных величин.

Найдем характеристики распределения минимального значения по модулю более чем из двух чисел. Обозначим G}{fI,f2)~ fx плотность меньшего значения по модулю из 2-х чисел. X{f) = ^if^fz) - В таком случае A(A,(f)) является плотностью распределения меньшего по модулю из 4-х. Пусть f(t) - равномерная плотность на участке (-1, 1); t>0

= + у ~2(l-t){l-2t + i2)=2{l-ty, te(0,l)

.... 2.5 -

-2 -1.5 -1 -D.5 0 0.5 1 1.5 2 }

Рис. 2.6. Функция распределения F(x) и плотностьменьшего из 4-х равномерно распределенных случайных величин.

Вычислим h = ?u{f,co(f,f)) при равномерной плотности f Пусть g = 6){f, f) = l — \t\, t e(~ 1,1)

Поскольку функция симметричная, достаточно рассмотреть промежуток (0,1). Согласно (2.7) имеем: — + 2

1-

h = 2{(l-G)f + (l-F)g) = 2

t + 1

1 tJ

— + t

2 2

Имеем/- равномерная плотность, t>0 *(f) = c>(fj)=l-t = -2(l-t)

X(f) = 2{l-if

Явно прослеживается зависимость:

(2.10)

f{t) = ^{l-ty~I,n>0,t>0 Это формула плотности распределения меньшего по модулю из п - равномерно

распределенных случайных величин.

Доказательство:

Пустьf„ — плотность распределения. Найдем ее площадь на отрезке (-1, 1). 1_ 2

\fn{t)dt = -^(l-tr Функция симметрична => ее площадь на отрезке (-1, 1) равна 1. Функция распределения: 2 2

О

= /- — (7-/)", / п>0 (2.11) Теперь рассмотрим противоположную задачу. 2.2.2. НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТИ БОЛЬШЕГО ПО МОДУЛЮ ИЗ N- СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Подобным образом:

(Y \X2\)+(X < t) ¦ 1 > IX21) + (X2 < t) ¦ I < \X21) a) t>0 6) t<0

Рис.

2.7. Схема распределения большего по модулю из 2-х чисел.

Функция распределения Y При t>0:

(2.12)

Fy(th F,(t)F2(t)+B(t) При t<0:

Fy (/) - Fy (" t) - Fj(- t)F2(-1) + F,(t)F2 (/)- F!{t)F2(- /)- F,(- t)F2{t) = F; (t)F2 (- /) + F} (- t)F2 (t) - Ft [t)F2 (r) + B(-1)

Рассмотрим симметричный случай t>0 Bit) = B0 (t) - j (Fj (- t)F2 (t) + F} (t)F2 (-1)) =

=^ - +^(0) - - - (0)=

= l-F!{t)-F2(t)+F1{t)F2{t)

F^F^F^+l-F^-F^+F^F^ (2.14)

= l + 2F,{t)F2(t)-Fl{t)-F2(t)

Пусть f2=fs = f и F, = F2 = F, тогда плотность и функция распределения будут: fy(f) = 4F{t)f{t)-2f{f)=2f{t\2F{tyi) (2.15)

Fy(t)=l + 2F2(f)-2F(i) (2.16)

Рассмотрим частный случай выбора большего по модулю из двух случайных чисел, распределенных по равномерному закону.

15 fM FM 1 -;

Рис. 2.8. Функция распределения F(x) и плотность f(x) равномерно распределенной случайной величины.

Согласно формулам (2.15) и (2.16), для большего по модулю из двух случайных величин получим:

f

2-Г-'Гх

х + 1 1

Рис. 2.9. Функция распределения F(x) и плотность/fo) большего из 2-х равномерно распределенных случайных величин.

Для 4-х случайных величин распределенных по равномерному закону согласно (15) и (16) получим:

f(x) = 2x^2 1)~ 1 j = 2x3

Рис. 2.10. Функция распределения F(x) и плотность f(x) большего из 4-х равномерно распределенных случайных величин.

Аналогичным выбору меньшего числа по модулю образом, находим плотность и распределение для большего по модулю: ВЫЧИСЛИМ h = ?»(/,(У(/,/)) Пусть g = oj(f, f)

Для выбора большего по модулю из двух величин, распределенных по разным законам, согласно (2.15), ( 2.16), получим: t + 1 t2+I t + 1 t2+l , ts + l

¦ - + ] = ~

2 2 2 2 2

Fy{t) = l + 2Fl{t)F2{t)-F,{t)-F2{t) = 2.

Рассмотрев значения функции распределения и плотности для 2-х, 3-х, 4-х рав-номерно распределенных значений легко увидеть зависимость: /„(')= где и >0, t > 0.

(2.17)

(2.18) 2.2.3. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТИ ДЛЯ МЕНЬШЕГО ПО МОДУЛЮ ДЛЯ СИММЕТРИЧНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ С.В.

Нахождение плотности распределения для различного кол-ва симметрично распределенных случайных величин в общем виде: По формуле (2.9) имеем:

Докажем, что при t / +1, Fy (?) Fy (t +l). Для этого найдем функцию распределения Fn(f): = L n-r-> ){1 - F(. 0 = l-2n~l{l-F{t))n

ml-n.2-'.i(l-F(,)y

n Заменим «наn + 1

F„At)=4fMf(t)hW-F(t))-fA'h{i-fA'm)h

= 2(1 - F(f)y ¦ 2'->f{l - Fit)? + 2n~'(l - F(t))"f{t)]= = 2"(1- F(t)T(n ¦ /« + /«) = (« + i)2"f(l-F(t)f

Общий вид плотности и функции распределения меньшего по модулю из п одинаково распределенных симметричных с.в.:

fy (f) = и • /(ф - F(/))e-', где R > 0 ,t > 0. (2.19)

Fn {t) = l- 2п~! (1 - F(t))n, где п > 0 ,t > 0. (2.20)

2.2.4. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПЛОТНОСТИ ДЛЯ БОЛЬШЕГО ПО МОДУЛЮ ДЛЯ СИММЕТРИЧНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ С.В.

Нахождение плотности распределения для различного кол-ва симметрично распределенных случайных величин в общем виде: По формуле (2.15) имеем: для 2 чисел: fy(t) = 2f{2F - l),

для 3 чисел: /у {t)=3f{2F - if,

для 4 чисел: / (г1) = 4f(2F - if и т.д.

Прослеживается зависимость f (/)=«• f{2F — .

Общий вид плотности большего по модулю из п одинаково распределенных симметричных с.в.:

fy(t) = n- f{t){2F(t) -/)"-' п > 0, t>0. (2.21)

^(/) = ,где л>О,*>0. (2.22)

Вычисление дисперсии сг| для нормального закона с параметрами (0, 1) --г /2

/(0= оо со fas

dx =

= 2fx -4f(x\l-F{x))dx = 8|.г-2/Ц \f(y)dy

о 0 \x ,

х'+у1

= 8\\x2f{x)f{y)dxdy = 8\\x2~e~ 2 dxdy = n

Q = — JjV cos2 (p • e drdy = — [cos2 tpdy ¦ \e~r/2r drdy =

2n

JL

2k

2я ± 0J

\/4 J

fn/

с l + cos2(p

I

d(p

Л/

\/4

)r2d[-e~r2/2) 1 (7t Л

\4 2 j

Г 2 , ЦП 1 . ,

cos way ~ 1- — sin 2(p

j ^042 = 2

)r2d[-e-r2/2)^-r2e~r2/2^ +)e~r!/2dr2 =-2e~r2/2 cj2 =

> ±M!L-L).2^-2)

2ж 2\4 2) л Отсюда следует, что дисперсия уменьшается в 3 раза при выборе меньшего по модулю из двух с.в. распределенных нормально с параметрами (0, 1).

2.2.5. НАХОЖДЕНИЕ ДИСПЕРСИИ МЕНЬШЕГО ПО МОДУЛЮ ИЗ N СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО ОГРАНИЧЕННОМУ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ В ПРЕДЕЛАХ (-?,?)

Пусть X ~ N(0,1), рассмотрим ограничение ее на (-s,s), т.е. с.в. У

0,t <-? l,t>S

0(t)~0(e) '

Плотность У существенна для 1/1 1 -~t2/2

fy{t)~ 2Ф(е)-Г2Ф(е)-1 V^T Дисперсия выражается через функцию Лапласа: Иl У ^У1

Вычислим G22 (n=2) для меньшего по модулю из двух с.в. С &

(2.24)

a2 =2\t24f(t){l~F(t))dt^8 \t2f{t)dt-ft2f(t)F{t)dt

о \o о

где f = fy9 F=Fy

e 1

Первый интеграл в выражении (2.24) ft2f{t)dt — —(Т2{у)

о ^

Второй интеграл

dt

)t2 f(t)F(t)dt = ^j/V-f )e-°2/2d6\dt = ^)t2e^/2( )e'&2/2de\ 0

t-f CC f 1

Примем К = —, g(f)= \e~° nd9, тогда 2л - J

-?

)t2f(t)F(t)dt = K\t2e-t2/2g(t)dt = K\t ¦ g(t}i{- о f

\

f

= K

n »

0

\

dt = a

¦J 2 7i

О 0 \-? ) о *

ОС

Учитывая .— g(g)=F (f), получим

42п

4К )e~'2/2t ¦ g(t)dt - )e~t2/2t • e'l2/2dt =j V = - je"* [ = |(/ - ^)

j Л

о

-е /2

2 ее

-е2/2 ^

ее

7-е

1-

~ 8

2Ф(е)~ 1) 4bz(2-? / 2

\ * ' / -е2/2

7-е"

ее

ее

1 ее

¦ +

= 8

5 2<2>(*)-/ 42ж{2Ф(б)-1) 4ж(2Ф(е)- if

Проверка: при е Что соответствует значению, полученному в (2.23)

<< | >>
Источник: Смирнов Карим Асенович. Разработка алгоритмов управления мехатронными дозаторами [Электронный ресурс]: Дис. ... канд. техн. наук: 05.02.05. - СПб.: РГБ,2006. - (Из фондов Российской Государственной Библиотеки).. 2006

Еще по теме 2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК МАСС ГОТОВЫХ ДОЗ НА ВЫХОДЕ ИЗ ДОЗАТОРА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ АЛГОРИТМОВ РАБОТЫ МГД:

  1. ВВЕДЕНИЕ.
  2. 1.1. АНАЛИЗ ПРОИЗВОДИМОГО ОБОРУДОВАНИЯ
  3. 1.3. АНАЛИЗ РАБОТ, ПОСВЯЩЕННЫХ РАЗРАБОТКЕ СИСТЕМУПРАВЛЕНИЯ МГД
  4. 1.5. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ
  5. 2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК МАСС ГОТОВЫХ ДОЗ НА ВЫХОДЕ ИЗ ДОЗАТОРА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ АЛГОРИТМОВ РАБОТЫ МГД
  6. 3.1. НАЗНАЧЕНИЕ И ОГРАНИЧЕНИЯ МОДЕЛИ МГД.
  7. 3.2. РАЗРАБОТКА СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ.
  8. 3.3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ И ФУНКЦИИ МОДЕЛИ МГД.
  9. 3.4. ПРОВЕРКА ДОСТОВЕРНОСТИ РАБОТЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИМГД
  10. 3.5. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЮЩИХ АЛГОРИТМОВ МГД, НА БАЗЕКОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ.
  11. 4.1. РАЗРАБОТКА МНОГОПОТОЧНОГО АЛГОРИТМА РАБОТЫ МУЛЬТИГОЛОВОЧНОГО ДОЗАТОРА
  12. 4.4. ПРОВЕРКА СНИЖЕНИЯ ЧАСТОТЫ ТУПИКОВЫХ СИТУАЦИЙ ВМНОГОПОТОЧНОЙ МОДЕЛИ
  13. 5.2. УСЛОВИЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
  14. 2.2.4.3 Методика определения йода в готовых хлебобулочных изделиях
  15. 1.1. Реформирование школы после Октябрьской революции
  16. Современные проблемы идентификации одаренных учеников в американской школе П. А. Тадеев (Киев, Украина)
  17. Изготовление металлических предметов
- Машиностроение и материалообработка - Автоматизация производства - Металлургия и обработка металлов - Метрология, стандартизация, сертификация - Механика - Нанотехнологии - Общая технология и теоретические основы пищевых производств - Пищевая промышленность - Процессы и машины агроинженерных систем - Теория решения изобретательских задач - Технология машиностроения - Технология обработки, хранения и переработки плодоовощной продукции - Технология продовольственных продуктов - Химия - Энергетика -
- Абитуриентам и школьникам - Бизнес-литература - География - Гуманитарные дисциплины - Для школьников и абитуриентов - Журналистика и СМИ - Исторические науки и археология - Конфликтология - Культурология - Литература по недвижимости - Медицинская литература - Менеджмент и маркетинг - Политология - Право - Психология и педагогика - Публицистика - Студентам и аспирантам - Технические науки - Физика - Физическая культура и спорт - Философские науки - Философы - Экология и природопользование - Экономика - Языки и языкознание -