Теория ошибок и ошибки теории А.Т.Фоменко

0.1. «Новая хронология» очень напоминает колосс на глиняных ногах. Как уверяют авторы, ее шокирующие выводы базируются на мощном фундаменте современных математических методов.

0.2. Однако, читатели склонны верить математике. Да, да - не разбираться, а именно верить математике, даже если ее выводы заведомо абсурдны. На этом основано множество школьных парадоксов, которые легко вам докажут, что дважды два пять, и что белое - это черное. И тем не менее, при выборе между невероятными, но математически обоснованными утверждениями и результатами, ( удящими о той же проблеме, но категориями гуманитарных наук, большинство читателей, скорее всего, предпочтет математику.

В основе этого - предубеждение о некоей заведомой «точности» математических методов, более предпочтительной, чем любое гуманитарное знание. При этом забывают, что у любого «точного» метода обязаны быть границы применимости, в которых он эффективно работает, а главное - ошибки, без которых не обходится эта работа, если только речь идет о реальных, а не абстрактных данных. Без оценки этих ошибок применение любого «точного» метода просто лишено смысла. Гуманитарные же результаты, собранные из системы рассуждений, основанных на сотнях разнообразных источников, многократно проверенные их внутренними и внешними связями, десятками специфических методов, которые входят в инструментарий профессионального ученого-гуманита- рпи - эти результаты часто оказываются намного точнее многих математических схем.

Названные азбучные истины, однако, как будто еще внове для (издателей «новой хронологии». Напрасно мы будем искать в их

статистических процедурах что-нибудь похожее на вычисление доверительного интервала или оценку средней ошибки, хотя многие книги АТФ носят гриф «научное издание» и, как указывает их аннотация, посвящены «новым направлениям в современной прикладной статистике». Тем не менее, открыв их, мы видим картину грубейшего забвения элементарной культуры математических расчетов, и с некоторыми примерами познакомим ниже читателя.

0.3. Заговорив об ошибках, мы должны пролить свет на еще одно распространенное предубеждение. Сторонники «новой хронологии» утверждают, что вся существующая историческая наука основана на ошибках и искажениях, которые историки, по собственному скудоумию, принимали за настоящие исторические события. Так было до тех пор, пока не появился АТФ со своими «точными» и «современными» методами, который и навел, наконец, в истории порядок. Доводя эту позицию до логического конца, как делают некоторые СМИ, любой математик a priori умнее любого историка, поскольку владеет точными методами и может исправить все ошибки последнего.

Все это, конечно, не так. Если бы историки с самого начала не задумались о собственных ошибках, они не были бы историками. Параллельно с развитием позитивных исторических знаний развивались и совершенствались критические методы их получения. Очень скоро историки научились систематизировать свои ошибки, выделять этапы их появления, как например, первичная и вторичная субъективация исторического факта. В первом случае это связано с рождением источника, в котором, например, средневековый хронист может допустить случайную ошибку в датировке события. Во втором - это уже ошибки историографа, вводящего факт в историческую науку и искажающего сообщения, содержащиеся в источнике. Интересно, что эта историческая классификация отчасти похожа на общепринятую в естественных науках, делящую ошибки на случайные (первичные) и систематические, т.

Лишь подробный и полный анализ ошибок с помощью критических методов позволяет восстановить и приблизиться к пониманию исторического факта, чем и занимаются ученые-историки. Поэтому рассуждения о том, что только математики с их «новыми методами» (а значит, заметим в скобках, привнесенными извне и не апробированными) могут найти ошибки в истории, являются весьма наивными. Но любопытно другое: сами авторы «новой хронологии» во главе с АТФ, создавая книги по истории и стано вясь, тем самым, на «скользкую дорожку» гуманитарного знания, повторяют все те же известные из теории ошибки - и систематические, и случайные.

0. 4. И последнее замечание, так сказать, психологического свойства. АТФ полагает, что совершил с помощью математики потрясающее открытие, величайший переворот в истории. Надо отдать должное, он умеет передать эту уверенность читателям, которые, тем самым, чувствуют сопричастность к этому перевороту, ощущают себя на передовом рубеже науки. Но отдает ли себе отчет АТФ в том, что его математические построения содержат некорректные утверждения и ошибки? Способен ли он здраво в них разобраться? Или, может быть, для него результат затмевает необходимость обоснования способов, которыми он к нему пришел? Может быть, цель оправдывает средства, и академик ради великого открытия готов закрывать глаза на «маленькие слабости» его расчетов? А, вдруг эти слабости вовсе и не маленькие, а целиком разрушают фундамент возведенного на них воздушного замка? Способен ли это понять наш автор, чтобы перейти к «работе над ошибками» и вернуться из области фантазий на поле науки?

У нас нет однозначных ответов на эти вопросы. В данной статье мы, находясь целиком в поле науки, а не фантазий, а еще точнее, не выходя из области математческой статистики, сосредотачиваемся на ошибках «новой хронологии», чтобы помочь читателям, а, может быть и АТФ, начать исправление этих ошибок. В первой части статьи мы кратко очертим основной круг понятий и методов, с которыми работает классическая статистика, и сопоставим их с «новой статистидеской методикой», предложенной АТФ.

1. Вначале мы напомним читателям об основных понятиях математической статистики. Статистические методы позволяют обобщить точную информацию о каждом отдельном элементе из некоего множества, называемого генеральной совокупностью, до їв‘скольких общих показателей, характеризующих генеральную совокупность в целом (типичный пример из физики: газ - генеральная совокупность, молекулы - ее элементы, давление, плотность, температура - обобщенные показатели). На практике часто возникает обратная задача: известны именно обобощенные показатели, и по ним необходимо сделать заключение об индивидуальных свойствах выбранного элемента генеральной совокупности (например, по давлению и плотности газа оценить скорость одной его молекулы). Таким образом, суть статистики - в умении преобразовывать информацию о генеральной совокупности «в обе стороны»: - от индивидуальных свойств к общим и наоборот, от общих к индивидуальным.

Однако в последнем случае правильный результат можно получить лишь с определенно** долей вероятности. Поясним на том же примере - статистическая оценка для скорости произвольно выбранной молекулы газа в большинстве случаев будет довольно точной, но иногда - неудовлетворительной, т. к. настоящая скорость этой молекулы окажется во несколько раз больше предсказанной Говоря точнее, каждое предсказание содержит ошибку по сравнению с реальным значением, и, хотя чаще всего эта ошибка будет малой, случаи больших ошибок также неизбежно встречаются.

2. Типичной статистической гипотезой, нуждающейся в такой вероятностной проверке, является гипотеза о взаимосвязи двух признаков, измеренных и представленных в виде вариационных или динамических рядов х. и у.1. Простейшим статистическим методом, который проверяет такую взаимосвязь, является вычисление коэфффициента линейной корреляции.

г = ZK - xcP)bgt;?-у ср.) / РК - хсРУ ъ(у,~ у срУУ'1 i1)

Остановимся подробнее на его свойствах, чтобы лучше уяснить себе процедуру проверки статистической гипотезы. Число г, вычисленное по формуле (1) из исходных рядов X и у., находится в пределах от -1 до 1. Несложно доказать, что г принимает свои граничные значения -1 и 1 только в случае, когда между рядами существует строгая линейная зависимость вида х. = kу., к Ф 0. В любом другом случае его значение по модулю меньше 1, а минимальное абсолютное значение, т. е. О, достигается тогда, когда отклонения рядов от их средних значений никак не скоррелированы друг с другом (и тогда сумма их произведений в числителе (1) равна 0). Г. о., нулевое значение г соответствует полной статистической независимости признаков, описывамых данными рядами.

Все эти свойства являются общими для большинства статистических коэффициентов. Однако возникает характерная проблема - коээффициент г, вычисленный на реальных данных, практически никогда не достигает своих предельных по модулю значений 0 или 1, а находится где-то между ними. Как определить тогда, зависимы или нет признаки? Ответ, однако, существует, хотя и носит, как вы наверное догадались, вероятностный характер. Будем рассуждать так: если | г| близок, но не равен 1, то утверждать, что между признаками есть точная линейная зависимость нельзя, но можно думать, что эта зависимость неточная, т.

Итак, близкое к 1 значение | г | также свидетельствует о сущест- новании линейной связи признаков. Но при этом гипотеза уже иыполняется не со стопроцентной вероятностью - нельзя сбрасы- иать со счетов и редкое сочетание независимых значений признаков, которое может привести к такому же значению | г|. Поэтому, правильнее говорить, что при коэффициентах корреляции, близких по модулю к единице, гипотеза о взаимосвязи признаков верна с вероятностью, также близкой к единице (в каждом конкретном случае эта вероятность вычисляется отдельно).

Аналогичное рассуждение показывает, что при малых | г | гипотеза о взамосвязи выполняется с малой вероятностью, т. е. скорее всего, признаки независимы. Действительно, хотя малый коэффициент корреляции может соответствовать значениям зависимых признаков, но тогда исходная линейная связь должна очень сильно исказиться под действием случайных факторов, что маловероятно.

Где же граница, отделяющая область значений коэффициента корреляции, свидетельствующих о зависимости признаков, от области, где признаки независимы? Обратим внимание, что в такой постановке вопрос не совсем корректен. При любых его значениях, кроме предельных, существуют обе возможности, которые просто реализуются с разными вероятностями. Поэтому, статистически і рамотно сначала выбрать некоторую вероятность Р (например, 0,95-95 случаев из 100), с которой, как мы хотели бы, выполнялась гипотеза о зависимости признаков, и затем определить, какие коэффициенты корреляции этому соответствуют.

Оценка, которую здесь предлагает статистика, такова2:

I г I gt; t/ д/й1              (2)

где п - число членов рядов х. и ур а число t зависит от Р, и вычисляется с помощью т. и. интеграла вероятности. Так, например, для Р = 0,5 - t = 0,6, а для Р = 0,95 - t = 2.

Правая часть в формуле (2) определяет уровень значимости коэффициента линейной корреляции. Если вычисленное по экспериментальным данным значение больше, чем этот уровень, то гипотеза о взаимосвязи признаков верна с заданной вероятностью Р.

3. Понятие об уровне значимости является одним из самых фундаментальных в статистике. Именно с этим понятием связана возможность как-то интерпретировать полученные результаты. Без вычисления уровня значимости число, посчитанное, например, как коэффициент корреляции, так и остается просто числом, ничего никому не говорящим. Представьте себе, что мы взяли два ряда, вычислили коээффициент по формуле (1) и получили ответ «г = 0,6». О чем это свидительствует? - Пока еще, ни о чем! Только если теперь мы зададимся некоторой желательной для нас вероятностью, с которой взаимосвязь должна существовать, а затем вычислим по формуле (2) уровень значимости, только тогда мы можем сделать вывод - да, взаимосвязь признаков есть, или нет, с такой вероятностью о ее существовании говорить нельзя.

Только корректная интерпретация результатов вычислений придает математическим процедурам научный вес и смысл.

4. Описанные выше процедуры уже давно были освоены историками. Уже около 30 лет в исторической науке существует самостоятельный раздел, озаглавленный «Количественные методы в исторических исследованиях» (или, более красиво, - «клиометрика»)3. Сегодня этот раздел обогащается применением современных компьютерных технологий.

Регулярно собираются международные и отечественные конференции с сотнями участников, выходят их труды. На историческом факультете МГУ действует ядро ассоциации «История и компьютер», объединяющей историков на всей территории бывшего СССР, которая сама, в свою очередь, входит в обширное международное сообщество историков-клиометристов4.

Немаловажно сказать, что результаты применения количественных методов органически входят и признаны исторической наукой в целом. Труды «первопроходцев», как, например, академиков И.Д.Ковальченко и Л.В.Милова в аграрной истории, уже давно сделались классическими0. И это стало возможно именно потому, что историки значительную часть времени и сил потратили как раз не на вычисления, а на задачу - правильно интерпретировать и понять полученные результаты, обосновать их достоверность и научную значимость.

В таких условиях говорить о непреодолимом рубеже между историками и математиками, о том, что только АТФ привнес принципиально новые, точные методы в историю и т. д. - по меньшей мере, глупо. Напротив, как мы сейчас убедимся, методы АТФ существуют глубоко на задворках магистральных направлений исследований клиометристов. Эти методы не менее маргинальны, чем их результаты. Главная причина, на наш взгляд - в полном пре- небреженим, которое АТФ выказывает проблеме интерпретации.

5. Прежде чем перейти к изложению схемы «новых статистических» методов АТФ, сделаем еще одно замечание. Читатель его трудов оказывается в забавном положении. Он, может быть, и хотел бы проверить самостоятельно результаты АТФ, да не может этого сделать - поскольку, как говорится почти в каждой его книге, все здесь изложенное «строго математчески доказано» - но в других работах. Выпуская все новые издания со скоростью пулемета (только за время написания этой статьи - март-апрель 2000 г. - автор заметил на прилавках две новых книги АТФ), наш академик ограничивается небольшими параграфами «по поводу» своих методов, где есть какие*го правдоподобные рассуждения, но нет главного - как именно все это было получено.

Тщетно можно пролистывать книги АТФ в поисках хотя бы одной точной формулы. Результаты наших поисков таковы - математические процедуры АТФ изложены более или менее полно (но все равно, без единой формулы!) в единственной монографии, вышедшей тремя изданиями6. И при том, в этих книгах, имеющих гриф «научное издание», вместо четкой схемы вычислений запуганным и малопонятным широкому читателю языком излагается «исследовательская кухня» метода, ни на шаг не приближающая к ('го сути, а за всеми конкретными деталями читателя отсылают к практически недоступным специальным сборникам.

И тем не менее, потратив некоторые усилия, в методике АТФ можно разобраться. Как оказывается, она не имеет связи с общепринятыми статистическими процедурами, т.е. действительно, является «новой». Тем важнее для нее - доказать корректность, точность, сопоставимость с другими признанными методиками, наконец, однозначность интерпретации - т. е. все проблемы, которые полностью отсутствуют в «научных» книгах АТФ.

6. Мы разбираем далее т. н. «метод локальных максимумов», призванный сравнить два текста с хронологическим изложением событий по годам (летописи, хроники и т. д.) и установиться зависимость текстов друг от друга.

Суть метода сравнения текстов по АТФ кратко сводится к слё- дующему. Вначале, по погодной сетке для каждого текста строится график «содержания информации». В нем каждому значению года соответствует «объем исторической памяти» о нем. Эта память измеряется АТФ в количестве страниц (!), соответствующих этому году (т. е. зависит от издания книги и шрифта?!), или в количестве слов погодной записи (зависит от языка?!), собственных имен, букв и т. д. По его мнению (без какого-либо обсуждения) все это приводит к одному и тому же графику. Создается впечатление, что до АТФ вообще не существовало никаких методик анализов текстов, контент-анализа, например, где когда-нибудь обсуждались эти проблемы. Все это лишний раз говорит об низком уровне его статистической культуры. Степень «точности» таких измерений информации у АТФ мы еще увидим ниже.

На втором шаге, из графика выбираются точки «максимумов информации». Причем, каким требованиям должны удовлетворять эти «максимумы» (для которых берутся далеко не все вершины графика), также неясно. Еще более любопытно другое требование - максимум всегда достигается в одной точке (т. е. в конкретном году), таким образом, два или более года, с одинаковой подробностью описанных в источнике, по мнению АТФ встречаться не могут или должны быть заменены одним. Более того, чтобы избавиться от случайных максимумов АТФ предлагает применять сглаживание (усреднение информации по соседним точкам), которое также может сдвигать положение максимума. Ясно, что здесь открывается значительная свобода датировать максимум «плюс- минус» несколько лет, что само по себе незначительно, но для последующих вычислений играет большую роль, т. к. они окажутся сверхчувствительны к таким изменениям.

Наконец, две хроники могут сравниваться, только если у них одинаковое число максимумов на временном отрезке одинаковой длины. Это обстоятельство (равенство числа максимумов и совпадение длин сравниваемых хроник) очень важно для последующих вычислений. В противном случае из хроник выбираются части одинаковой длины, а если максимумов у одной из них не хватает, то недостающие воображаются слившимися с уже имеющимися.

Эта процедура выбора «слившихся максимумов», предложенная АТФ исключительно из требований своего вычислительного метода и не имеющая никакого смысла в истории, также является неоднозначной, а при этом сильно влияет на ход расчетов.

Таким образом, на выходе из каждого текста (хроники) мы получаем последовательность лет, о которых сохранился максимум информации, например на 450-летнем отрезке - выделяется 14 таких дат. Тут же от этого набора максимумов АТФ переходит к числовому ряду, где каждое число - длина (в годах) промежутка времени между соседними максимумами. В нашем примере 14 максимумов делят временной отрезок на 15 интервалов, т. е. в итоговом ряду х., соответствующем этой хронике - 15 чисел.

Если итоговые ряды у двух хроник «совпадают» (как это вычисляется - чуть ниже), то АТФ считает, что хроники на самом деле описывают один и тот же отрезок истории, являясь его «дубликатами» в разных эпохах. Один из доказанных таким образом базовых результатов «новой хронологии» - это совпадение максимумов хроник древнеримской «Истории» Тита Ливия и средневековой римской «Истории» Ф.Грегоровиуса, что влечет за собой утверждение о том, что античный и средневековый Рим - тождественные эпохи, ошибочно «сдвинутые» хронологами. Мы заметим только логическую слабость этих выводов, которые уже не имеют отношения к математической статистике. Ведь история - это не только последовательность дат, чем академик легко пренебрегает.

Представленный метод полностью игнорирует сравнение содержательной стороны событий, т.е., грубо говоря, «если кости похожи, то и рыбы одинаковы». Но мы не будем спорить по этому поводу: для нас гораздо важнее показать беспомощность именно математической схемы АТФ.

7. Финальная статистическая задача в расматриваемом методе - определить, являются ли построенные из двух хроник числовые ряды х и у. зависимыми. Задача вполне стандартная и, как уже говорилось, статистика хорошо изучила множество способов ее решения. Почему, например, не использовать все тот же коэффициент корреляции? Но АТФ предлагает свой собственный способ, который подчинен двум ограничениям, на искусственность которых мы указывали ранее: а) равенство количества членов в рядах х и у (для п максимумов это количество равно (я+1)) и 6) равенство полных длин хроник, которое можно записать как

(3)

(поскольку х. и у. - это длины отрезков, на которые максимумы делят соответствующие хроники, то сумма этих длин равна полной длине хроник, которую мы обозначили а).

Именно два приведенных условия позволяют АТФ применить далее нестандартный для статистики прием при вычислении своего коэффициента: рассматривать ряды х и у как наборы координат двух точек X и Y в (тг+1)-мерном пространстве. Это многомерное пространство строится по тем же законам, что и обычное, трехмерное, только вместо трех координат у каждой точки - ровно (тг+1) координат. Евклидово расстояние между точками здесь также вводится обычным способом, похожим на обычное пространство:

Р(Х, 10 -((*,-Л)г +.(*,-л)!+ •-¦(*„,-JU )У'              lt;*)

Умея вычислять расстояние (4) между любыми точками, мы сможем сказать, какие точки находятся ближе, а какие дальше от некоторой выбранной нами. На этом и построен коэффициент, измеряющий зависимость хроник. АТФ предлагает вначале рассмотреть множество всех «виртуальных» хроник данной длины, т. е. всех рядов, удовлетворяющих условию (3) с учетом того, что по его построению х - неотрицательные целые числа. Затем, выбрав из этого множества точку X, соответствующую одной из исследуемых хроник, подсчитать, сколько «виртуальных» хроник находится по отношению к точке X не дальше, чем вторая исследуемая хроника Y. Наконец, разделить это количество на полное число «виртуальных» хроник, и тогда получится искомая «мера зависимости» хроник, названная Фоменко ВССЛ (вероятность случайного совпадения лет).

Построение подкрепляется следующим правдоподобным рассуждением. Если расстояние (4) между хрониками X и Y мало, то и соответствующие координаты х и у должны быть почти равными, т. е. максимумы хроник совпадают и эти хроники, наверняка, зависимы. Однако может ли такое совпадение быть случайным? Может, если найдется еще большое количество хроник, столь же или даже более близких к X, что и Y. Но если таких близких хроник мало по сравнению с полным числом «виртуальных» хроник, то совпадение не случайно. Таким образом, если коэффициент ВССЛ мал по сравнению с единицей, то мы должны считать хроники X и Y зависимыми.

Все эти рассуждения, конечно, справедливы, но не отвечают на главный вопрос: насколько малым должен быть коэффициент ВССЛ, чтобы достоверно говорить о зависимости хроник? Неискушенного читателя в книгах АТФ поражают приводимые числа: например, «вероятность случайного совпадения» хроник равна 1010, т.е. одна десятимиллиардная! Иными словами, с вероятностью ошибки всего в одном случае из десяти миллиардов АТФ утверждает, что выбранные хроники зависимы, их события тождественны, а значит и эпохи совпадают, найдены хронологические сдвиги и т.д. Да, такая точность и не снилась даже другим «точным» наукам (например, физике или химии) и, конечно, должна внушать уважение, йот только соответствует ли она действительности?

Конечно же нет!7

8. Во-первых, вероятностная интерпретация коэффициента ВССЛ неверна, хотя АТФ активно ей пользуется в своих рассуждениях. Дело в том, что «виртуальные» хроники и числовые ряды, получаемые из реальных хроник не находятся во взаимооднозначном соответствии. Несколько «виртуальных» хроник (в конкретных примерах - это тысячи и миллионы) могут отвечают всего одной реальной хронике, а могут и вообще не соответствовать никакой.

Происходит это по разным причинам. Так, одной реальной хронике, в которой заявлены кратные максимумы, соответствует несколько способов их «расстановки», и каждый способ приводит к своей «виртуальной» хронике, у которых у всех - всего один «прототип».

Другой случай: из определения ясно, что два максимума не могут идти подряд, а значит из реальных хроник никогда не получить ряд, в котором одно из чисел х. равно 1 (одному году). Если же учесть усреднение, то также невозможны и максимумы с разницей в 2, 3 или даже более лет, в зависимости от шага усреднения. Однако среди «виртуальных» хроник все такие точки с координатами 1, 2 и т. д. присутствуют. Итак, когда мы делим на число «виртуальных» хроник, среди которых очень много таких «лишних», и поэтому мы существенно занижаем значение коэффициента.

Во-вторых, раз ВССЛ - это не вероятность случайного совпадения лет в хрониках, то магический ореол слов «один шанс из десяти миллиардов» должен исчезнуть, и пора разобраться, откуда вообще берутся столь малые значения коэффициента. Приведем, наконец, расчетную формулу для ВССЛ, которую несложно вывести самостоятельно, но которая почему-то опущена во всех книгах АТФ и присутствует только в одной его ранней специальной работе8. Как явствует из этой работы, для малых расстояний с между хрониками X и Y автор пользовался верхней границей для значений ВССЛ, равной

Ґ

р

(5)

а

\

F =

Vп + 1

V и!

п

где коэффициент V - объем шара единичного радиуса в /г-мерном пространстве, для четных n F = (2л)п/2/ п!!, для нечетных V =

О/О Wn-M/9 /  II              ^

=2(2л)(п'1)/2/ п!!.

Формула (5) показывает, что по сути ВССЛ является мерой расстояния между хрониками. Однако расстояние р, от которого и зависит вычисленное значение коэффициента, возводится в (5) в степень, равную количеству максимумов, т.е. достаточно большому числу (например, 15). И это объясняет происхождение малых значений ВССЛ! В примерах^ когда мы хотим проверить зависимость двух хроник, расстояние между ними меньше, чем а (полная длина хроники), а, значит, значение дроби (р /а) меньше единицы. Но число, меньшее единицы, возведенное в большую степень п »1, становится очень маленьким числом. Например, если р = а/2 (это, на самом деле, очень большое расстояние, не предполагающее зависимость хроник, т. к. различия в их датах порядка половины всей длины хроник), то возводя 1/2 в 15 степень получаем около 3*105. Если р = а /10, (что больше подходит для зависимых хроник), то соответствующий множитель - 10|Гgt;. И хотя первый множитель в (5) несколько увеличивает коэффициент, природа явления ясна - малость коэффициента лишь следствие методики его построения. Поэтому с ним «трудно работать», он не сопоставим по абсолютному значению со стандартными статистическими коэффициентами. Скажем, если обычный коэффициент корреляции для каких-нибудь рядов равен 0,99, то мы уверены, что эти ряды зависимы, и практически невозможно придумать случай, когда это значение окажется за пределами уровня значимости. Для ВССЛ такая «обычная» статистическая интуиция не проходит: коэффициент, например, может быть равен 0,01 (т. е., согласно интерпретации АТФ, с «вероятностью» 0,99 хроники зависимы) и соответствовать совершенно независимым хроникам, о чем указывает в своей книге сам АТФ.

Мы пришли к выводу: малые значения ВССЛ - всего лишь результат некоей «числовой игры», заменяющей расстояние между хрониками его малым отношением, возведенным в большую степень. Другие следствия этой «игры» - колоссальная чувствительность коэффицента к изменению положения хотя бы одного из максимумов, к добавлению или исчезновению максимума. Причем существует закономерность - чем меньше значение ВССЛ (т. е. чем достоверней кажется зависимость хроник), тем к большим изме- пениям в его значении приводит даже небольшая подвижка максимума хотя бы на один год.

Это вновь возвращает нас к вопросу: где граница, отделяющая значимый результат от незначимого? Как найти уровень значимости для коэффициента ВССЛ? Нельзя сказать, что АТФ совсем ничего не сделал в этом направлении. В своей книге ему необходимо было привести значения ВССЛ, которые он считает значимыми для зависимых хроник. Но для этого он ссылается не на расчеты, а на некий «вычислительный эксперимент». Точное описание этого эксперимента для меня так и осталось загадкой, ни в книгах, ни в просмотренных мною статьях никаких подробностей (графиков, таблиц) не приводится. Поэтому, результаты этого «неведомого» эксперимента легко поставить под сомнение.

Однако мы пойдем иным путем, максимально благожелательным для АТФ. С этого момента, временно забыв про все высказанные замечания, будем считать, что методика АТФ полностью корректна и должна позволить отличить зависимые хроники от независимых. Подчеркнем также, что мы не ставим под сомнение результаты вычислительного эксперимента АТФ. Но вот правильно ли они интерпретируются автором? Является ли указанные им параметры на самом деле уровнем значимости коэффициента ВССЛ? Получив отрицательный ответ на этот вопрос, мы вновь вспомним все исходные недостатки коэффициента и выскажем свое окончательное и весьма неутешительное для АТФ суждение о (‘ГО методике.

e

1. По информации АТФ, его вычислительный эксперимент, проводившийся для хроник с числом максимумов от 10 до 15!), показал следующее: 1) если хроники зависимы, то их ВССЛ не превосходит 10е; 2) для независимых текстов, анализируемых по методике АТФ, ВССЛ колеблется в пределах от 102 до I10.

На основании этого автор «Новой хронологии» пользуется границей 10* как уровнем значимости своего коэффициента. Так, например, получив при сравнении хроник Тита Ливия и Гре- горовиуса ВССЛ порядка 6 • 10 И), он с уверенностью заявляет о зависимости этих хроник.

Между тем, логический просчет такого вывода очевиден. Следует ли из эксперимента, что любые две хроники (с тем же числом максимумов), у которых ВССЛ не превосходит 10s являются зависимыми? Действительно, для зависимых хроник коэффициент ВССЛ меньше 10*, но ведь обратное утверждение не доказано! В самом деле, мы же не оценили количество независимых хроник с ВССЛ меньше 108! Хотя эти независимые хроники и составляют меньшинство от общего числа хроник, но это объем этого меньшинства может вполне превзойти объем большинства зависимых хроник, количество которых намного меньше общего числа хроник.

2. Оценка соотношений этого меньшинства и большинства представляет собой довольно простую и поучительную математическую задачу, поэтому с этого момента мы придадим нашим рассуждениям достаточную степень математической строгости.

(Читатель, которому общение с математическими формулами не доставляет удовольствия, может просто пропустить последующие страницы и сразу перейти к выводам, изложенным в конце этой части).

Пусть Л - множество всех пар хроник фиксированной длины а с п максимумами (включая кратные). Иными словами, элементами множества А являются пары хроник lt;Х, Ygt;, каждая из которых описывает временной отрезок длины а лет, причем здесь и далее под хрониками мы понимаем только наборы их локальных максимумов, т.е. последовательности из (я+1) чисел {л:.}, {у}, введенные выше.

Множество всех пар зависимых хроник той же длины а обозначим В (очевидно, что В lt; А, т. е. В является подмножеством А). Эти пары определяются так: две хроники называются зависимыми, если, описывая временной отрезок данной длины, они восходят к одной и той же информации (т. е. имеют ввиду одни и те же события).

Зависимые хроники обладают сходными наборами максимумов. Если бы хронисты при переписке и обработке информации не делали бы ошибок, то наборы максимумов всех зависимых хроник неизбежно бы совпадали (и тогда В состояло бы только из пар совпадающих хроник вида lt;Х,Хgt;). Однако случайные ошибки неизменно присутствуют, и поэтому две зависимые хроники могут иметь не тождественные наборы максимумов, датировки которых несколько отличаются. Здесь и далее под разницей в датировках мы будем понимать разницу в определении двуми хрониками длин промежутков между соседними максимумами - т. е. разницу чисел х. и у. соответственно (см. выше).

В теории ошибок оценить эти отличия позволяет знаменитое нормальное (или гауссово) распределение. Если обозначить за а разницу (в годах) в датировке какого-нибудь промежутка между максимумами, то функция распределения вероятности такой ошибки имеет вид

2 Л

а

2а2

/(«) =

(б)

Как видно из рисунка, максимум функции приходится на значение а = 0, т. е. наиболее вероятной является безошибочная датировка.

Далее функция плавно спадает по краям до нуля, показывая, тем самым, что чем больше ошибка, тем меньше возможность того, что ее допустит хронист. Главный параметр распределения - величина а - имеет ясный физический смысл: это средняя квадратичная ошибка в датировке отдельного события хронистом. Эту ошибку можно «экспериментально» измерить, исследуя большое число пар зависимых хроник и усредняя квадраты найденных там ошибок

Функция /(а) определяет плотность вероятности ошибки а. Это значит, что полная вероятность того, что ошибка окажется в пределах интервала от а , до а 2, определяется интегрированием

Г

р= J /lt;чgt;

В частности, вероятность нахождения а в пределах от (-2а) до 2а почти в точности равна 95%, поэтому 2а называют предельной ошибкой нормального распределения для вероятности 95%. Иначе говоря, с вероятностью 95% любая наблюдаемая ошибка не превосходит по модулю удвоенной средней квадратичной ошибки распределения (а с вероятностью 99,7% - утроенной ошибки и т.д.).

Подчеркнем, что приведенное нормальное распределение - самое общее из существующих в теории ошибок. Его применение и математической статистике и, к частности, в количественных методах в истории, весьма широко. Связано это с тем, что выводится нормальное распределение (несмотря на свой специальный вид) из очень простых исходных предположений, не зависящих от конкретного вида процесса, в которых совершаются ошибки.

До сих пор мы говорили об ошибке в датировке одного максимума, а как же быть, если ошибки совершаются в нескольких дати-

ехр

V 2по

da

ровках? Рассмотрим произвольную пару зависимых хроник lt;Х, Ygt; и обозначим а. - разницу в определении двумя хронистами /-го промежутка между максимумами (т. е. а.= x.-yf Полному набору ошибок при п максимумах в хрониках соответствует последова- а . Если считать, что все эти ошибки независи-

тельность ар а2,

мы (т. е. каждый промежуток между максимумами хронист определяет независимо от всех остальных, что вполне правдоподобно), то функция (я+1)-мерного распределения ошибок получается простым перемножением функций одномерных распределений (6):

1

or

а2

Да,, а2, ... ап+1) =

(7)

ехр

1 чп+1

2а2

Замечательная особенность формулы (7) в том, что многомерное распределение ошибок зависит не от каждой из ошибок а. в отдельности, от совокупной суммы их квадратов

(8)

р2 = а 2 + а 2 ¦

+ а

п+1

которая совпадает с введенным нами выше «многомерным расстоянием» р (X, Y) между хрониками X и Y.

Полная вероятность, как и в одномерном случае, находится из (7) интегрированием по заданной области, в которой должны находиться ошибки. Указанная особенность значительно облегчает это, поскольку интегрирование по (я+1) переменным а. может быть сведено к интегрированию по единственной переменной р. В самом деле, найдем вероятность того, что у двух зависимых хроник сумма квадратов ошибок не превосходит некоторого заданного р0.

dadair..da , =

1              1              п+1

где К - введенный выше объем единичного (я+1)-мерного шара.

ЛРо) =

_ (« +1) К

(V 2яа 'у

(9)

В данном преобразовании мы воспользовались тем, что область интегрирования, заданная условием

+ ... + lt;хп2, lt; р()2              (10)

а2 + а22

представляет собой (я+1)-мерный шар с центром в начале координат, и поэтому свели вычисление к интегрированию по радиусу

этого шара р.              Заметим,              что интеграл              типа              (9) при нечетных п

берется в              явной форме,              а при четных              - сводится к табличному

«интегралу верояностей».

Вероятность (9) была вычислена нами для двух хроник в предположении о независимости ошибок датировки. Однако, когда мы берем пары хроник из множества 5, то их длина фиксирована, т. е. L х = ? у.              = а.              Это значит, что ошибки              а. не              вполне независимы:

і              j              і              ’              і

(П)

они должны удовлетворять условию

а, + а2 + ... + а +1 = 0

Поэтому областью интегрирования для исходной плотности иероятности (7) является пересечение гиперплоскости (11) и (я+1) - мерного шара (10). Так как гиперплоскость (11) проходит через начало координат, то новая область также является шаром прежнего радиуса р0, но на единицу меньшей размерности, и параметризуется с помощью той же переменной р из (8)11. Таким образом, нероятность того, что в паре хроник из множества В расстояние между ними не превосходит р0, равна

Ро

(12)

где ав - среднеквадратичная ошибка в датировке отдельного промежутка между максимумами для пар зависимых хроник из множества В. Оценка^той ошибки последует ниже.

Ув(р)

О ав 2ав Зав 4ав 5ав бав 7ав

Построенный нами интеграл определяет статистическое распределение зависимых хроник по расстояниям между ними. По- динтегральная функция в (12) служит плотностью данного распределения

ч Ер”'1              _(              р2

,

(13)

РМ‘-[7Щуехр

Ее примерный график при п = 14 изображен на рисунке. Легко показать, что максимум функции достигается при р = я, т. е. таково наиболее вероятное расстояние между хрониками. Полуширина этого максимума равна ав, и отсюда (по аналогии с одномерным случаем) оценивается предельное расстояние между хрониками, вероятность превзойти которое исчезающе мала (она слабо зависит от я, поэтому более точных оценок мы не приводим):

РЬ * СТВ (2              )              (14)

3. Все рассмотренные свойства важны для проверки результатов и интерпретации вычислительного эксперимента, на котором базируется метод локальных максимумов АТФ.

1. «Для зависимых хроник ВССЛ меньше 168». - Вычисляем для наших модельных данных а = 450 лет, я = 14, соответствующее расстояние по формуле (5): р() = 22,8 года12. Таким образом, практически все пары зависимых хроник имеют расстояние меньше, чем р0, которое, тем самым, есть предельное расстояние между хрониками. Тогда по формуле (9) можно оценить среднеквадратичную ошибку датировок на множестве В:

ав» 22,8 / (2 +vl4) = 3,97 года.

Поскольку эксперимент АТФ использовал хроники с числом максимумов от 10 до 15, то аналогичный расчет можно произвести и для других я, что дает для хроник заданной протяженности а примерные границы ошибки

0,70% а lt; ав lt; 0,93% а (что для а = 450 - в пределах 3-4 лет). С исторической точки зрения такая средняя квадратичная ошибка хрониста вполне реальна, и это служит как раз подтверждением результатов АТФ (но не их интерпретации !).

2. Получив ав, мы можем перейти к основной задаче - сравнению количества пар зависимых и независимых хроник с ВССЛ не превышающей заданную, или, что то же самое (при ма лых ВССЛ), с расстояниями не больше данного р(). Для этого нуж но изучить распределение расстояний в парах хроник из множест ва А. Если, строя такое распределение на множестве В, мы поль зовались стандартной теорией ошибок, то, на первый взгляд, к множеству А она не применима - здесь в пары входят любые хро ники и, казалось бы, равновероятны любые отклонения в датирон ках. Однако, при расчете вероятности необходимо учитывать не только равновероятность любого отклонения, но и количество способов, которыми оно может быть реализовано, а оно для дат, изменяющихся в ограниченном диапазоне, существенно различно для малых и больших отклонений. Поясним примером при а =450: тогда произвольного г-го максимума я и у. - это целые числа от 0 до 450. Расхождение между ними а. = х.-у. в 1 год реализуется 450

способами (я. = 1, у. = 0; х. = 2, /г^              у = 1; х. = 450,              44amp;), а

/ __ \              расхождение в 450 лет - од-

/              g(aj              ним способом (я. = 450,

/              у.= 0). В общем случае, для

/              отдельно выбранного макси-

/              \              мума плотность вероятности

/              ч.              в зависимости от расхожде-

/              \              ния а, трактуемого как не-

(/              о              а              прерывная переменная, рав

на (с учетом нормировки)

g(a) = [а - I а |) / а\ где -а lt; a lt; а              (15)

а плотность вероятности для набора расхождений (ар а2, ..., ап+1) в двух хрониках Y, Y

g(a,, a2,              an+1) = l/a2ln+,)(a- |a,|)(a- |a2|)... (a - |a,|)              (16)

Чтобы найти полную вероятность того, что расстояние между хрониками X и ^меньше р0 нужно интегрировать (16) по области, заданной условиями (10) и (11). Расчет интеграла был сделан нами но методу Монте-Карло, и получился достаточно ожидаемый результат: оказывается, что расчетная функция /А(р) для распределения пар хроник по расстояниям на множестве А напоминает по виду гауссово распределение, т.е. функцию/в(р) из (13). С одной (зороны, просто подтверждается общност ь нормального распределения в теории ошибок, с другой - это можно понять сопоставив графики одномерных распределений (6) и (15) - первый как бы представляет собой сглаженный вариант второго, почему и свойства их во многом должны быть похожи.

Вычисленный нами график плотности распределения /А(р) представлен на рисунке (по-прежнему а = 450, п = 14). Его отличие от графика функции (13) - лишь в небольшой «изрезанности», возникающей из-за погрешностей вычислений. Максимум функции соответствует р = 139, что дает оценку среднего квадратичного отклонения на множестве Л: ад= 139 / V 14 «37 лет.

3. Таким образом, мы свели задачу о сравнении числа зависимых и независимых хроник внутри заданного расстояния к задаче о соотношении двух величин, нормально распределенных в я-мерном пространстве с дисперсиями ав2 и аА2 соответственно (причем ав « аА, как в нашем примере, где их различие - почти в 10 раз).

Обозначим число элементов в множестве А как NA - это полное количество пар хроник данной длины. Число элементов в множестве В обозначим Nfi - это полное количество пар зависимых хроник. Тогда общее количество пар хроник с расстоянием не больше р0 находим по гауссовому распределению вида (12):

п V

Jp”1 exp

dp

ад=na

(V 2kgА у

2lt;Vy

0

Среди них количество пар зависимых хроник, т. е. принадлежащих множеству В, есть

Ро

п V

|р"

о

dp

ад=Nb

ехр

(V 2kgв у

Тогда вероятность того, что произвольная пара хроник с расстоянием, не превосходящим р0, является зависимой, равна отношению этих двух чисел

^завис. (Ро)

(17)

Формулу вероятности (12) необходимо доопределить очевидным условием:

р(р«,)^ 1 прир„-gt;°              (18)

Это означает, что чем меньше расстояние между хрониками (т. е. чем меньше они «различаются» между собой), тем больше вероятность того, что они являются зависимыми, а в пределе переходит в утверждение, что хроника должна быть зависима относительно себя самой, т.е. все пары типа lt;Х, Хgt; принадлежат множеству В. Подставляя условие (18) в (17) получим тождество

в _

Na

(19)

Таким образом, множитель перед дробью с интегралами в (17) равен 1, и окончательный вид вероятности

(20)

J рп | ехр (~р'2/2G2B)dp fV~' exp (-р2 /2o\)dp

Примерный ход этой функции показан на рисунке. При Ро-*00 тждество (19) обеспечивает асимптотику Р (р0) —» NJNA, выражая очевидный факт: вероятность того, что произвольно взятая пары хроник оказажется зависимой, равна отношению числа элементов и множествах В и А. В наших примерах, это очень малое число, практически нуль, т. к. получается возведением малого отношения дисперсий в правой части (19) в большую степень п.

Ширина «горба», внутри которого вероятность существенно отлична от нуля, определяется с помощью разложения (20) в ряд Тейлора по степеням р0:

^,(Ро) = 1-Р2о/2а + ОК)              (21)

где полуширина а определена как

п + 2              (Г2,              ст2д

я

Тогда из условий ав « аА и п »1 вытекает, что а « св, т.е. полуширина области, в которой вероятность (21) принимает значения, существенно отличные от нуля, на практике совпадает со среднеквадратичной ошибкой хрониста.

Это позволяет, наконец, указать на ошибку в интерпретации результатов вычислительного эксперимента. Из (21) видно, что с уверенностью можно говорить о зависимости хроник (т. е. вероятность этого близка к единице) лишь при pj lt; а, в то время как граница предельного расстояния для зависимых хроник проходит на уровне р2 ~ ctbVtl Для всех же расстояний между pj и р2, хотя ВССЛ мала и попадает в «типичный» для зависимых хроник интервал, вероятность того, что данная пара действительно является зависимой, очень незначительна. Именно этого и не учитывает теория АТФ.

Можно сделать следующую количественную оценку. Пусть р2 - aBVn - предельное расстояние для зависимых хроник из множества В, тогда, считая грубо, верхний предел интегрирования в числителе (15) можно заменить на ос. В то же время, т. к. ав « аА, то при интегрировании от 0 до р в знаменателе (15) экспоненту можно полагать тождественной единицей (проверка для приведенных выше ав и аА дает ехр (-р.// 2аА) « ехр (-0,07) « 0,93). Таким образом, в этих грубых предположениях вероятность Р (р2) сводится к отношению

(У,

пи

(22)

в

(Viy

ГРи

J р"'1 ехр (-р2/2а2 )dp Р (Рл = ^—vJLs я!!

завис. \ * ?I              ркп              j              П

Выражение (22) оценивает вероятность того, что пара хроник с ВССЛ меньше предельного значения для зависилшх хроник, действительно является зависимой. Преимущество этой, хотя и грубой оценки в том, что она не использует конкретные значения ав и аА, a только требует, чтобы второе из них было много больше пер вого14. При всех значениях п оценка (22) дает число, существенно меньшее единицы, в частности, при п = 14 оно по порядку вели чины равно б* 103. Это значит, что даже если у пары хроник ВССЛ меньше значения 10-8, полученного в вычислительном экперименте АТФ, вероятность того, что эта пара хроник зависима, не достигает и одного процента.

4. Подытожим логику наших рассуждений. По сути, мы пользовались только двумя утверждениями:

а) предположением о «гауссовости» распределения ошибок хрониста, следуя которому мы смогли оценить его среднюю квадратичную ошибку ав;

б) исследованием распределения по расстояниям среди всех пар хроник данной длины, которое показало, что на множестве А среднеквадратичное расстояние между парами аА во много раз больше ошибки хрониста ав15.

Далее, из утверждений а) и б) с неизбежностью вытекала оценка (22), которая (точнее малость полученной в ней вероятности) доказывала ошибочность критерия АТФ: если для двух хроник ВССЛ меньше верхней границы значений, характерных для зависимых хроник, то отсюда не следует, что выбранные две хроники зависимы.

4. Итак, мы можем дать исправить предложенную АТФ интерпретацию его вычислительного эксперимента. Полученная им граница ВССЛ - 168 - из рассмотрения пар зависимых хроник, на самом деле, лежит далеко выше уровня значимости «совпадения» хроник. Независимых хроник с такими же ВССЛ гораздо больше, и, как видно из (22), вероятность того, что взяв произвольную пару с ВССЛ меньше 108, мы попадем именно в зависиліую пару, пренебрежимо мала.

Настоящий уровень значимости, ниже которого мы уже с уверенностью можем говорить о зависимости двух хроник, определяется из (21). KzfK видно из последующих рассуждений, эта граница но расстоянию опускается в уп раз по сравнению с предельной, а тогда соответствующее уменьшение ВССЛ происходит в (УяТ)" раз. Таким образом, для параметров вычислительного эксперимента АТФ, хроники действительно, с достоверностью могут считаться зависимыми, если их ВССЛ меньше значений 1013- 1010 (при количестве локальных максимумов от 10 до 15 соответственно).

Однако ни одно из указанных в книгах АТФ «замечательных совпадений» не опускается до этой границы, наоборот, для них ВССЛ существенно больше. Поэтому, с точки зрения математической статистики и вопреки утверждениям АТФ, ни одну из рассмотренных им пар нельзя с какой бы то ни было достоверностью считать зависимыми хрониками.

Укажем, наконец, и причину, приведшую на наш взгляд к этой ошибке. АТФ сообщает, что независимые хроники в его эксперименте, обладали ВССЛ в пределах от 0,01 до 1. И, действительно, как следует из рассмотренных выше распределений, вероятность наугад обнаружить пару хроник с таким малым ВССЛ, как, например, 10*, весьма мала, и поэтому эти значения лежат вне указанных выше пределов. Однако вероятность обнаружить наугад среди этих пар с малым ВССЛ пару зависимых хроник еще во много раз меньше.

1. Последнее замечание о маловероятности при случайном выборе двух хроник получить малые значения ВССЛ наводит нас на мысль - а действительно ли «наугад» получены те «замечательные совпадения» хроник, которые постоянно упоминает АТФ. Хотя, как мы убедились, они вовсе не свидетельствуют о зависимости хроник, было бы интересно проверить, насколько «честно» получил их автор. Увы, как мы уже цисали, здесь мы имеем дело отнюдь не с корректным научным результатом - напротив, налицо масса погрешностей и искажений, после исправления которых от этих «совпадений» ни остается и следа.

Возникает впечатление, что автор «Новой хронологии», взявшись за труд по истории, не способен справиться с элементарным для любого историка занятием - просто грамотно, без ошибок прочитать исторический источник.

2. Начиная со своей первой монографии АТФ ссылается на вычислением им коэффициента ВССЛ между хроникой средневековой истории Рима, изложенной Ф.Грегоровиусом16 (на отрезке с 300 г. по 760 г. н. э.) и «Историей от основания города» Тита Ливия (на отрезке с 1 до 461 г. от основания Рима, т. е. с 753 по 293 г. до н.э.). Посчитанное им значение ВССЛ равно 6* 10 ю. Тем самым с почти «абсолютной» достоверностью события средневековой и античной истории Рима совпадают, являясь историческими «дубликатами» со сдвигом в 1053 г.

Однако, уже при первом взгляде на анализируемые автором тексты, видны их особенности, не укладывающиеся в стандартную схему методики.

Сочинение Тита Ливия, действительно, можно считать примером погодного изложения событий, но с определенного момента, а именно, с 245 г. - первого года римской республики, когда был установлен ее государственный строй, и в частности, ежегодная смена консулов. Именно с избрания консулов на следующий год и начинает любую свою «погодную» запись Ливий. По этому избранию можно всегда определить начало следующего года и сопоставить каждой записи соответствующий год от основания Рима.

Такая хронологическая сетка и была проставлена в использованном автором издании, и сделано это было не Ливием, как ошибочно пишет АТФ, а редактором перевода17. В некоторых местах эта сетка имеет пробелы (что является недостатком не Ливия, а данного издания, причем кое-где даты редактора на полях пропущены просто по ошибке, что видно в сравнении с 1-м изданием того же перевода, вышедшим в 1894 г.), и тогда. АТФ ошибочно ( читает, что Ливий объединяет несколько погодных записей в одну.

11а самом же деле все отдельные записи соответствующих лет легко восстанавливаются по тексту из упоминаний консулов на новый год, иные же единичные исключения (как, например, 378-383 годы, когда выборы не проводились) специально оговорены Ливием. Мы сразу указываем на это, как на источник большого количества ошибок АТФ: при проверке оказывается, что почти трактовки им записей как «слитных» за несколько лет - неправильны.

Но самое интересное, что весь царский период в истории Ливия (отрезок от 1 до 244 года от основания города) погодной сетки не имеет. Историком вычислены лишь продолжительности царствований семи римских царей. Поэтому все события этого периода, который составляет большую половину всего хронологического промежутка анализируемых книг Тита Ливия (с 1 по 461 г. от основания Рима), датируются весьма приближенно, лишь «с точностью до царствования», не говоря о возможных неточностях в определении самих длин царствований.

Книга Ф.Грегоровиуса также, в строгом смысле, не является трудом с погодным записями, и никакой погодной сетки в ней нет. Однако, она находится даже ближе к погодному изложению, чем Тит Ливий, поскольку на всем рассматриваемом временном промежутке представляет последовательный пересказ событий с указанием их дат.

3. В новейшем издании своей монографии «Методы статистического анализа исторических текстов» (1999 г.) АТФ полностью приводит функции объема информации от каждого года для обеих хроник, которыми он пользовался. Мы займемся сейчас проверкой этой функции для «Истории» Тита Ливия.

Отметим сперва несколько любопытных деталей: Во-первых, хронологическая сетка распространена АТФ и на республиканский и на царский период, хотя последний, как мы сказали, ее не имеет. Во-вторых, мерой информации служит количество страниц, посвященных данному году. Это количество вычислялось им с точностью до десятых долей (как?! по линейке? тогда почему не считать строки?), причем самое трогательное, что наш автор, заметив, что два тома того издания, которое он держал в руках, имеют слегка разный формат, умножает количество страниц во втором томе на множитель 1,2, чтобы уравнять число типографских знаков на странице в обоих томах. При этом он как будто не видит, что иногда до половины объема страницы оказываются заняты не текстом Ливия, а примечаниями редактора, набранных мелким шрифтом и с большей плотностью строк! В этом случае систематическая ошибка в измерении объема погодной записи может быть в сумме достигать страницы - вот какова замечательная точность его методики!

4. Проверив функцию объема Тита Ливия по тому же самому изданию, которым пользовался и АТФ, мы всего нашли до 30 ошибок, связанных с неправильным чтением источника. Из этого количества 14 ошибок привели к тому, что положение соответствующего максимума было датировано неправильно. Основные типы ошибок - это пропуск максимума или, наоборот, появление ложного максимума из-за неспособности заметить новые выборы консулов или просто по невнимательности, когда АТФ не видит даты на полях книги, а также исчезновение максимума при так называемом «усреднении», т. е. искусственном и весьма широком сглаживании пиков, которые без сглаживания отчетливо видно на графике функции объема.

Все ошибки, допущенные АТФ при чтении книг Тита Ливия за республиканский период, мы свели в таблицу:

Запись - слитная за три года, объем разделен поровну между годами

пропущен

максимум

432-437

пропущен

максимум

1_

412-414

Запись - слитная за 6 лет, полный объем (37 стр.) разделен поровну между годами

пропущен

максимум

Запись - слитная за 8 лет, полный объем (32 стр.) разделен поровну между годами

Запись 412 г. - 6 стр., до конца 7 книги. С начала 8 книги запись 413 г. - 3,5 стр. (есть отметка на полях), и запись 414 г. -14,5 стр., начало которой восстанавливается по избранию новых консулов (Т. Манлий Торкват и П.Деций Мус) на с. 112, т. 2

Запись 432 г. - 4 стр., заканчивается в конце 8 книги. С начала 9 книги - запись 433 г. (начинается со слов «в следующем за тем году», новые консулы Т. Ветурий Кальвин и Сп. Пос- тумий) - 11 стр., 434 г. - 12,2 стр. (консулы Кв.Публилий Филон и Л.Папирий Курсор, об их избрании на с. 176, т. 2), 435 г. - 2 стр. (консулы Л.Папирий и Кв.Авлий Церретан, с. 189, т. 2). Далее на с. 191-197 - рассуждение Тита Ливия вне хронологической сетки о возможном исходе войны Рима с Александром Македонским. На с. 197 гооворится о новом избрании консулов (М.Фолий Флакцион и Л.Плавтий Венокс), т. е. идет запись 436 г. - 0,3 стр. На с. 198 - о новом избрании (Г. Юний Бубульк и Кв. Эмилий Барбула) - т. е. 437 г. - 0,3 стр. Т. о., пропущен максимум 433-434 гг., объемы записей которых сравнимы и даже превосходят соседние максимумы

Запись 439-441 г. - 10 стр., действительно, не удается разбить. Но на с. 209, т. 2 начинается запись 442 г. (есть отметка на полях) - 1,2 стр., со с. 211 (новые консулы Г. Юний Бубульк и П. Эмилий Барбула) запись 443 г. - 4 стр., со с. 215 (консулы

Кв.Фабий и Г.Марций Рутил) запись 444 г. - 14,5 стр. Год 445 пропущен Ливием (см. примечание редактора) и со с. 229 запись 446 г. (есть отметка на полях) - 2,2 стр. Т. о., оказался пропущен максимум под 444 г.

450-454

Запись - слитная за 5 лет, объем разделен поровну между годами

Запись 450 г. - 4 стр. до конца 9 книги. С начала 10 книги: 451 г. (есть отметка на полях) - 1 стр., 452 г. (есть отметна на полях) - 6 стр., 453 г. пропущен Ливием, 454 г. - 5 стр. (есть отметка на полях)

458-460

Запись - слитная за три года, объем раз делен поровну межд годами

Запись 458-459 - 24 стр., их не удается разделить, запись 460 г. - іу|9 стр. (есть отметка на полях).

5. Ошибки царского периода требуют более обширного комментария, поскольку хронологическая сетка у Ливия отсутствует, и для вычисления дат максимумов АТФ прибегает к разнообразным ухищрениям. Чтобы в них разобраться, проанализируем записи Ливия о царствовании каждого из римских царей и сравним их с той функцией объема, которую строит АТФ.

а)              Рому л. Его царствование с 1 по 36 г. от основания города описано на с. 10-26, т. 1. Это верно указано у АТФ (и по его методике соответствует примерно 0,5 стр. на один год). Но далее, АТФ отдельно выделяет события, предшествующие его смерти Ромула, (т.е., по его мнению, относящиеся к последнему году царствования. - 37 г.) и введению его культа, которые занимают 1,3 стр., после чего идет описание междуцарствия и выборов царем Нумы Помпилия (38 г.) на 2 стр. Вывод, который делает отсюда АТФ - в 38 году достигается локальный максимум.

Однако, этот вывод справедлив, если во всем предыдущем рассказе мы не найдем протяженных описаний событий, длившихся в течение одного года. А это не так. Знаменитый рассказ о «похищении сабинянок» (гл. 9-10, с. 15-19) имеет объем 3,8 стр., а описание последующей войны из-за их похищения и осады Рима (гл. вторая часть 11-13, с. 20-23) занимает 3,2 стр. Таким образом, общий объем этого сюжета (который, как следует из самого рассказа, не

мог длиться более года) - 7 стр., что во много раз превосходит «максимум» 38 года. Датировка этого нового максимума, исходя из текста Ливия, - самая неопределенная, в пределах, скажем, 10-30 гг. (Рим, с одной стороны, уже довольно окреп, с другой - эти события еще далеки от конца царствования Ромула, поскольку после них описаны другие важные события и войны)18.

б) Нума Помпилий. Описание его царствование (39-82 гг.) не содержит привязок к определнным годам, и (здесь мы согласны с АТФ) - максимумы отсутствуют.

в) Тулл Гостилий. Его царствование с 83 по 114 г. от основания города. Текст Ливия не содержит никаких точных дат. И, однако, АТФ ухитряется получить локальный максимум между 105-109 годами. Им придуман здесь очень изощренный способ датирования событий, и первый же вопрос, который он вызывает - почему такие же сложные вычисления не применялись, например, к царствованию Ромула?

АТФ делит текст Ливия на 7 разных сюжетов. Поскольку они охватывают царствование продолжительностью в 32 года, то получается, что на каждый из сюжетов приходится по 4,5 года. Поэтому, далее объем каждого сюжета делится на 4,5 и получается объем погодной записи, которые и сравниваются друг с другом для разных сюжетов. По вычислениям АТФ максимум приходится на 6-й сюжет (см. ниже), который соответственно, помещается им под 105— 109 гг.

Однако «сюжеты», выделенные АТФ, совершенно не равнозначны:              *

1. «смерть Нумы» (лишь упоминание в начале 22 главы, на с. 36, т. 1);
2. «общая характеристика Тулла Гостилия» (только одна (!) фраза на с. 36: «Этот не только не походил на своего предшественника, но был еще воинственнее Ромула. Побуждали его к тому столько же его возраст и силы, сколько слава деда»);
3. «Государство слабеет от мира. Поиски поводов к войне» - также одно предложение на с. 36, которому АТФ почему-то приписывает объем в 1 стр.;
4. «Угон скота. Переговоры и их разрыв. Подготовка к войне» - занимает, действительно, 1 стр., до конца 22 главы, и неразрывно связан со следующим сюжетом;
5. «Война с альбанцами» - у АТФ он имеет объем погодной записи 0,3 стр. На самом деле включает главы 23-26, (всего 8,5 с.), из которых большая часть (гл. 24-26, 7 стр.) посвящена битве Горациев с Куриациями (т.е. событиям в течение одного года). После этого, в гл. 27-29 идет почему-то пропущенная АТФ вторая война с Альбой и ее разрушение (объем 4,8 стр.) Таким образом, полный объем «альбанского» сюжета - 13,3 стр., и даже после деления на 4,5 это дает среднюю погодную запись в 3 стр. Значит, АТФ ошибся здесь ровно в 10 раз;
6. «война с сабинянами» - у АТФ здесь находится локальный максимум с погодным объемом 0,5 стр. На самом деле, сюжет занимает всего одну главу 30 (1,6 стр.) и среднее значение объема на один год равно 1,6/4,5 = 0,35, что намного меньше, чем в предыдущем сюжете. Т. о., никакого максимума здесь нет;
7. Наконец, последний сюжет «извержение вулкана, моровая язва, смерть Тулла» - относится к гл. 31 (объем 1,2 стр.).

Итак, на самом деле,lt; в рассмотренном отрывке имеется не более 4 равноценных сюжетов (две войны с Альбой, война с сабинянами и «моровая язва и смерть Тулла». Следуя методике самого АТФ мы делим отрезок на 4 равные части, и получаем максимум на первом отрезке (приготовления и первая война с Альбой) т. е. 83-90 гг.

Нам трудно судить, что послужило причиной столь сильно искажения первоисточника - невнимательность или сознательный обман читателей.

г) Анк Марций (114-138 гг. от основания города). В эти годы локальных максимумов не обнаруживаются. Но ошибки АТФ начинаются, когда он пытается привязать максимум к событиям смены царствования и воцарению Тарквиния Старого, т. е. 139 г.

Для этого он приписывает к 139 году все события гл. 34 и пер вой половины гл. 35 с полным объемом 3,3 стр. На самом же деле глава 34 (2 стр.), повествующая об обстоятельствах переселения Тарквиния в Рим начинается словами «в царствования Анка переселился в Рим Лукумон» (будущий Тарквиний), без всякого указания года, более того в конце главы говорится о длительном его проживании в городе, в результате которого он сделался известным и уважаемым человеком. Т. о., 34 гл. не может относится к 139 г., а события этого года описаны только в начале 35 гл. (объем 1,3 стр.) и не являются локальным максимумом, поскольку, например, уступают описанию военной церемонии Анка Марция, введенной также, очевидно, в течение одного года (объем 2,2 стр.). Поэтому, если в это царствование и есть максимум, то связан он не с 139 г., а с другими сюжетами, неопределенность в датировке которых - в 24 года.

д) Тарквиний Старый (140-175 гг. от основания города). Локальг ных максимумов нет. При воцарении Сервия Туллия (события 176 г.) - локальный максимум, (гл. 40-41, 2,7 стр). Это, действительно, самый значительный из описанных здесь сюжетов, и в его датировке мы согласны с АТФ.

е) Сервий Туллий (177-220 гг. от основания города). Здесь АТФ допускает небольшое искажение, приписывая сюжету «борьбы Тарквиния Гордого с Сервием» не 2,5, как на самом деле (гл. 46 - первая половина гл. 47), а 3,5 стр. Но серьезная ошибка происходит с определением локального максимума в 220 г. События этого года (столкновение Тарквиния и Сервия на форуме и смерть Сервия - вторая половина гл. 47. и гл. 48) занимают объем 2,2 стр. Но уже следующий сюжет, относящийся к царствованию Тарквиния и события которого находятся в пределах одного года (гл. 50-52) - столкновение Тарквиния с Турном Гердонием из Ариции (гл. 50- 52) - занимают 3,5 стр, что «выше» максимума 220 г. Поэтому считать последний значимым не корректно.

ж) Тарквиний Гордый (220-244 гг.) Из всех событий этого царствования наиболее подробно описанными является, разумеется, сюжет с Лукрецией, приведший к установлению республики (гл. 57- 60) - объем 5 стр. Соглашаясь с АТФ, эти события можно датировать 244 г. Но вот приписать к 244 г. локальный максимум нельзя, поскольку следующий 245 г., первый год республики, описан уже по хронологической сетке, и его объем (см. таблицу) - 13 стр. - превосходит предыдущую запись.

Итак, наша проверка показала, что из всех максимумов царского периода, датированных АТФ, корректным является лишь максимум 176 г., а все остальные - или ложными, или ошибочно привязанными nt конкретному году, имея на самом деле большую неопределенность в датировке.

6. Подведем итоги. В 1-м и 2-м издании своей монографии АТФ иллюстрировал вычисление ВССЛ для пары Ливий - Грего- ровиус рисунком «сглаженной» функции объема. Это довольно странный рисунок, без всяких пометок масштабов по осям и т. д., но из него мы смогли извлечь набор максимумов, которым пользовался АТФ:

для Тита Ливия это (годы от основания Рима)

38, 105-109, 139, 220, 244, 259-260, 305, 351, 364, 373, 411, 429 и 458-461

для Грегоровиуса (годы от Рождества Христова)

331-337, 410, 455, 527-529, 537, 547, 600-604, 630, 663, 689, 707, 726-731, 755

И в том, и в другом наборе по 13 максимумов (две даты через тире означают, что датировка максимума неопределенная в указанных пределах).

Однако, ниже мы приводим график исправленной функции объема с выполненным по методике АТФ 3-х точечным сглаживанием. На ней видны максимумы Ливия после исправления ошибок АТФ19:

10-30, 83-90, 176, 244-247, 259-260, 294, 305, 308-309, 351, 358, 364, 369, 411-414, 429, 433-434, 444, 458-461.

Их оказывается 17, и коэффициент ВССЛ с максимумами Гре- горовиуса не падает ниже, чем 102. Даже если мы, проводя очень «широкое» сглаживание, и в соответствии с картинкой АТФ, объединим 358, 364, 369 в один широкий максимум «галльской войны» 358-369, максимумы 305 и 308-309 - в широкий максимум «децемвиров» 304-310, а 429, 433-434 - в максимум 429-434 («самнитские войны»), то и тогда окончательный набор 13 максимумов 10-30, 83-90, 176, 244-247, 259-260, 294, 304-310, 351, 358-369, 411-414, 429-434, 444, 458-461

будет отличаться от представленного выше по АТФ. Для последнего набора ВССЛ «Ливий-Грегоровиус» находится в пределах 103— 102, т.е. на границе коэффициента, характерного для независимых текстов.

4. Мы разделим выводы об ошибках теории АТФ на две группы: систематические недостатки его методики, и найденные нами случайные ошибки, влияющие на результаты расчетов:

а)              АТФ систематически завышает уровень значимости своего коэффициента ВССЛ на несколько порядков. Мы исправили эту ошибку, и нашли истинный уровень значимости, который равен не 108, а 1016 для 13-15 максимумов хроники. Он оказался гораздо ниже всех «совпадений», описанных в «новой хронологии». Отметим теперь, что этот уровень также является весьма неустойчивым, из-за указанной выше «сверхчувствительности» коэффициента. При малых неточностях в датировке максимумов ±1 год, которые неизбежны по методике АТФ, значение ВССЛ может возрасти в тех же параметрах от 1016 до 1014 (в 100 раз!) и оказаться за границей уровня значимости. Все это, на наш взгляд, говорит о неэффективности применения предложенного метода для решения данной статистической задачи. Иными словами, в параметрах его вычислительного эксперимента корректное применение метода локальных максимумов невозможно20.

Замечательно, что этот вывод можно обощить и на другой метод, применный АТФ - расчет «совпадения» династий правителей, где вычислялась «вероятность случайного совпадения династий» ВССД. Математические трудности в интерпретации ВССЛ и ВССД вполне схожи, а главное, результат аналогичный нашему при анализе династических совпадений был получен М.Городецким. В (то статье показано, что количество независимых династий с малыми ВССД во много раз превышает количество зависимых.

б)              То «замечательное совпадение», на которое описается АТФ, утверждая тождественность античного и средневекого Рима - не что иное как следствие полного неумения грамотно прочесть исторический источник. После исправления всех его ошибок от малого коэффициента ВССЛ не остается и следа и его значение выходит на уровень, типичный для независимых текстов.

Подчеркнем, что опровергнутое совпадение Тита Ливия и Грегоровиуса - по сути единственное в методе локальных максимумов, где все вычисления последовательно проведены автором с начала и до конца. В своих книгах он приводит еще совпадающую пару хроника Грегоровиуса - учебник по истории древнего Рима

В.С.Сергеева21 (или берет учебник Сергеева для продолжения временного отрезка Ливия вплоть до 519 г. от основания Рима). Но этот учебник ни в каком смысле не является текстом с погодным изложением событий, он не только лишен погодной сетки, но и по своему характеру (краткое учебное пособие для исторических факультетов) делает невозможным построение функции объема информации от каждого года (и даже, от десятилетия!) Поэтому анализ этих пар заведомо некорректен. Наконец, в 3-ем издании появляется еще одна пара «совпадающих» хроник: Тит Ливий - Цезарь Барониус («Деяния церковные и гражданские от Рождества Христова до 1198 года». - М., 1913). После построения функций объема весь дальнейший анализ автора сводится к фразе «Хорошо видно, что графики похожи». При этом даже свой коэффициент ВССЛ автор уже не хочет вычислять, а между тем из графиков также «хорошо видно», что область несовпадения отдельных максимумов в одном случае составляет до 40 лет, в другом - до 30 лет, еще в двух случаях до 20 лет, откуда можно оценить, что значение ВССЛ будет не ниже 103, т. е. никакой вывод о зависимости этих текстов сделать нельзя.

Итак, никакие «новые методы», никакой «переворот в науке» не освобождают авторов «Новой хронологии» от занятия, необходимого любому ученому - проверять свои результаты и искать в них ошибки. От умения разбираться в собственных ошибках зависит, выступают ли они в поле науки или, напротив, занимаются сознательным мифотворчеством. И, конечно, ошибки следует искать до обнародования своих результатов, иначе столь огромное их количество просто выставляет авторов на посмещище в глазах просвещенной читающей публики.

Примечания:

1. В случае вариационного ряда рассматриваются значения выбранного признака у множества различных объектов, составляющих генеральную совокупность, в случае динамического ряда - значения признака берутся у одного объекта, но в различные моменты времени.
2. Езекиэл М.у Фокс К. Методы анализа корреляций и регрессий. - М., 1966.
3. Раздел входит в обязательную программу для студентов исторических специальностей, см. его базовое учебное пособие: Количественные методы в исторических исследованиях. - М.: «Высшая школа», 1984.
4. См. ежеквартальный «Бюллетень ассоциации «История и компьютер» (М., 1992-2000), а также труды ежегодных конференций в сборниках серии «Круг идей: новое в исторической информатике» (1994-2000) и др. издания.
5. Ковальченко И.Д.У Милов А В. Всероссийский аргарный рынок XVIII- начала XX в.(опыт количественного анализа). - М., 1974.
6. Фоменко А. Т. Методы статистического анализа нарративных текстов и приложения к хронологии. - М., 1990; 2-е издание: Методы математического анализа исторических текстов. Приложения к хронологии. - М., 1996; 3-є, расширенное издание: Методы статистического анализа исторических текстов. Приложения к хронологии. Тт. 1-2. - М., 1999. Основные особенности изложения математических методов во всех трех изданиях совпадают. В нашей статье мы опираемся на 1-е издание книги, поскольку именно на него дается большая часть математических отсылок в книгах по «нх», но будем оговаривать некоторые исправления, внесенные в других изданиях.
7. Более подробное обсуждение результатов этого параграфа и общую критику математических свойств коэффициента ВССЛ см. в статье Андреев А.Ю. «Новая хронология» с точки зрения математической статистики // История и антиистория. Критика «новой хронологии» академика А.Т.Фоменко. - М.: «Языки русской культуры», 2000.
8. Фоменко А. Т. Некоторые статистические закономерности распределения плотности информации в текстах со шкалой // «Семиотика и информатика». Вып. 15. - М., 1980. С. 107.
9. Конечно, для точных расчетов таких грубых указаний, как «от 10 до 15 максимумов», недостаточно! Почему автор, хотя бы, не составил прстей- шую таблицу, в которой указал характерные значения ВССЛ в эксперименте для каждого из чисел от 10 до 15?
10. Фоменко А. Т. Методы статистического анализа нарративных текстов и приложения к хронологии. - М., 1990. С. 110.
11. Кроме того, при уменьшении размерности интегрирования на единицу необходимо произвести перенормировку плотности вероятности. Необходимо также заметить, что в множестве В соблюдается еще одно условие:

I (Xj I lt; ау и при интегрировании по шару с большим радиусом р0 gt; а, из него должны быть вырезаны области, находящие вне куба со стороной 2а и центром в начале координат. Однако, в нашей задаче это не существенно - во всех последующих примерах радиусы р0 малы настолько, что соответствующий шар заведомо находится внутри этого куба.

12. Модельные данные выбраны близкими к настоящей паре хроник Тит Ливий - Грегоровиус. Поскольку расстояние мало по сравнению с полной длиной хроники, то мы, как и АТФ, воспользовались здесь верхней границей для ВССЛ из (5), которая при малых расстояниях практически совпадает с точным значением.

14. Более того, для выполнения (17) не требуется даже «гауссовость» распределения расстояний на множестве А\ Достаточно только, чтобы интеграл от плотности вероятности при малых р() был пропорционален р0п, а для этого сама многомерная плотность вероятности должна в начале координат выходить на константу, отличную от нуля, что заведемо выполняется для функции (11).
15. Если хроники достаточно длинные, а максимумам на них «не тесно» (как в наших параметрах а = 450 и п - 14), то это утверждение, на наш взгляд, очевидно - ведь ясно, что пары зависимых хроники, в среднем, должны быть гораздо «ближе» друг к другу по расстоянию, чем произвольные пары хроник из множества А. Однако, для коротких хроник это не так, см. следующее примечание.
16. Грегоровиус Ф. «История города Рима в средние века. Т. 1-5. - СПб, 1902-1912.
17. Автор работал лишь с определенным изданием книги: Тит Ливий, «Римская история от основания города». Пер. П.Адрианова, 2-е издание. Т. 1- 6. - М., 1897-1903.
18. Пусть читатели не поймут превратно: я вовсе не утверждаю, что этот сюжет - одна из основ римской мифологии - относится к историческим событиям, как и вообще не обсуждаю достоверность известий Ливия. Все наши рассуждения лишь строго следуют методике самого АТФ, но добавляют к ней, говоря историческим языком, внутреннюю критику источника, т.е. показывают, что в самом тексте Ливия содержатся сведения, которые опровергают результаты АТФ.
19. В соответствии с вводимым в 3-м издании критерием на второй половине графика их значения превышают 60: см. Фоменко А. Т. «Методы статистического анализа исторических текстов. Приложения к хронологии». Т. 1. - М., 1999. С.
20. Означает ли это, что метод локальных максимумов вообще не имеет права на существование? - По видимому, нет. На это указывает единственная работа АТФ, «признанная» сообществом историков и написанная в соавторстве с известным специалистом в области русских средневековых текстов Л.Е.Морозовой [Морозова Л.Е., Фоменко А.Т. Количественные методы в «макротекстологии» (на примере памятников «смуты» конца XVI - начала XVII в.) // Копмлексные методы в изучении исторических процессов. - М., 1987). Отметим, во-первых, что хотя в этой работе для обоснования методики изложен все тот же «вычислительный эксперимент», авторы фактически опираются не на него, а на анализ вычисленных попарных расстояний между изучаемыми в статье хрониками. Во-вторых, существенным моментом является то, что количество максимумов в этих хрониках от 4 до 7, а описываемый промехуток - 15-20 лет. Это приводит к совершенно иным оценкам наших ошибок: и аА и ав находятся в пределах 3-5 лет, и оценка (22) здесь не выполняется. Поэтому, результаты этой работы, по-видимому, можно считать обоснованными, хотя, возможно, и нуждающимися в дополнительной, более тщательной проверке.
21. Сергеев В. С. «Очерки по истории древнего Рима». Учебное пособие для исторических ф-тов. Ч. 1. - М.: ОГИЗ, 1938.