Логические статьи из домашнего архива. Математическая бесконечность и метаматематика
В моих домашних бумагах сохранились разные варианты трех больших статей, написанных Ю. А. для ФЭ. Как сами статьи, так и редакционная их история стоит того, чтобы о них рассказать.
Здесь я буду говорить о статье «Математическая бесконечность». В первоначальном варианте она занимала 34 страницы[33]. Я подверг статью капитальной редактуре, сокращая целые гсуски текста, частично перекомпоновал его; вместе с тем по моей просьбе автор сделал некоторые дополнения. 25 января 1964 года на тексте Ю. А. я поставил свою визу — «Отредактировал» и расписался. В результате получился материал на 24 страницах. Этот текст подвергся дальнейшей редактуре. Раскрыв теперь статью, напечатанную в третьем томе ФЭ, я обнаруживаю, что она подверглась дальнейшему сокращению.
Просматривая сейчас статью «Математическая бесконечность», я вижу, что для того времени это был достойный текст. В дефиниции говорилось, что математическая бесконечность является общим названием для различных реализаций идеи бесконечности в математике; «признавая диалектический характер бесконечности, математика стремится выделить в качестве ее экспликата формально непротиворечивые понятия, пригодные для строгого дедуктивного (формально-логического) построения матема-
тических и логико-математических теорий»[34] Следует заметить, что процитированной фразы не было в первоначальных вариантах статьи — по- видимому, они возникли в результате совместной работы автора и редактора — в философском издании следовало сразу придавать статье стиль, соответствующей требованиям издания. Но вот концовка статьи —
.. .для математики, всегда имеющей в виду понятие математической бесконечности, характерно стремление освободиться от его явного использования. Математику, часто называемую «наукой о бесконечности», с не меньшим основанием можно определить как науку о способах обходиться без понятия бесконечности.
В этом, в частности, естественно усматривать ее диалектический характер[35] —гастевская. А в самой статье мы видим тесное переплетение историко-математических и историко-логических вопросов с вопросами теоретическими. В статье было показано, как, преодолевая постоянно возникавшие теоретико-познавательные трудности (начиная с апорий Зенона и идеи математической иррациональности), математическая и логико-философская мысль пришла к идее континуума и теории множеств, вначале «наивной», а потом аксиоматической, к арифметизации анализа. Получили освещение позиции логицизма, интуиционизма, математического конструктивизма, а также «ультраинтуиционизма» (правда, без ссылки на А. С. Есе- нина-Вольпина, автора соответствующей философско-математической концепции), и в рамках краткой характеристики этих направлений нашли естественное место и проблема непротиворечивости (математических и логических теорий), и аксиомы бесконечности (Рассел) и выбора (Церме- ло), и теория типов логических объектов, и «программа Гильберта», и нестандартные модели в арифметике и теории множеств. В статье, в частности, говорилось, что
.. .казавшаяся очевидной равносильность (эквивалентность) используемого в аксиоматической теории множеств определения бесконечного множества и представления о бесконечном множестве как «неконечном» связана, как выяснилось, с использованием аксиомы выбора. Это привело к имеющим важное философское значение исследованиям о различных по силе определениях бесконечного множества.
Характеризуя ультраинтуиционизм, автор писал, что с позиций этого направления «гипотеза потенциальной осуществимости» — как известно, противопоставляемой гипотезе (абстракции) актуальной бесконечности — распадается на ряд содержательно неэквивалентных допущений об осуществимости, а также о том, что «дальнейшее построение ультраинтуиционизма связано с анализом абстракции отождествления».
Конечно, данная статья отражала уровень философского видения проблемы математической бесконечности в 60-е годы прошлого века.
Концепция ультраинтуиционизма в последующий период получила дальнейшее развитие в работах ее автора; выяснилось также, что альтернатива бесконечного множества — множество конечное отнюдь не однозначно, допускает уточнение «конечностей» разных уровней[36] Тем не менее, статья Ю. А. имеет значение как факт динамики отечественной философско-математической мысли, и я рад тому, что в моем архиве находится полный исходный 34-страничный ее текст. Читатель может найти его в Приложении ко второму изданию книги Ю. А. Гастева, указанному в примечании 1.В упомянутом Приложении приведена и другая статья Ю. А. для ФЭ — «Метаматематика». Эта статья была включена в словник издания[37] дополнительно, но так как издание распухало до недопустимых размеров, она не вошла в третий том. Я пытался сохранить краткую отсылочную статью о метаматематике (тринадцать строк), но и этого сделано не было, и на с. 400 соответствующего тома мы находим отсылку: «Метаматематика — см. Метатеория».
В моем архиве находится исходный текст этой статьи, написанный Ю. А. от руки и занимающий 28 страниц, а также ее отредактированный стандартно отпечатанный вариант (29 с.), в котором отсутствуют некоторые «формульные» части текста Гастева.