Непрерывность и дискретность. Разные пути, ведущие к идее логической многозначности

Начало века в отечественном математическом мышлении ознаменовалось коллизией между установками на непрерывность и на дискретность в истолковании мышления. Собственно говоря, проблема эта была во весь рост поставлена Георгом Кантором, но в России она приобрела особый смысл благодаря философско-математическому творчеству Н.

П. А. Флоренский был знаком с аритмологией, упоминал о математических исследованиях, относящихся к непрерывности и прерывности, связывал их с «логистикой». Ему были известны работы Бугаева, в частности его статья «Математика и научно-философское миросозерцание»[213], труды П. А. Некрасова. Он указывал на «кванты» Планка, корпускулярную теорию света, на «вечно истинные» парадоксы Зенона; он писал об открытиях в учении об органической эволюции, и при этом называл теории, говорящие о явлениях прерывности в развитии живого мира, о том, что «психологические исследования подсознательной и сверх-сознательной душевной жизни обнаруживают прерывные изменения сознания, прерывность творчест-

233

ва, вдохновения и т. д.» .

У Флоренского мы читаем:

Вдохновение, творчество, свобода, подвиг, красота, ценность плоти, религия и многое другое только неясно чувствуется, изредка описывается, устанавливается в своей наличности, но стоит вне методов и средств научного исследования, ибо основная их предпосылка, конечно, есть предпосылка связности, предпосылка непрерывности, постепенности.

Конечно, прерывное и непрерывное тесно взаимосвязаны: «Мы не можем мыслить процесса, не разлагая его на последовательность стационарных состояний — на последовательности моментов неизменности. И мы не можем также мыслить непрерывное, continuum, не разлагая его на прерывную совокупность точечных элементов». И в рассудке это проявляется в соотношении его статики и динамики, которые исключают друг друга, хотя вместе с тем «не могут быть друг без друга»[215]

В статье о «пифагоровых числах»[216] Флоренский сопоставил пифагорейскую идею о «выразимости всего целым числом» с канторовским учением о бесконечных множествах с его понятиями количественных и порядковых чисел; он писал о необходимости «изучать числа, — конкретные, изображенные числа, — как индивидуальности, как первоорганизмы, схемы и первообразы всего устроенного и организованного»[217]

* * *

Классическая логика, конечно, дискретна, но нам теперь известны такие ее «неклассические» направления как многозначные и бесконечнозначные логические системы. В этой связи стоит задержаться на неклассических логических идеях, которые, с одной стороны, можно вычитать у Флоренского, и которые, с другой стороны, содержались в «воображаемой» логике Васильева.

У о. Павла мы встречаем две идеи, которые можно отнести к логической неклассичности. Первая — это «триипостасное» истолкование истины, вторая — мысль о разных «степенях» знания.

Сначала рассмотрим первую идею. В логико-теологическом построении о. Павла мы встречаем — впрочем, в весьма неявной форме, — мысль о трехзначности логического; она была представлена в названном выше «трехипостасном» истолковании истины. Данное истолкование всегда связывалось, как это хорошо известно, с христианской идеей Троицы. В логическом же плане мысль о троичности возникала из сопоставления А и не-А, пронизывавшем все мышление Флоренского.

Во «втором письме: сомнении» главного труда о. Павла ставится вопрос о том, что собой представляет само-доказательный Субъект. Ответ, который на него дается, гласит:

Он таков, что он есть А и не-А. Обозначим для ясности не-А через Б. Что же — Б? Б есть Б, но оно само было бы слепым Б, если бы не было вместе и не-Я. Что же такое не-Я? Если оно просто А, то А и Я были бы тождественны. А, будучи А и Я, было бы одним простым, голым А, равно как и Я. Чтобы не было простого тож- десловия «А = А», чтобы было реальное равенство «А есть А, ибо А есть не-А», необходимо, чтобы Б lt;...gt; было зараз «Я и не-Я»; последнее, т. е. не-Я для ясности обозначим через Я. Через В круг может замкнуться, ибо в его «другом», — в не-Я, — А находит себя как А. lt;...gt; А от другого lt;...gt;, т. е. от Я, опосредованно получает себя, но уже «доказанным», уже установленным. То же относится и к каждому из субъектов А, Б, В троичного отношения.

Субъект истины, продолжает о. Павел, есть отношение Трех. Истина есть «Бесконечный акт Трех в Единстве lt;..gt; Истина есть единая сущность о трех ипостасях» .

В «разъяснении» ХХПІ— «К методологии исторической критики» Флоренский подходит к вопросу с другой стороны. Он вводит представление о вариативности «количества знания». Он убежден:

Всякое суждение и всякое умозаключение в области исторических наук есть суждение с коэффициентом вероятности, и если суждение и умозаключение выражается формулою агэЬ, то историческое суждение и историческое умозаключение lt;.. .gt; должно выражаться формулою a zgt;p b, где символ zdp означает связку как функцию параметра р, т. е. вероятность связи агэЪ.

Спектр степени твердости веры или неверия в некоторую гипотезу он представляет в виде таблицы, где «плюс бесконечность» означает «абсолютно да», за чем следует нисходящая градация - «очевидно да», «быть может да» и т. п.; нулем обозначается «не знаю», за тем следует «пожалуй нет», «быть может нет», «наверняка нет», а завершается «минус бесконечностью»: «абсолютно нет»[218].

Мы не станем подробнее говорить об этой схеме, ограничившись тем, что укажем на явное предвосхищение о. Павлом вероятностной логики, причем с учетом ее теоретико-игрового аспекта. Заметим, что данную схему Флоренский ограничивает апостериорными (т. е. эмпирическими) науками.

У Флоренского подобные рассмотрения не были связаны с нормами логики. Но в истории науки такая связь существовала издревле. Как мы знаем, еще Аристотель сомневался в универсальности «исключения третьего», размышляя об истинностной оценке высказываний о будущих событиях. В этом можно видеть отдаленное предвосхищение логической трехзнач- ности. Естественно, что такой глубокий мыслитель, как Васильев, пошел именно этим путем. Логическая трехзначность выступает у Н. А. Васильева, правда, не прямо— категорическая оценка его логического учения как некоей трехзначной логики, которая распространена в литературе, ошибочна240, что было показано в статье Б. В. Бирюкова и Б. М. Шуранова241 Почему же многие авторы находили у Васильева трехзначную логику? Потому, что в «воображаемой логике» были введены три «качества» суждений — утвердительность, отрицательность и противоречивость (в другой интерпретации — «индифферентность»). Конечно, в этом можно видеть общую идею логической трехзначности, подобную «триипостасности» Флоренского. Но Васильев в своей концепции решительно придерживался двузначности истинностных оценок суждений.

В классической пропозициональной логике имеет место совпадение бинарностей «истина — ложь» и «утвердительность — отрицательность». Отсюда законы исключенного третьего и противоречия. У Васильева первая бинарность сохраняется, а вторая заменяется тернарностью. Поэтому закон исключенного третьего заменяется законом «исключенного четвертого», а закон противоречия, утверждающий несовместимость суждений «S есть Р» и «S не есть Р» (или «S есть не-Р») заменяется утверждением о попарной несовместимости суждений трех Васильевских «качеств»: утверждения произвольного суждения Р (мы запишем это как У(Р)), отрицания суждения Р (запишем это как 0(Р)) и нейтральной оценки Р (т.

В упомянутой выше статье выбор этот был представлен таблицей несовместимостей :

240. К сожалению, эта ошибка повторяется с настойчивостью, достойной лучшего применения. Ср. кн.: Бажанов В. А. История логики в России и СССР (концептуальный контекст университетской философии). М.: Канон, 2007. С. 238.
241. Бирюков Б. В., Шуранов Б. М. В каком смысле «воображаемую логику» Н. А. Васильева можно считать многозначной // Вестник МГУ. Серия 7: философия, 1998, № 5.

где «и» означало истину, а «л» - ложь. Строки же 1)— 3) предлагалось считать некими «внешними» значениями истинности трехзначной логики Васильева.

Очевидно, что в классической пропозициональной логике таблица несовместимостей имеет вид:

А какой вид имеет таблица «несовместимостей» для металогики Васильева, прикосновенной миру «умных сущностей»? Очевидно, что это вырожденная таблица:

В построении Васильева выделялись три формы единичных суждений, три формы суждений общих, суждения же, которые автор «воображаемой логики» называл акцидентальными («случайными»), должны были бы быть четырех форм. Этого, однако, не происходило, так как Н. А. Васильев предполагал, что в частных суждениях (в смысле традиционной логики) квантор «некоторые» имеет смысл «только некоторые». Это уравнивает по смыслу соответствующие утвердительные и отрицательные суждения, и тогда таблица несовместимостей для них принимает вид:

* * *

Итак, мы видим сколь многообразными были подходы к неклассической логике в России в начале XX века, даже если ограничить рассмотрение только двумя яркими представителями русской мысли этого времени.