«Новое измерение мира» Н. И. Лобачевского

Без неевклидовой геометрии, внесшей коренные изменения в представления о природе пространства, нельзя мыслить себе развитие современной науки (релятивистской космологии, механики, квантовой электроники и т.

В III в. до н. э. древнегреческий математик Евклид в трактате «Начала» подвел итог предшествующему развитию геометрии и создал прочный фундамент для ее дальнейшего прогресса. Сочинение Евклида оставалось на протяжении веков (вплоть до нашего времени) образцом совершенства научной мысли и на два с лишним тысячелетия безраздельно воцарилось в школьном преподавании. Однако не было недостатка и в критике отдельных его установок и рассуждений. Немало комментаторов упрекало его в логической слабости, невыдержанности исходной базы, фундамент из отправных определений, аксиом и постулатов приходилось подкреплять другими, изначально не выраженными основаниями.

Лобачевского не удовлетворял тот факт, что за многие столетия, протекшие со времен

Евклида, происхождение истин геометрии из свойств материальных тел природы, по существу, оставалось непроясненным. Наши понятия о поверхностях и линиях, говорил он, порождены свойствами тел, но «никто до сих пор не предпринимал труда восходить к сим источникам, и основания геометрии остаются темными; а после этого не мудрено, что в ней и многое не выдержит строгого разбора».

В систему отправных, принимаемых без доказательств утверждений «Начал» Евклида были положены пять постулатов (аксиом) чистого геометрического характера. Из них пятый лег в основу учения о параллельных прямых, доказывавшего, что если на плоскости имеется некая прямая линия, а вне ее точка, то через последнюю можно провести лишь одну прямую линию, параллельную первой и не пересекающуюся с ней. Этот постулат оказался не столь очевидным, как все другие, и, начиная с древности, к нему было привлечено особое внимание. Многие пытались перевести его из разряда недоказуемых утверждений в разряд доказываемых теорем, однако эти попытки не увенчались успехом.

Лобачевский тоже начал было с попыток доказать указанный постулат, и, когда ему это не удалось, он решил перейти к доказательству от противного, т. е. доказать положение, что из точки, лежащей вне данной прямой, можно в их плоскости провести больше одной прямой, не встречающей данную. С безупречной логической строгостью разверты-

вал он свои рассуждения, делал вывод за выводом, но так и не смог опровергнуть сделанное им допущение. На основе его выкладок выстраивалась новая стройная совокупность теорем — своеобразная геометрия, глубоко отличавшаяся от традиционной и названная позднее немецким математиком К. Ф. Гауссом «неевклидовой».

Лобачевскому было примерно 23 года, когда у него возникли первые идеи, приведшие его в конце концов к открытию «воображаемой» (как он потом говорил и писал) геометрии.

Непонимание его идей, сопротивление им не могло, разумеется, не травмировать Лобачевского душевно, но вместе с тем убеждало в правильности предложенной им концепции. Между тем ее значение выходило за рамки собственно предмета геометрии — оно вносило качественную новизну и в методологию других направлений естествознания (не случайно, например, астрономы и физики будут искать потом опору себе в его теории), оно расковывало творческую мысль и вместе с тем теснее привязывало ее к практике.

ш

В 1835 г. Лобачевский так оценивал свои выводы: «Напрасное старание со времен Евклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самых понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и в которую хотели поверить». И далее: истинность геометрических понятий подтвердить «могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения»1.

При всей внешней парадоксальности найденных им геометрических построений он считал, что они соответствуют природе, ибо исходил из многообразия пространственных свойств самого действительного мира, которое не может быть передано лишь одной системой понятий; в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие — своей особой геометрии.

За год до смерти Лобачевского немецкий ученый Б. Риман, основоположник топологии, выступил с лекцией «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (в печати она увидела свет лишь в 1867 г.), в ней он впервые после открытия русским ученым неевклидовой геометрии продвинул вперед разработку математического учения о пространстве. Отталкиваясь от результатов, полученных Гауссом в области внутренней геометрии поверхностей, он развил учение об их кривизне и назвал такие метризованные многообразия «пространствами». Введение этих обобщенных пространств, частными случаями которых являются пространства геометрий Евклида и Лобачевского, а также геометрия пространств постоянной положительной кривизны самого Римана, открыло новые горизонты перед развивающейся математикой. Идеи и методы Римана нашли впоследствии применение и в теоретической физике. Спустя десять лет после смерти Лобачевского итальянский математик Э. Бельтрами доказал, что открытая Лобачевским геометрия соответствует поверхностям постоянной отрицательной кривизны (которые он назвал псев- досферическими). Опубликованный им в 1868 г. «Опыт толкования неевклидовой геометрии» устранял всякие сомнения относительно правильности идей русского математика. Логическая состоятельность неевклидовой геометрии в дальнейшем была подтверждена в работах таких математиков, как Ф. Клейн, А. Пуанкаре и др.

Открытие математически непротиворечивой неевклидовой геометрии ставило вопрос об истинности различных геометрических систем и ее критерии, позволяло делать вывод, что из множества непротиворечивых геометрий необходимо выбрать путем экспериментальной проверки наиболее близкую к геометрии нашего мира. Не искать среди научных моделей абсолютно истинную, единственно верную, а найти ей подобающее место—таков был подход, предложенный Лобачевским. Он нашел свое обобщенное выражение в представлениях многозначной логики, логики «возможных миров», получившей свое развитие в XX в. Влияние «воображаемой геометрии» сказалось на идеях отечественного философа и логика профессора Казанского университета Н. А. Васильева (1880— 1940), автора концепции «воображаемой логики», в которой традиционно несовместимое оказывается совместимым.

Открытие Лобачевского проложило путь совершенно новому развитию не только геометрии, но и логики, сыграло принципиальную роль в дальнейшем развитии физико-теоретических представлений.