Статьи в «Энциклопедии автоматизации». Ультраинтуиционизм

В начале 60-х годов по инициативе Акселя Ивановича Берга начало выпускаться — в рамках «энциклопедии современной техники» — энциклопедическое издание «Автоматизация производства и промышленная электроника» (ЭА).

Как известно, в каждом труде такого рода имеется свой «костяк» авторов. Был таковой и в «Энциклопедии автоматизации...». Например, статью «Алгебра логики» для ЭА написал А. И. Китов (один из пионеров кибернетики), а статью «Алгоритм» — Н. А. Криницкий (тоже из первых кибернетиков). Но были и такие логические статьи, за которые подобные авторы не брались. Поэтому нечего удивляться, что меня привлекли к участию в данном издании.

Во втором томе этого издания напечатана моя большая статья «Логика» (восемь с половиной столбцов). А статьи «Логика математическая» и «Логика многозначная» я рекомендовал заказать Ю. А. Гастеву, статью же «Логика модальная» — А. С. Есенину-Вольпину. Все эти статьи теперь опубликованы, и мы можем судить об их содержании.

Статью о математической логике— огромную, свыше 12 полос — я не могу признать удачной. Конечно, в ней корректно излагается и исчисление высказываний, и исчисление предикатов, и формальная арифметика, говорится о проблемах разрешения и непротиворечивости логико-математических исчислений, о программе Гильберта и теоремах Гёделя. Но странно выглядит то, что, не объяснив, а только упомянув «программу Гильберта», автор пускается в рассуждения о том, что «метатеоретические доказательства непротиворечивости проводятся средствами теорий более сильных, чем те, для которых доказывается непротиворечивость»[69], о гильбер- товском же «финитизме» речь заходит уже после рассказа о парадоксах логики и теории множеств и известных теорем Гёделя.

Стоит сказать, как Ю. А. в этой статье характеризует «точку зрения ультраинтуиционизма», которую начиная с 50-х годов развивал А. С. Есе- нин-Вольпин, сын великого русского поэта Сергея Есенина. Софья Александровна Яновская относилась серьезно к этому направлению, будучи убеждена, что эта концепция должна по крайней мере учитываться при рассмотрении философско-математических проблем. Во второй половине 50-х годов автор этих строк слушал на механико-математическом факультете МГУ лекции А. С., излагавшего этто свое учение.

А. А. Гастев считал ультраинтуиционизм дальнейшим развитием интуиционистской концепции обоснования математического знания, концепции, которая, как известно, отвергает универсальную значимость принципа исключенного третьего.

Гастев писал:

Ультраинтуиционистская критика математических рассуждений, оспаривающая законность и многих приемлемых даже с точки зрения интуиционизма понятий классической математики, позволила в то же время существенно продвинуться на пути установления непротиворечивости аксиоматической теории множеств (а значит, и всей содержательной математики). Этот факт не вступает в противоречие с теоремой Гёделя (о неполноте формализованной арифметики. — Б. Б.), поскольку используемые для ультраинтуиционистского обоснования теории множеств понятия не формализуются в рамках ФА (формальной арифметики. — Б. Б.) (и вообще в какой бы то ни было формальной системе), опираясь непосредственно на содержательную убедительность исходных предпосылок[70]

Одной из первых подробных изложений ультрантуиционистского понимания логического обоснования математики было представлено в публикация автора этой концепции, увидевшей свет в вышедшем в 1959 году сборнике, в числе редакторов которого была С. А. Яновская[71]

Здесь следует сказать, что ультраинтуционизм до сих пор остается все же неким экзотическим направлением в обосновании математики, хотя создатель этой концепции неустанно дополнял и развивал ее. В частности, он изложил ее в работе «Об антитрадиционной (ульраинтуиционистской) программе обоснования математики и естественно-научном мышлении», по свидетельству В.

Мы читаем у В. К. Финна, что в данной работе высказывается крайне важная мысль о том, что :

имеется возможность формировать быстрый логический прогресс в гуманитарных науках, что отвечает и общечеловеческим целям. Культ алогизма пытаются под- ісрепить известными теоремами А. Черча о неразрешимости логики предикатов первого порядка [т. е. без кванторов по предикатам] и теоремой К. Геделя о непоноте теорий, содержащих арифметику. Однако эти теоремы говорят о некоторых глубоких свойствах указанных формальных систем, не опровергая необходимости формализации рассуждений и стремления к логической стргости в слабо фоормализованых науках[73].

Согласно данной концепции, которую принимал и Ю. А. Гастев, логика как наука формализует и доставляет аналитические средства, которые используются в творческой деятельности в широкой сфере познания — математике, естественных и гуманитарных науках. Отсюда противостояние «упоению» применением математики во внсматсматичсских (и внелогических) областях, внимание к модальностям и многозначным логическим исчислениям, поскольку они расширяют возможности представления рассуждений гам, где они слабо (или еще не-) получили формальную экспликацию.

Неслучайно поэтому, что статью в ЭА о модальной логике написал I хенин-Вольпин, а статью о многозначной логике — Гастев. Относительно статьи «Логика многозначная» замечу, что при изложении трехзначной логики (Я. Лукасевича) была использована бесскобочная символика польской логической школы и в силу характера данного издания было указано па то, что многозначная логика может потребоваться для описания релей- по-контактных схем, составленных из трех- и более позиционных элементов.

Очень выразительна характеристика модальностей, данная в соответствующей статье. Модальная логика определяется в ней как раздел логики, в котором изучаются «свойства логических операций, именуемых модальностями и обозначаемых так называемыми модальными словами „возможно", „необходимо" и т. п., а также правила употребления этих операций в рассуждениях»[75]. Указав, что, например, слово «можно» в зависимости от контекста и ситуации может иметь смысл фактической возможности, возможности оносительно правил игры и т. п., а слово «необходимо» может выражать и логическую, и фактическую необходимость, автор статьи писал:

Уточнение смысла модальных слов требует в каждом отдельном случае указания на конкретную ситуацию, в которой было применено предложение, содержащее данное модальное слово,

указывая, что понятие «закона природы» требует модальность необходимости, а «всякое истолкование абстракций связано, в той или иной мере, с модальностью возможности»[76]

Тезис о том, что развитие модальной логики имеет важное значение для работ по машинному моделированию сложных форм умственной деятельности, представлял собой положние, которое в равной мере принимали Есенин-Вольпин и Гастев.