<<
>>

Сети Петри

Для анализа взаимосвязей процессов целесообразно использование сетей Петри.

Сети Петри первоначально были предназначены для описания взаимодействующих компонентов аппаратуры различного назначения, в частности вычислительных систем, однако впоследствии выяснилось, что оии позволяют анализировать вычислительные процессы произвольной природы.

Сеть Петри состоит нз четырех элементов: множества позиций Р, множества переходов Т, входной функции I и выходной функции О.

Входная функция I отображает переход t в множество позиций I(t), называемых входными позициями перехода. Выходная функция О отображает переход t в множество позиций O(t), называемых выходными позициями перехода.

Практически более удобно представление сети Петри в виде графа с двумя типами вершин - кружки иа-графе обозначают позиции, а планкн - переходы. Дуги от кружков к планке t обеспечивают задание входной функции, а дуги от планки к кружкам - выходной функции.

Применительно к формализации процессов получаем следующие соответствия: •

планки соответствуют вычислительным процессам, •

кружки соответствуют данным, событиям и условиям.

Если от кружка к планке проведена дуга, то кружок обозначает входное данное, событие или условие для соответствующего процесса. Если от планки к кружку проведена дуга, то кружок обозначает выходное данное, событие или условие.

Маркировка сети Петри представляет собой присвоение фишек позициям сети. Фишки являются метками позиций и на графе обозначаются точками внутри кружков. Количество фишек в каждой позиции может быть произвольным.

Процесс перераспределения фишек в сети называется выполнением сети Петри. Фишки находятся в кружках и управляют запуском переходов в сети. Переход запускается удалением фишек из всех его входных позиций и образованием новых фишек, помещаемых во все его выходные позиции.

Введем понятие вектора маркировки, в котором число элементов равно числу позиций в сети, а значением элемента является количество фишек в соответствующей позиции.

Одной из центральных аналитических задач для процессов, описываемых сетью Петри, является задача определения достижимости маркировки, когда для исходного вектора маркировки требуется установить существование последовательности переходов, после выполнения которой достигается некоторый заданный выходной вектор маркировки.

Применительно к вычислительным процессам в ЭИС с помощью анализа достижимости маркировки устанавливается последовательность действий, позволяющая получить требуемые данные, условия или события.

Один из наиболее элементарных методов анализа достижимости маркировки заключается в следующем.

Структура сети Петри описывается двумя матрицами D' и D ", число строк в которых равно числу переходов в сети, а число столбцов равно числу позиций.

Матрица D' называется матрицей входов и содержит 1 иа пересечении і-й строки и j-ro столбца, если j-я позиция является входной для і-го перехода (в обратном случае элемент равен 0).

Матрица D " называется матрицей выходов и содержит 1 на пересечении і-й строки и j-ro столбца, если j-я позиция является выходной для і-го перехода. Вектор х называется вектором запуска переходов. Число элементов в х равно числу переходов, а значение каждого элемента определяет количество запусков данного перехода в процессе выполнения сети Петри. Если исходный вектор мар- кировки обозначить mO, а результирующую маркировку - через ml, то достижимость маркировки ml равнозначна существованию вектора х с неотрицательными целыми элементами, который служит решением уравнения ml = mO + x(D " -D).

Пример

Рассмотрим фрагмент сети Петри на рис. 5.3. Исходная маркировка т0=(1,1,0,0,0,0,0) соответствует наличию в системе двух корректно вычисленных файлов данных. Определим достижимость маркировки ml=(0,0,1,0,0,1,1) для файлов с результирующей ин-

1 1 0 0 0 0 О

0 0 ( 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 10 0

0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0

0 О 0 0 I о о

0 0 0 0 0 1 I

формацией. Состояния матриц D' и D " показаны ниже.

225

5-2095

Решением уравнения служит вектор запуска х=(1,0,1,1). Это означает, что требуемые выходные файлы можно получить в результате выполнения процессов с номерами I, 3, 4.

5.3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрение параметров вычислительной системы (ВС) позволяет анализировать производительность ЭВМ и ее отдельных устройств.

Чтобы количественно определить меру производительности, надо установить элементарную единицу работы для ВС. В режиме пакетной обработки данных единицей работы является задание, которое пользователь представляет операционной системе как единое целое.

При интерактивной обработке единицей работы является взаимодействие, состоящее из двух частей - системной и терминальной.

Системная часть взаимодействия - это обработка команды, поданной пользователем с терминала. Терминальная часть соответствует действиям пользователя начиная от получения результата выполнения предыдущей команды до подачи следующей команды. Время терминальной части взаимодействия называется временем обдумывания.

Рабочей нагрузкой ВС называется совокупность поступающих на обработку программ, данных и терминальных команд за некоторый период времени. Обычно предполагается, что рабочая нагрузка нечувствительна к изменениям производительности вычислительной системы, однако ускорение выполнения заданий и терминальных команд иногда вызывает нх более частое применение пользователями.

Исходные данные для расчета производительности ВС и ее отдельных устройств получаются экспериментально с помощью аппаратных или программных измерительных систем.

Параметры, которые обычно фиксируются программными измерителями, приводятся в табл. S.I.

Расчет производительности работы вычислительной системы и ее отдельных устройств будем производить методами операционного анализа. Таблица 5.1. Эксплуатационные параметры ВС Параметр Обозначение Количество выполненных заданий С Полезное время т Время выполнения заданий В Время реботы процессора В(1> Число обращений к магнитным дискам d Количество напечатанных строк п Число сеансов работы в диалоге m Суммарное время сеансов V Зафиксируем некоторый период наблюдений за ВС и обозначим его через Т. Время, в течение которого система обрабатывала задания, обозначим через В(0) (В(0) <= Т), а количество обработанных заданий - через С(0). Индекс 0 описывает параметры вычислительной системы как единого целого. В ряде случаев ои опускается, чтобы ие усложнять формулы. Определим основные параметры. 1.

Коэффициент использования U(0) = В(0) / Т. 2.

Среднее время выполнения одного задания S(0)=В(0) /С(0). 3.

Интенсивность выходного потока заданий Х(0) = С(0) / Т. Величина X иначе называется пропускной способностью ВС

и часто принимается в качестве критерия производительности ВС, который необходимо максимизировать.

Отметим очевидное соотношение Х(0) - U(0)/ S(0) и учтем возможность представления S(0) в виде

S(0) = Ft,

где F - среднее количество хоманд в задании, ! - время выполнения одной команды.

Величина F зависит как от аппаратуры, так и от программного обеспечения, поэтому настройка ВС часто предполагает и изменение конфигурации ВС, и усовершенствование применяемых программ.

Реальная ВС состоит из нескольких устройств, и задание в процессе выполнения захватывает в определенной последовательности одно из иих.

Для отдельных устройств целесообразно рассмотреть следующие величины:

C(i) - количество заданий, покинувших і-устройство за период времени Т;

C(i j) - количество заданий, покинувших і-устройство и поступивших в j-устройство за период времени Т;

В(і) - время занятости і-устройства за период времени Т.

Условимся о стандартных номерах устройств: 1

- центральный процессор, 2

- магнитный днск-сервер, 3

- принтер-сервер.

Охоичание обработки задания системой будем рассматривать как переход к нулевому устройству.

Принятые обозначения удобны для замкнутой системы, в которой каждое выполненное задание немедленно заменяется новым заданием с идентичными статистическими характеристиками.

Для отдельных устройств определяются коэффициент использования U(i), среднее время занятости устройства заданием S(i), интенсивность выходного потока заданий с устройства Х(і) по формулам:

U(i) = В(ІУГ, S(i) = B(iyC(i), Х(і) = С(і/Г = U(i)/S(i).

Введем дополнительные параметры устройств. 4.

Вероятность перехода задания от устройства і к устройству j-q(ij):

q(ij) = C(ijyC(i),Xq(ij)=l.

Вероятности вида q(0 j) характеризуют поступление новых заданий.

Обычно q(0,l) = 1, aq(Oj) = 0 для j > 1. Практически всегда справедливо соотношение q(i,i) = 0. 5.

Коэффициент посещения устройства і - V(i)

V(i) = Х(і)/Х(0) = С(і)/С(0).

Из определения q(i j) следует соотношение СО) = C(i)q(ij).

Делим лбе части иа Т и получаем X(j) = SX(i)q(ij).

После деления иа Х(0) имеем с учетом V(0) - 1 V0) = q(0j) + SV(i)q(ij).

Данное уравнение имеет особенно простые решения, если лишь К из величин q(ij) находятся в интервале 0 1). Этому условию соответствуют, например, системы с одним центральным устройством (процессором), когда от остальных устройств возможен переход только к процессору. Второй важный случай - локальные вычислительные сети с одной ЭВМ-сервером и соединением типа "звезда".

6. Среднее время ответа устройства і - R(i)

R(i) = W(iVC(i), где W(i) - сумма времени ожидания и выполнения заданий.

Справедливы соотношения W(i) >= B(i) и R(i) >= S(i).

Средняя длина очереди к устройству составляет n(i) = W(iyT, поэтому

R(i) = W(i)/C(i) = n(i)T/C(i) = n(i)/X(i).

Это равенство называется законом Литтла. Сумма средних длин очередей к устройствам представляет собой коэффициент мультипрограммирования N

N = ? n(i) = EW(i/r = W/Г,

где W - суммарное старт-стопное время выполнения заданий при условии, что период наблюдения Т не содержит простоев ВС.

Среднее время ответа вычислительной системы R(0) определяется как

R(0) = N/X(0) = En(i)/X(0) = ?V(i)R(i).

Функциональные связи устройств ВС удобно описывать в виде графа с вершинами, которые обозначаются номерами устройств і = I ...К и дугами (i j) при условии, что q(i j) > 0. Мы детально рассмотрим два класса ВС, показанных иа рис. 5.4. Они являются системами с центральным устройством, для которых уравнения для коэффициентов посещения преобразуются к виду: X(0) = X(l)q(l,0)

?X(K)

Х(1) = Х(0) + Х(2) + Х(3) -»

X(i) = X(l)q(l,i)

V(l) = l/q(l,0)

V(i) = q(l,iVq(l,0) 43

М терминалов б

Рис.

5.4. Простейшие функциональные схемы ВС (обратные дуги с q (і, I) ~ 1 не показаны): а - система А. Центральный процессор с двумя каналами ввода-вывода и запуском заданий в пакетном режиме; б - система В. Интерактивная нагрузка создается М-терминалами Системой с центральным устройством является как локальная ЭВМ, так и сеть ЭВМ с соединением типа "звезда". В последнем случае "устройствами" считаются отдельные ЭВМ.

Вычислительные сети с соединениями ЭВМ по типу "звезда" относятся к ВС типа В. Компьютер-сервер содержит процессор-сервер (устройство 1), днск-сервер (устройство 2), принтер-сервер (устройство 3) и т.д. Компьютеры-хосты соответствуют отдельным терминалам ВС типа В. Когда компьютер-хост работает автономно от сервера, мы имеем терминальную часть взаимодействия (обдумывание). В случае приема/передачи данных и захвата при этом ресурсов сервера мы имеем системную часть взаимодействия.

Под настройкой действующей вычислительной.системы понимают процессы изменения ее конфигурации и регулирования ее параметров, направленные иа увеличение ее производительности. Методы настройки ВС, рассматриваемые здесь, можно применять как для автономно работающей ЭВМ, так и для ЭВМ в состаяе вычислительной сети. В первом случае необходима разработка специальных программ, фиксирующих время выполнения заданий, а во втором - необходимые измерения входят в состав статистики транзакций, фиксируемой сетевым программным обеспечением.

Выполняемые задания создают различную нагрузку для отдельных устройств ВС. С увеличением числа одновременно выполняемых заданий (т.е. коэффициента мультипрограммирования N) у всех устройств ЭВМ будут расти значения коэффициентов использования U(i). Устройство с номером d, которое первым достигнет значения U(d), практически равного 1, станет создавать основные задержки для выполняемых заданий; оно называется насыщенным устройством. Для увеличения производительности ВС можно заменить насыщенное устройство на более быстродействующее либо снизить нагрузку на него путем изменения структуры БД и модификации программ пользователей.

Для характеристики насыщенного устройства воспользуемся соотношением

U(i)/U(j) = (V(i)S(i))/(V(j)S(j)), которое следует из определения коэффициентов посещения V(i).

У насыщенного устройства d U(d) = max{U(i)} и, следовательно,

V(d)S(d) = maxfV(i)S(j)}.

При возрастании коэффициента мультипрограммирования N имеем U(d) -» і и получаем X(d) = 1/S(d).

Поскольку V(0) = 1, справедливо равенство X(0)/X(d) = 1/V(d), и, следовательно, интенсивность выходного потока заданий не может превышать величины

Если в выражении для среднего времени ответа учесть неравенства S(i) <= R(i), то получается минимальное среднее время ответа R " = V(i)S(i), характерное для коэффициента мультипрограммирования N = 1.

Интенсивность выходного потока заданий Х(0) в зависимости от N ограничена асимптотами, показанными иа рис. 5.5.

Для увеличения интенсивности выходного потока заданий существуют следующие возможности настройки ВС.

I. Заменить насыщенное устройство на более быстродействующее. Это приведет к уменьшению S(d) и росту X'. 2.

Заменить хранение производной информации на ее динамическое вычисление или, наоборот, в зависимости оттого, какое устройство является насыщенным - магнитный диск или пропессор. В этом случае уменьшится V(d}. 3.

Модифицировать прикладную программу, чтобы сократить число команд, выдаваемых на насыщенное устройство. 4.

Если насыщенным является внешнее запоминающее устройство, то в качестве временной меры можно осуществить реорганизацию файлов на этом устройстве.

Насыщенным устройством на практике обычно оказывается центральный процессор илн система магнитных дисков.

Основное соотношение, описывающее вычислительную сеть типа В, получается на основе закона Литтла. Среднее время одного терминального взаимодействия складывается из системного времени ответа R и времени Z обдумывания ответа пользователем. По закону Литтла выражение (R + Z)X(O) определяет среднее число терминальных взаимодействий, т.е. число включенных терминалов М. Отсюда

R = (М/Х(0)) - Z.

Когда число терминалов М = 1, среднее время ответа R = R(0). С увеличением М выходной поток заданий Х(0) будет возрастать, ио не более величины Х(0) = l/V(d)S(d). Таким образом,

R >= (MV(d)S(d))-Z.

Для больших М среднее время ответа R (рис. 5.6 ) имеет асимптоту, определяемую выражением MV(d)S(d) - Z. Ориентировочно величина

M(d) = (MV(d)S(d)) - Z считается максимально допустимым количеством терминалов. При М >- M(d) отмечается резкий рост среднего времени ответа. R

M

С течением времени возрастает опыт пользователей, работающих с ВС. С точки зрения производительности сети типа В это означает в первую очередь уменьшение времени обдумывания Z и увеличение среднего времени ответа R. При неизменном числе терминалов возрастает коэффициент использования U(d) насыщенного устройства, что приближает момент проведения настройки ВС или других мероприятий по модернизации ВС. Одним нз допустимых решений является сокращение числа активных терминалов путем перехода к иерархической сетевой архитектуре, когда "избыточные" терминалы получают доступ к собственному серверу, соединенному с основным сервером сета.

Выбор терминалов для нижних уровней иерархии сети из числа уже действующих терминалов производится методами кластерного анализа на основе измерения близости информационных потребностей у пользователей действующих терминалов.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Изобразите сеть Петри для следующих матриц входов и выходов. D"=|

1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1 10 0

І 0 0 1 I 1 о о

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 J

0 0 0 0 0 1 1 2. По результатам измерений среднее время выполнения одного запроса на ЭВМ составляет 2 мин. Интенсивность потока запросов - 20 запросов в час. Чему равен коэффициент использования ЭВМ?

<< | >>
Источник: Мишенин А. И.. Теория экономических информационных систем: Учебник. - 4-е изд., доп. и перераб. - М.: Финансы и статистика. - 240 с. 2002

Еще по теме Сети Петри:

  1. Ф. А. ПЕТРОВ ОРГАНЫ САМОУПРАВЛЕНИЯ В СИСТЕМЕ САМОДЕРЖАВНОЙ РОССИИ: ЗЕМСТВО В 1864—1879 ГГ.
  2. Семантические сети для представления знаний
  3. Сети Петри
  4.    Петр в Амстердаме
  5. Структура работы.
  6. 2.7. Имитационная модель формирования расписания в ГПК
  7. 2.8. Выводы
  8. 381 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
  9. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
  10. ПРИЛОЖЕНИЯ
  11. ЧААДАЕВ ПЕТР ЯКОВЛЕВИЧ