И. DIVINA SIVE AUREA SECTIO. {ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ) 1

В подлиннике над словом «тождественного» написано карандашом «равного».— 460. 3

На полях карандашом приписка: «см.

Учение Шеллинга о полярности как о всеобщем законе бытия содержится в его сочинении «Von der Weltseele. Eine Hypothese der hoheren Physik zur Erklarung des allgemeinen Organismus, oder Entwick- lung der ersten Grundsatze der Naturphilosophie an den Principien der Schwerc und des Lichts» (1798). Имеется неполный русский перевод в кн.: Шеллинг Ф. В. Й. Соч. Т. 1. М., 1987. С. 89—181. Основные примеры полярности у Шеллинга также относятся к области электромагнитных явлений.—462. 5

Согласно Каббале, полярность или двойственность в мире происходит вследствие грехопадения (одним из средств восстановления первоначальной целостности может быть священный брак). Выражением полярной структуры мира является мировое дерево, представляемое в Каббале десятью сферами Зефирот. «И, следовательно, вы и сами подвергаетесь опасности, ибо все, что происходит от дерева познания, несет в себе двойственность» (Zogar, I.fol 266; цит. по нем. переводу: Der Zogar (das Heilige Buch der Kabbala). Koln, Diederichs, 1986. C. 64). Книга «Зогар» является одним из основных сочинений Каббалы. Историю и основные принципы последней см. Scholem <7. Kabbalah. N. Y., 1978; Он же. Zur Kabbala und ihrer Symbolik. Frankfurt, 1960. Флоренский посвятил изучению Каббалы особый курс лекций 1915 г. См. также: Столп и утверждение Истины. С. 172, прим. 462. С. 731.— 462. 6

Вопрос о связи мира трансцендентного (невидимого) и мира эмпирического (видимого) рассматривается также в «Иконостасе» (Наст. изд. Т. 2. М., 1996. С. 419—420). По-видимому, желание построить математическое описание этой связи привело о.

В оригинале вместо «различения качеств» было сначала «разнородности».— 463. 8

Слово «частей» написано карандашом сверху.—463. 9

Слова «частей пространства» написаны карандашом сверху.—

463. 10

Zeising Adolf (1810— 1876) — преподаватель гимназии в Ангальте (область в Восточной Германии). Hermann Conrad (1818—?) — немецкий философ, последователь Гегеля. Профессор университета в Лейпциге. Основные работы по эстетике, философии истории, логики и языкознания.— 464. 11

Missverhaltnis (нем.) — несоразмерность, диспропорция, несоответствие.— 465. 12

О роли золотого сечения во временной организации античных трагедий см. Приложение 2.—465. 13

В тексте Флоренского здесь вместо т2 стоит М.— 465. 14

Чертеж был выполнен Флоренским неправильно, что он сам заметил и карандашом на полях написал: «чертеж неверен: надо ОВ=АВ». Чертеж исправлен.— 466. 15

Mobius August Ferdinand (1790—1868)—немецкий математик и астроном. Большую часть жизни был директором обсерватории в Лейпциге. Основные работы посвящены геометрии и ее приложениям к механике. Среди его открытий—барицентрическое исчисление и знаменитый лист Мёбиуса (1858)—пример односторонней поверхности. Последний был использован о. Павлом в его книге «Мнимости в геометрии» дїія описания геометрической структуры мира в «Божественной комедии» Данте.—467. 16

Fechner Gustav Thcodor (1801 —1887)—немецкий физик, философ, психолог и сатирик.

17 Члены этого ряда называются числами Фибоначчи (более общо, числами Фибоначчи называются элементы последовательности и„, удовлетворяющей условию un = un-i+un-2 и имеющей произвольные начальные значения и і и и2). Первое их появление связывается с именем Леонардо из Пизы, по прозвищу Фибоначчи. Он обнаружил эти числа в 1202 г. в связи с задачей подсчета числа размножающихся кроликов. Связь последовательности ия с золотым сечением О, помимо отмеченного в тексте соотношения Ия+і/иц-^O, выражается еще и так:

Ои = и, + и„-іО, «„+і = 0"„ + (-1)й0"й.

Подробнее о числах Фибоначчи см.: Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. М., 1978; Huntley Н. Е. The Divine Proportion. N. Y., 1970; Cleyet- Michaud M. Le nombre d'or. Paris, 1973. Имеется даже специальный журнал The Fibonacci Quarterly. Многовековые исследования произведений искусства (картин, статуй и зданий) привели к представлению о наличии в их пропорциях золотого сечения и чисел Фибоначчи (как приближений к О)- См. по этому вопросу: Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. М., 1936; Пидоу Д. Геометрия и искусство. М., 1979; Вейль Г. Симметрия. М., 1968, и литературу, указанную далее в примеч. 2 к разделу И. Наибольшую известность числа Фибоначчи получили в связи с явлением филлотаксиса в ботанике. Судя по черновым материалам к рукописи, это явление весьма интересовало о. Павла (среди листков, вложенных в рукопись, имеется следующее его замечание: «Особенно поговорить о законе листорасположения и его выражении <нрзб.) подходящими дробями О или других более сложных выражений для О»).

Явление филлотаксиса состоит в том, что спиралевидное расположение листьев или побегов на стволе растения связано для данного вида с некоторой последовательной парой чисел Фибоначчи.

Jean R. V. Mathematical Approach to Pattern and Form in Plant Growth. N. Y., 1984; Prusinkiewicz P., Lindenmayer A. The Algorithmic Beauty of Plants, Springer. N. Y., 1990; Левитов Л. С. Числа Фибоначчи в ботанике и физике: филлотаксис. Письма в ЖЭТФ. Т. 54. 1991. С. 542—545). Чрезвычайно интересная попытка связать явления филлотаксиса с наличием конформной симметрии у растений и животных (числа Фибоначчи возникают также при рассмотрении спиралевидных наростов на раковинах некоторых простейших) сделана в кн.: Петухов С. В. Биомеханика, бионика и симметрия. М., 1981. Вся история объяснений филлотаксиса (и шире, природы золотого сечения) состоит в борьбе двух направлений: феноменологического, пытающегося вывести эти явления из уже известных «естественных» законов, и противоположного подхода, усматривающего в них принципиально новую фундаментальную закономерность. Последнее направление восходит к пифагорейской школе (Mattei J.-F. Pythagore et les Pythagoriciens. Paris, 1993).—467.