II. DIVINA SIVE AUREA SECTIO.1 (ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ)

Что есть целое? Целое мы противополагаем частям. Чем же, в чем они, т.

Связанные * между собою, полюсы не существуют порознь, но друг с другом не только не отождествляются, не сливаются, не неразличаются друг от друга, но и, напротив, противостоят один другому. Нет ничего более противоположного полюсу, чем другой, сопряженный ему полюс. Но вместе с тем и даже именно вследствие того, нет ничего столь связанного с полюсом, чем другой полюс. Вместе друг с другом и против друг друга—таково единство в многообразии полюсов магнита. Магнит не есть целое в точном смысле слова, но он весьма подходящий образ целого.

То же расчленение единства первичного множественностью—двойственностью—с первичным многообразием—по- лярностию—видим в электричестве3. Электричество положительное и электричество отрицательное—вот полюсы электрического единства. Однако здесь у вас может возникнуть недоуменный вопрос: но разве электричество не может быть дано врозь, то как положительное, то как отрицательное? Разве положительное и отрицательное электричество непременно суть расчленения во множественности первичного единства, а не самостоятельные простые единства? Такой вопрос имеет основание, но лишь кажущееся: связь полюсов магнита отчасти видна— это кусок магнитной стали; а связь полюсов электричества не видна совсем или в большинстве случаев не видна. Но она есть так же, как и в случае магнита, и реализуется силовым полем. Если есть где бы то ни было положительное электричество, то непременно есть и равное ему сопряженное количество отрицательного, связанное с положительными силовыми линиями. Но линии эти, протягиваясь в диэлектрической среде, разъединяющей (а точнее, соединяющей) два электрические полюса, невидимы и потому их легко упустить из виду человеку, не занимающемуся физикой.

Не только магнетизм и электричество, но и все явления обнаруживают полярное раздвоение на две сопряженных и противоположно устремленных силы. В философии Шеллинга

? 1917.Х.19. Ночь.

учение о полярности всего бытия было разработано особенно внимательно4. Каббала же и учения, производные от Каббалы, видят в полярности верховное начало всей онтологии, начиная от Вечного и кончая самой ничтожной тварью5. Всюду господствует, по ним, закон полярного расчленения и сочетания противоположностей.

II) Мы говорим о связи полюсов посредством линии сил, посредством поля сил. Но выражение это неточно: не полюсы связуются полем сил, а напротив, поле сил расчленяется на полюсы. Единство—поле сил—является во множестве—полюсах. Но не единство составляется множеством, а во множестве является единство. Поле сил и есть, несколько условно говоря,—целое, т. е. единство во множестве.

Единство во множестве называется идеей. Полюсы, являющие идею, будучи неразрывны, в то же время и взаимо-проти- воположны. Идея, единая в себе, является как сопряженность антиномически противолежащих полюсов,—как антиномия. Целое—в явлении своем—есть противоречие «да» и «нет». И напротив, наличность неразрывно связанных «да» и «нет» заставляет искать того единства, той идеи, которая в этой антиномии раскрывается. Антиномичность—залог цельности, т. е. идеи, т. е. сверх-чувственности. Напротив, простое единство свидетельствует о неполноте, эмпиричности и нецельности явления. В этом смысле можно сказать, что полюсы—это начало и конец явления сверхчувственного в области чувственной, места входа и выхода ИДЕИ в мир эмпирический 6.

III) В таком случае возникает вопрос об эмпирическом выражении единства идеи. Что служит наглядным явлением единства идеи? Другими словами: что наглядно свидетельствует о единении полюсов? Или, еще: что говорит о единстве, которое раскрывает себя как многообразие? Чтобы быть единством, многообразие должно быть связанным.

IV) Прежде всего попробуем наметить эту формулу приблизительно. Речь идет о расчленении целого в пространстве и времени. Но сказано уже, что расчленение есть расчленение качественное. В пространстве и времени формальными знаками различия качеств7 может быть только различие в экстенсйвности и в про- тенсивности—в протяжении и длительности. Качественная разница частей является в пространстве и времени как количественная разница их (т. е. частей) явлений. Следовательно, из двух полярно-сопряженных частей одна должна быть большей (М), другая — меньшей (т), ибо только «больше» и «меньше» могут различать пространственно-временные образования.

Возвращаясь к той же мысли с иной стороны, мы должны сказать: части не могут быть равны, ибо тогда было бы безразличие их и взаимозаменимость. Следовательно, одна должна быть больше другой.

Следовательно, искомая нами формула соотношения частей должна возникнуть из сравнения частей. Таким сравнением может быть лишь измерение одной части другою. Иначе мы не получаем отвлеченного числа, которое было бы мерою соотношения, а лишь отрезок, который сам по себе есть лишь наглядная единичная величина и ничего не говорит вообще о соотношении. С другой стороны, не может быть и измерения отрезков некоторою единицею длины, ибо она была бы произвольная <функция> отношения наших отрезков и, следовательно, в результате вводила бы некоторую произвольную величину, не связанную с тем целым, которое расчленяет себя в виде наших отрезков.

т

как отношение одного отрезка к другому, как —

М

В чем же особенность отношения этих отрезков [частей]8 сравнительно с отношением каких-либо других произвольно выбранных отрезков [частей пространства ]9? Очевидно, в том, что они суть отрезки не какие-либо, но образующие одно целое Ту которое есть М+т*. Другими словами, деление целого Т должно быть таково, чтобы по частям наша мысль восходила

? 1917.Х.20. Пятница. Утро.

к целому, поняла целое, как целое именно этих частей. Но их всего две. Стало быть, мера сравнения частей должна быть и мерою целого при сравнении с одною из частей. Эта последняя часть должна быть соединительным звеном для мысли при переходе от другой части к целому. Следовательно, она должна быть большею, чем другая часть, во столько же раз, во скольку целое больше ее. Иначе говоря, отношение частей должно являть в себе отношение целого к части. Или, еще иначе, то число, которое характерно для целого, измеренного своею частью, своим содержанием, должно быть характерно для всех отношений дальнейших делений или расчленений целого, при непрерывности промежуточного звена—меры—большей части деления. Этим единством числа, золотого деления, обозначаемого символом 0> выражается единство целого во всем многообразии его расчленений. V)

Приблизительно в таком роде, но менее строги, попытки дедукции О, найденные мною в литературе. В особенности заслуживают быть упомянутыми выведения Цейзинга и Германна10.

Цейзинг (Asthetische Forschungen von Adolf Zeising. Frankfurt a/M., 1855) в § 168 своих «Эстетических исследований», на стр. 180 рассуждает так: «Пропорциональность покоится на согласии (Uebereinstimmung, гармонии) между целым и его частями, составляющими отношение. Если спросить себя, сколько же именно отношений может существовать между целым и его частями, и при этом принять во внимание, что части должно мыслить как неравные, то находится, что их может быть только три, а именно: 1) отношение между меньшей и большей частью, 2) отношение между большей частью и целым и 3) отношение между меньшей частью и целым.

Если целое, разделенное на неравные части, должно являться формально прекрасным, то меньшей части необходимо относиться к большей части именно так, как большая часть относится к целому.

И эта мысль есть именно установленный нами закон пропорциональности» (S. 180). Такова дедукция Цейзинга. VI)

С другой стороны подходит к тому же закону Германн (Hermann, Die Aesthetik in ihrer Geschichte und als wissenschaf- tliches System, Lpz. Fleischer, 1876, S. 241). «Это отношение золотого сечения,—говорит он,— есть такое разделение целого, которое производится исключительно только внутри границ этого последнего или которое покоится не на переносе откуда- нибудь [нрзб. ] чуждой или данной пропорции. Неравенство или несоотношение (?) (Missverhaltnis1А) этих частей здесь опять- таки, снимаясь посредством другого, содержащегося в самом целом, неравенства, в нем берется обратно или скорее оправдывается». Далее Іерманн применяет эти рассуждения к трагедии12 (цитату заимствую из статьи: Schldmilch,— Philosophische Aphorismen eines Mathematikers. «Zeitschrift fur Philosophie und philosophische Kritik», Neue Folge, Bd. 70, Halle, 1877, S. 12).

VII). Таковы первые дедукции золотого сечения. В дальнейшем мы попытаемся углубить и полнее оформить наши соображения. А сейчас закрепим сказанное математическими символами.

Из сказанного следует, что золотое сечение—aurea sectio или, как его называют иначе,— божественное деление, divina sectio определяется уравнением:

т М

где М—Major, т—minor, Г—totum, или, при перестановке членов пропорций,

(2)

т М откуда

М2 = тТ. (3)

Отсюда, принимая во внимание, что

Т=М+т, (4)

находим:

Мг-т (M+m) = 0 (4.)

или

M2-wM-m2=0. (5)

Разделив все на т2 13 и меняя знаки, находим:

л/

Xі—х— 1 =0, <х> = 0=-, (6)

т

т. е. простейшее квадратное уравнение, определяющее О как М

—, т. е. при принятии т за единицу. tfl

Если бы мы взяли наоборот за единицу Л/, то тогда получили бы

х2+х-1=0, <*>=?• (7)

м Решаем уравнения: СУР. (6))

(8)

,_1±V? 2 ' (УР- (7))

(9)

-l±>/s

х— Ясно, что это те же самые корни, но взятые с обратным знаком. Другими словами, уравнение (7) не даёт ничего нового сравнительно с уравнением (6).

Мы видим, что получается два значения для О- Одно

(Ю)

другоє О

(П) тогда получаем

АВ АС' АС~ОВ

АВ _АС" ~АСГ"СГВ%

Т. е. данную величину можно двояко разделить в отношении золотого сечения. В одном случае мы должны прибавить к единице у/5, а в другом вычесть из нее. Но вычитание из единицы У/5 дает отрицательную величину. Это значит, что точка деления будет находиться не между концами нашей величины, а вне их. Іеометрически это совсем явно. Если мы делим в среднем и крайнем отношении отрезок АВ, то точка деления С может получиться как внутри (С'), так и вне его (С")

Золотое сечение есть корень простейшего квадратного уравнения. Это уже само по себе делает О достойным особого внимания и ставит наряду с выдающимися числами я и е. Но и, кроме того, свойства О весьма замечательны. Так, по указанию Мёбиуса15, О было представлено Фехнером16 в виде бесконечной непрерывной цепной дроби% и тогда оказалось, что это есть простейшая возможная непрерывная дробь, а именно: (14)

О — 14-

1 +

1 + .

Число G иррационально. Вычисление точное его в конечной дроби невозможно, а приближенное дается рядом:

О, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и т. д., (15)

где каждый последующий равен сумме двух предыдущих17. Любая пара чисел этого ряда дает приближение О- Вместо этого ряда можно взять другой, начинающийся произвольными числами:

1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, 191, ... (16)

В десятичных дробях этому ряду будет соответствовать ряд 5; 1,200; 1,833; 1,545; 1,647; 1,607; 1,622; 1,616; 1,628; ...

(17)

Более точное вычисление десятичных дробей дает отношение minor'a к Major'y:

1:1,618033988750

или

0,618033988750:1 Г (18)

или

0,381966011250:0,618033988750

minor Major

Более точное золотое сечение = 1,0000:1,6180... 1:2 = 2,0000 2:3 = 1,5000 3:5 = 1,6667 5:8 = 1,6000 8:13= 1,6250 13:21= 1,6154 21:34 = 1,6191 34:55= 1,6177 etc. VIII) 162 Внешняя и внутренняя точки золотого сечения симметричны относительно начала того целого, А, от которого

&' А Ф 0

—г- > г

С' С

откладывается меньшая часть т — АС. Что значит это свойство золотого сечения?—Оно значит, что'если бы мы представили себе наше целое А В свернутым в окружность, так чтобы А слилось с В, то внешняя точка золотого сечения С' оказалась бы симметричной точке внутреннего зол<отого> деления С и лежащей на дуге окружности, проведенной из А (= В) как центра радиусом А С. Другими словами, если целое есть воистину целое, так что начало его сливается с концом и, следовательно, действующая причина с конечной, А с Q, как и следует по Аристотелю, то внешнее деление приходится внутри ее целого, образуя фокус, симметричный первому внутреннему фокусу. И далее, если за начало принять не А у а В9 то точка С будет точкой внутреннего деления, а симметричная ей С—внешнего. Другими словами, сомкнутость полюсов ведет к образованию в целом двух фокусов, напоминающих собою полюсы и между собою сопряженных. Расстояние между ними СС

^С1=~АВ-2т = т-\- М ~2т = М = — 1 )w = 0,61803398... w, где М—Major, т = minor. (20