ОБ ОДНОЙ ПРЕДПОСЫЛКЕ МИРОВОЗЗРЕНИЯ

Впервые опубликовано: «Весы». 1904. № 9. С. 24—35. Согласно проспектам «Собрания сочинений...» 1917—1919 гг., статья включалась в «т. I. Черты отрицательной философии (статьи философско-математические)».

Печатается по изданию 1904 г. с учетом исправлений, сделанных Флоренским на экземпляре, вошедшем в сб. «Опыты 1. 1903—1910». Примечания составлены С. С. Демидовым и А. Н. Паршиным. 1

Жорж Роденбах (1855—1898)—бельгийский писатель. — 70. 2

Жорис Ворлют — герой романа Ж. Роденбаха «Выше жизни», перевод которого неоднократно публиковался в России. Приведенную цитату см., напр., в кн.: Роденбах Ж. Полн. собр. соч. Т. 1. М.: Изд. B.

М. Саблина, 1909. С. 49—50. — 70. 3

Ам 8, 11.-70. 4

Позднее, в двадцатые годы, Флоренский оценивал будущую судьбу науки более пессимистично. См.: Итоги//Эстетические ценности в системе культуры. М., 1986.— 7/. 5

См.: Ломоносов А/. В. Полн. собр. соч. М.; Л., 1950. Т. !. C.

424. — 7/. 6

Рукопись найти не удалось. — 72. 7

Нельзя перейти от одной крайности к другой, минуя промежуточное (лат.).

Лейбниц сам подчеркивал, что его взгляды на идею непрерывности сформировались под сильным влиянием его математических исследований. Помимо математики он пытался применить идеи непрерывности и бесконечно малых элементов в психологии, создав обширное учение о бессознательном (см. подробнее: ИМИ-30. С. 169). — 72. 9

Жорж Луи Леклсрк ВкхМюн (1707—1788), французский естествоиспытатель, является автором многотомной «Естественной истории». — 73. 10

Псрьс Э. Основные идеи зоологии в их историческом развитии с древнейших времен до Дарвина. СПб., 1896. С. 76. — 73. 11

Цит. по: Псрьс Э. Указ. соч. С. 77. — 7J. 12

Закона непрерывности (лат.).—73.

Теория флюксий представляет собой математический анализ, в той форме, в которой он был открыт И. Ньютоном (см., напр.: История математики с древнейших времен до начала XIX столетия/Под ред. А. П. Юшкевича. Т. 2. М., 1970). — 7J.

14 Чарльз Ляиелль (Лайель) (1797—1875) — английский естествоиспытатель, автор «Основ геологии» (1830—1833). — 74.

Георг Кантор (1845—1918), немецкий математик, является создателем теории множеств. Его основные работы в русском переводе с превосходными комментариями Ф. А. Медведева см.: Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985. По поводу встречающихся в этой и следующей статье понятий и результатов теории множеств см., напр.: Александров П. С. Введение в общую теорию множеств и функций. М., 1948. — 74.

См.: Кантор Г. Труды... С. 91. Используемый здесь термин «группа точек» синонимичен термину «множество» и ныне вышел из употребления (не путать с понятием группы в алгебре!). — 74.

" Закон непрерывности (лат.). — 75.

18 Артур Шёнфлис (1853—1923) — немецкий математик, специалист по теоретико-множественной топологии и геометрии. См.: Schoenflies А. Die Entwicklung der Lehre von Puriktmaiinigfaltigkeiten. Leipzig, 1900. Bd 1, S. 113. — 75.

Мощность, трансфинитная мощность — понятия теории множеств (см. о них литературу в прим.

Французскому математику Эмилю Борелю (1871 — 1956) принадлежат работы по топологии, теории функций действительного переменного и теории вероятностей. — 75. 21

Имеются в вицу кривые Пеано и близкие к ним. Плоский лоскут — выражение, употреблявшееся Н. В. Бугаевым, одним из учителей П. А. Флоренского по Московскому университету (см. ниже прим. 27). По поводу изложенного здесь анализа теории особых точек кривых см.: ИМИ-30. С. 174— 176. — 76. 22

Рихард Дедекинд (1831 —1916) — немецкий математик, основные работы по анализу и теории чисел. — 76. 23

См.: Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. § 3. Одесса, 1894. С. 15. — 77. 24

Имеется в виду обстоятельное изложение теории множеств Кантора, данное Б. Керри {Kerry В. Uber G. Cantor's Mannlg- faltigkeitsunlersuchungen//Vierteljahrschrift fur wissenschaftliche Philosophic. 1885. Bd 9. S. 191—232). — 77.

2** Теперь говорят «n-мерный» вместо «п-размерныи», «счетная» вместо «счстовая» и «всюду плотный» вместо «пантахическиИ». — 77. 26

См.: Кантор Г. Труды... С. 56. — 78. 27

Николаи Васильевич Вугаев (1837—1903)—русский математик, один из учителей П. А. Флоренского; основные работы по теории чисел и математическому анализу. О его оригинальных взглядах на разрывность и его учении о разрывных функциях (аритмологии), оказавших большое влияние на II. А. Флоренского, см.: ИМИ-29, 1985. С. 113—124.— 7#. 28

Гуго де Фриз (1848—1935), голландский биолог, ввел в генетику представление о мутациях. — 78. 29

Сергей Иванович Коржинский (1861 — 1900), ботанико-географ, систематик и биолог, в работе «Гетерогенезис и эволюция. К теории происхождения видов» (СПб., 1899) изложил идеи, сходные с теорией мутаций де Фриза. — 78. 30

Густав Тамман (1861 — 1938), немецкий физикохимик; основные работы относятся к неорганической и физической химии; разработал (1897—1902) теорию кристаллизации. — 78.

Сублиминальный — подпороговый. — 78.

32 Карл Дю-Прель — немецкий психолог конца XIX в.; о его работах см.: Ибервег Ф., Гешще М.

О СИМВОЛАХ БЕСКОНЕЧНОСТИ (Очерк идей Г. Кантора)

Это первое в русской литературе развернутое изложение теории трансфинитных множеств Кантора, рассматриваемой в широком философском контексте, — одно из наиболее ранних свидетельств интереса московских математиков к теории множеств (см.: ИМИ-30. С. 124—129).

Впервые опубликовано: Новый путь. 1904. N° 9. С. 173—235. Согласно проспектам «Собрания сочинений...» 1917—1919 гг., статья включалась в «т. I. Черты отрицательной философии (статьи философ- ско-математические)».

Печатается по изданию 1904 г. с учетом исправлений, сделанных Флоренским на экземпляре сб. «Опыты 1. 1903—1910». Примечания составлены С. С. Демидовым и А. Н. Паршиным. 1

Георг Кантор — см. прим. 15 к с. 74. — 79. 2

Но Нафанаил сказал ему: из Назарета может ли быть что доброе? Филипп говорит ему: пойди и посмотри. Иисус, увидев идущего к Нему Нафанаила, говорит о нем: вот подлинно Израильтянин, в котором нет лукавства (Ин 1, 46—47). — 79. 3

Русская пословица. — 79. 4

боязнь бесконечности (лат.). — 79.

$ величина (лат.). — 80. 6

мыслимое сущее (лат.). — 80. 7

Альберт Штёкль (1823—1895), немецкий историк философии, создал фундаментальную «Историю философии средних веков» (1864— 1866). — SO. 8

амейрон, беспредельное (греч.); сам Кантор трактовал это слово как неопределенную, незаконченную, потенциальную бесконечность. — 80. 9

Синкатегорематическое (потенциально бесконечное) — термин схоластики. — 80. 10

бесконечное (лат.); Кантор понимает этот термин как потенциальное бесконечное (см.: Кантор Г. Труды... С. 265). — 80.

N Подобные мысли встречаются в русской философской традиции не только у Флоренского, см., напр.: Трубецкой Е. 11. Смысл жизни. Берлин, 1922. С. 32—37.

12 Бернард Фонтенель (1657—1757)—французский философ, ученый и писатель, популяризатор науки. — 81.

Противоречие в терминах (лат.). — 81.

14 Бесконечное число противоречиво (лат.). — 81.

^ Сальваторе Тонджорджи — итальянский католический философ XIX в. — 81.

№ Актуальная бесконечная величина противоречива (лат.). — 81.

17 Антиномия — противоречие между двумя суждениями, из которых каждое имеет законную силу. Специальное учение об антиномиях развито Кантом в «Критике чистого разума». Флоренский говорит о первых, так называемых математических, антиномиях Канта: 1) мир имеет начало во времени и пространстве; мир во времени и пространстве безграничен; 2) все в мире состоит из простого; нет ничего простого, все сложно. — 81.

,8 Процесс дихотомии (или диарезиса) весьма часто встречается в античной философии и, в частности, в диалогах Платона. См. его современное истолкование в кн.: Weyl U. Philosophy of Mathematics and Natural Science. Princeton, 1949. P. 52—54, а также: Лсіїль Г. Математическое мышление. М., 1990. С. 8, 360. — 82.

В действительности (лат.). — 82. 20

В ВОІМОЖНОСТН (лат.). — 82. 21

См.: Шеллинг Ф. Л. И. Соч. в двух томах. М., 1987. Т. I. С. 490—589. — 83. 22

См.: Пуанкаре А. О науке. М., 1983. С. 17 и др. — 83. 23

Дионисии Арсопагит — афинянин, обращенный в христианство апостолом Павлом (Деян 17, 34). Традиция приписывает ему ряд сочинений, игравших важную роль в развитии идей христианского неоплатонизма. В научной литературе, однако, принято датировать эти сочинения V в., а их автора нередко именуют Псевдо-Дионисием. — 83, 24

Кантор трактует этот термин как определенную, завершенную, актуальную бесконечность. — 83. 25

Категорематическое — актуально бесконечное (схоластический термин). — S3. 26

См.: Гёте И. П. Собр. соч. 2 изд. Т. 6. СПб., 1893. С. 37.—

83. 27

Константин Гутбсрлст (1837—1928), немецкий теолог и философ, представитель томизма, был знаком с Кантором и оказал влияние на его интерес к теологии, в частности к Фоме Аквинскому.

«Конечно, серьезная непоследовательность проявилась в том, что в Новое время все естественнонаучные и, очевидно, устаревшие взгляды Св. Фомы Аквинского старались использовать с педантичной тщательностью, в то время как отступились от него в таком важном спекулятивном вопросе, как вечность мира... Непоследовательность наблюдается также и в том, что в Познании [самого] Бога допускается актуальное бесконечное множество возможных вещей, сама возможность которого отрицается. Выходят здесь из положения тем, что говорят: не нужно переносить способ Божественного Познания на человеческое — совершенно верно, но не в этом дело: если актуальное бесконечное множество противоречиво в себе, то оно не может быть и в Уме Бога ничем иным, как абсурдом, чем-то вроде четырехугольного круга» (нем.). — 85. 29

См.: Кантор Г. Труды... С. 264—268, 292. Заметим, что соответствующее математическое понятие не существует. — 85.

в Боге или творящем начале (лат.). — 85. 31

Весь этот кусок статьи П. А. Флоренского есть пересказ работы Г. Кантора «О различных точках зрения на актуально бесконечное» (Кантор Г. Труды... С. 262—268). — 86. 32

в конкретном (лат.). — 86. 33

в сотворенной природе (лат.). Кантор (Труды... С. 287) указывает, что он употребляет термины «natura naturaus» и «natura naturata» в том же значении, что и томисты, так что первый означает Бога как Творца созданных Им из ничего субстанций, стоящего вне их и сохраняющего их, второй же — сотворенный Им мир. — 86. 34

абстрактным образом (лат.). — 86.

3<* в Боге (лат.).— 87. 36

Бог, Дух, Природа (лат.).—87. 37

Оригсн (ок. 185 — ок. 254) — греческий богослов и философ, представитель доникейской патристики. — 87. 38

Кантор Г. Труды... С. 290. — 87. 39

Августин Аврелий (354—430) — христианский богослов и мыслитель, один из отцов церкви. — 87. 40

конечный (лат.). — 88.

4' цель, предел, завершенность (греч.). — 88.

о пределах добра, о пределах совершенства (лат.). — 88.

Приводимые слова принадлежат не самому Оригену, а представляют собой изложение его идей, содержащееся в «Теологической сумме» Фомы Аквинского (Thomas Aquinas. Opera omnia. Editio nova. Parisiis: Yives, 1895. V. I. P. 48).

Приводим русский перевод по: Кантор Г. Труды... С. 416. «Всякое существующее в природе множество сотворено; всякая же сотворенная вещь понимается как одно из проявлений какого-то намерения Творца, ибо Создатель ничего не делает бесцельно. Следовательно, необходимо, чтобы в;якая созданная вещь понималась как число. Поэтому существование актуального множества невозможно даже по «совпадению»». — 88.

предвосхищение основания (лат.); логическая ошибка, заключающаяся в том, что в доказательстве в неявном виде используется доказуемое предложение. — 88.

Ср.: Кантор Г. Труды... С. 291. — 88. 46

созданная природа (дат.).—88. 47

См.: Кантор Г. Труды... С. 292. — 88. 48

Речь идет о «бесконечных числах» Фонтенеля, приведенных в его книге «Infini geometrique» (Paris, 1727). См.: Кантор Г. Труды... С. 408. — 80.

Малые восприятия (лат.). Это понятие было введено в психологию Лейбницем, создавшим на его основе учение о бессознательном. Лейбниц рассматривал малые, или смутные, восприятия как психологический аналог бесконечно малых из анализа (см.: ИМИ-30. С. 169. Прим. 3). — 90.

См.: Гоголь II. В. Собр. соч. Т. 5. М., 1978. С. 32. — 90.

М Ликтор Викторович Бобынин (1849—1919)—русский историк математики. Здесь и далее имеются в виду его «Лекции истории математики. Донаучный период»//Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем. Т. 9 — 10. М., 1890-1893.-90.

В ряде языков такие формы существуют. См.: Гумбольдт В. О двойственном чис ле//Гумбольдт В. Язык и философия культуры. М., 1985. С. 395 и Cassirer Е. The Philosophy of Symbolic Forms. V. I. Language. New Haven, 1980. Ch. 3. § 3. P. 237, 246.- 9/.

Быт 22, 17. — 91.

См.: Бобынин В. В. Лекции истории математики. С. 25 (см. прим. 51). Современные взгляды на происхождение счета и чисел см.: Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Происхождение систем счисле- ния//Энциклопедия элементарной математики. Т. 1. М.; Л., 1951. С. 11—74; Menninger К. Zahlwort und Ziffer. Bd 1—2. Gottingen, 1957—1958. Философский анализ см.: Cassirer Е. Цит. соч. и Всйль Г. О символизме в математике и математической логик t//Всйль Г. Математическое мышление. М., 1890. С. 55—69. — 91.

$$ Здесь опечатка, следует: Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем. Т. 2. Отдел научных статей. № 3. 1887. С. 205. — 92.

Альсид ДОрбипьи (1802—1857)—французский путешественник и палеонтолог, исследователь Южной Америки. — 92.

Ы Чикитосы умеют считать только до единицы (тома), имея для дальнейшего только отношения сравнения (франц.) (DOrbigny А. L'homme americain. V. 2. Paris, 1839. P. 163). — 92.

Карл Фридрих Марциус (1798—1868) и Иоганн Баптист Спикс — немецкие путешественники. См.: Martius К. Г., Spix J. В. Reise ill BrasUien. Munchen, 1823. Bd 1. S. 387. — 92.

Генрих Лихтенштейн (1780—1857) —немецкий путешественник и зоолог. См.: Lichtenstein II. Reisen in siidlichen Africa in den Jahren 1803, 1804, 1805 und 1806. Bd 2. 1812. S. 610.-92. 60

Эдуар Тэйлор (1832—1917) —английский этнограф, автор «Первобытной культуры» (1871), глава «Искусство счисления» которой посвящена числам и счету. — 92. 61

что и требовалось доказать (лат.). — 93. 62 Вероятно, описка: вместо Фенелон следует читать Фонтенель. Франсуа Муаньо (1804—1884) — французский математик и теолог, последователь О. Коши. Упоминаемое доказательство содержится в его работе «Impossibility du nombre actuellement infini; la science dans ses rapports avec la foi». Paris: Gauthier Villars, 1884. См.: Муаньо Ф. О невозможности в действительности бесконечно большого числа. Древность человеческого рода. Наука в соотношении с верой//Коши О. Л. Семь лекций общей физики... СПб., 1872. С. 59—82. Гиацинт Зигмунд Гердиль (правильнее — Жердиль) (1718—1802)—философ, теолог. Речь идет о его работах: Gerdil G. S. Essai d'une demonstration mathematique contre ['existence cternelle de la matiere et du mouvement infini...//Opere edite et inedite. Rome, 1806. V. 4. P. 261; M<5moire de Pinfini absolu consider»* dans la grandeur//Ibid., 1807. V. 5. P. 1. — 93. 63

Степан Петрович Крашенинников (1711 —1755) — русский путешественник, исследователь Камчатки, автор известного труда «Описание земли Камчатки» (1756; современное издание: М.; J1., 1949). — 93. 64

Бобынин В. В. Лекции истории математики. С. 34 (см. прим. 51). — 93. 65

Древнеиндийский сборник законов и предписаний, следующих догматам брахманизма. См.: Законы Ману. М., 1960. — 95. 66

Здесь и гораздо подробнее ниже, в конце статьи, П. А. Флоренский касается вопроса о связи национального характера и типа мышления. Вопрос этот интересовал многих в XIX и в начале XX в., среди прочих в Германии — Ф. Клейна (см. его «Лекции о развитии математики в XIX столетии». М., 1889), О. Шпенглера и др.; в России — В. С. Соловьёва, Н. Я. Данилевского. — 95. / 67

Имеется в виду «Псаммит» (от греч. yxx/ijitos — песок) Архимеда. См.: Архимед. Соч. М., 1962. С. 358—367, 598—603. — 96. 68

Источник установить не удалось. — 96.

Тут сразу вспоминаются тысячерукие боги индуизма. — 96. 70

См. прим. П. А. Флоренского на с. 93 наст. тома. — 96. 71

См. прим. 16 к с. 74. — 96. 72

Учение о множествах, учение о многообразиях (нем.). — 96. 73

Schoenflies A. Mengenlehre//Encykiopadie der mathematisclien Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Bd 1. Th. 1. Leipzig, 1898—1904. Vivanti C. Lista bibliografica della teoria degli aggregati 1893—1899//Biblioteca mathematica. Ser. 3. 1900. Bd 1. S. 160—165. — 97. 74

множество, многообразие (нем.), множество (франц.). — 97. 75

Блсз Паскаль (1623—1662)—французский математик, философ и писатель. См.: Pascal В. De Pesprit g<5oinetrique et de Tart de persuader//CEuvres completes. Paris: Galllmard, 1954. P. 196. — 97. 76

См.: Кантор Г. Труды... С. 173—245. — 97. 77

Теперь говорят «подмножество» в точном соответствии с немецким оригиналом. — 98. 78

сущность (нем.). — 98. 79

Простое перечисление (лат.). — 98. 80

См.: Кантор Г. Труды... С. 40—140, где содержится русский перевод первоначального немецкого варианта (Math. Annalen, 1879—1883) этой работы. — 99.

8f См. прим. 20 к с. 75. — 99. 82

это рассуждение... мы находим весьма интересным, но в то же время довольно трудным для понимания (франц.). — 99. 83

Теперь говорят «упорядоченность». — 100. 84

раньше и потом по порядку (греч.). — 100. 85

упорядоченный (нем.). — 101. 86

Такие множества называются п-кратно упорядоченными. См.: Кантор Г. Труды... С. 256—258. — 101. 87

Это не совсем верно. Цветность точки сама определяется тремя упорядоченными признаками. Этот и другие приводимые здесь примеры заимствованы у Кантора (см.: Кантор Г. Труды... С. 306—308). — 10У, 88

Жюль Таннери (1848—1910), французский математик, основные работы которого относятся к теории функций, был одним из первых пропагандистов теоретико-множественного направления. — 102. 89

т. е. бесконечных. — 103. 90

Или треугольника Паскаля. Этот и другие примеры заимствованы у Кантора (см. Кантор Г. Труды... С. 289—299). — 104. 91

фактически (лат.). Эта конструкция принадлежит Галилею. — 92

Теперь говорят «счетных». — 105. 93

Единое в разном... единое, внутренне способное ко многому (лат.). — 107. 94

Либераторе Моттео (1810—1892) — итальянский философ-неотомист. См. подробнее: Кантор Г. Труды... С. 298. — 107. 95

См.: Кантор Г. Труды... С. 268—324. — 107. 96

В русской литературе употребляют термин «кардинальное число». — 108. 97

См.: Кантор Г. Труды... С. 173. — 108. 98

противоречие в определении (лат.). — 110. 99

См. прим. 44 к с. 88. — 111.

боязнь бесконечности (лат.). — 111.

См.: Кантор Г. Труды... С. 173—245.— 111.

*359 Там же. С. 302. — 112.

103 целое больше своей части (лат.). — 113.

,04 целое... часть (лат.). — 113.

См.: Кантор Г. Труды... С. 302—303. — 113. 106

Там же. С. 269. — 113. 107

ближайший род (лат.) — ближайший более широкий класс предметов, в который в качестве вида входят рассматриваемые предметы (см.: Кантор Г. Труды... С. 269). — 114. 108

Герман Шуберт (1848—1911) —немецкий математик; основные работы относятся к геометрии. — 114. 109

соединение, объединение (нем.). — 114. 110

По-видимому, имеется в виду континуум-гипотеза. Во вводимых ниже обозначениях она выглядит так: 2N0 - N|. Невыводимость этого утверждения из стандартных аксиом теории множеств показана 11. Дж. Коэном в 1963 г. См.: Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум- гипотеза. М., 1969. — 115. 1.1

Теперь говорят «произведение множеств М и N». — 116. 1.2

Этот термин теперь не употребляется. Говорят просто о множестве М в степени N. См. также: Кантор Г. Труды... С. 178. — 116. 1.3

просто упорядоченной (нем.). — 117. 1.4

Правильнее — порядковые типы. — 117.

И5 В тексте опечатка: вместо * стоит =. — 118. 1.6

порядковые числа (нем.). — 118. 1.7

вполне упорядоченные (нем.). — 118. 1.8

Какой из братьев Таннери — математик Жюль или историк математики Поль — имеется в виду, установить не удалось. — 120. 1.9

Зенон Элейскии (ок. 490—430 гг. до н. э.), древнегреческий философ, представитель элейской школы, одним из первых вскрыл противоречивость понятий множественности и движения. — 120.

™ Ин 1, 47. — 120. 121

Вероятно, имеются в виду слова Г. Кантора из его «Основ общего учения о многообразиях», которые в переводе П. С. Юшкевича (Кантор Г. Труды... С. 73) звучат так: «с ценными для меня традициями». — 121. 122

правила приличия, (франц.). — 122. 123

Вильгельм Вундт (1832—1920) — немецкий психолог и философ. —

123. 124

См. прим. 33 к с. 86. — 123.

В переводе П. С. Юшкевича (Кантор Г. Труды... С. 275): «При таком понймании дела в Вашем понятии трансфинитного числа нет, насколько я пока вижу, никакой опасности для религиозных истин». — 123. 126

выдающийся ученый из Галле (франц.). — 123. 127

Пауль Дюбуа-Реймон (1831—1889) — немецкий математик, основные работы которого относятся к теории дифференциальных уравнений с частными производными, тригонометрическим рядам и теории функций. — 124.

128 См.: Соловьев Л. С. Еврейство и христианский вопрос//Собр. соч. Изд. второе. СПб., .б/г. Т. 4. С. 133—185. — 124. ™ Там же. С. 144. — 125. 130

сделав соответствующие изменения (лат.). — 125. 131

Соловьёв Владимир. Стихотворения. Изд. 6. М., 1915. С. 85—87.— 125.

132

Из стихотворения «В землю обетованную». См. прим. 131.— 126.

133

Источник установить не удалось. — 126. 134

с точки зрения конечного (лат.). — 127. 135

с точки зрения бесконечного (лат.). — 127. 136

Источник установить не удалось. — 127. 137

Быт 3, 5; Пс. 81, 6. — 127.