V. РАЗБОР НЕКОТОРЫХ СУЖДЕНИЙ О ЗАКОНЕ ЦЕЙЗИНГА1 J917.XI.23. Сергеев) Пос(ад}.

Таков, в общих чертах, смысл закона Цейзинга. Но ради большей убедительности мне представляется полезным сопоставить некоторые суждения о том же предмете, тем более что не сразу можно найти их.

1) Наиболее неблагоприятно для занимающего нас закона высказывается математик Шлёмильх 2, отрицающий не только 3 диалектическую и опытную доказанность закона Цейзинга, но и более того пытающийся в корне уничтожить самую доказуемость его как априори, так и апостериори.

Слово «отношение» имеет в математике столь же малоопределенное значение, как и в обычной жизни; существуют арифметические, геометрические и гармонические отношения, отношения двойного сечения (Doppelschnittverhaltnis5) и т. п. Только не-математик при слове «отношение» представляет себе всякий раз геометрическое отношение, ибо оно известно ему из уроков арифметики и стало привычнтлм через пользование тройным правилом. Поэтому, если требуется такое деление прямой линии, чтобы меньшая часть относилась к большей, как эта последняя к целому, то эта задача вполне неопределенна до тех пор покуда не сказано точнее, какое именно из вышеназванных отношений должно быть применено. Ведь существует бесконечно много способов деления, которые все обладают в совершенно равной мере прекрасными свойствами восхваляемого проф. 1?рманном золотого сечения. Три главные способа я приведу здесь.

«Можно, во-первых, потребовать, чтобы меньшая часть деления была в арифметическом отношении именно настолько меньше большей части, насколько эта последняя меньше целого, или, короче говоря, чтобы большая часть была арифметическим средним между целым и меньшей частью.

Если взять вместо арифметического отношения геометрическое, то большая часть будет геометрическим средним между целым и меньшею частью; отсюда следует алгебраически:

ш = 0,382 L, М= 0,618 L.

Если L = 34, тот —14, М=20 175. Как видно, эти последние значения т и М только немногим разнятся от предыдущих; разница содержит только, приблизительно, 3 процента целой линии L,— это так мало, что при рассмотрении простым глазом такая разница едва ли может быть замечена. А кто после этих примеров, число каковых всякий математик может сколь угодно увеличить, еще захочет настаивать на цейзинговском утверждении, на том лежит обязанность доказать, что в эстетике неопределенное понятие «отношение» должно быть определено более точно посредством предиката «геометрический». A priori, т. е. логически, это доказательство было бы трудно достижимо, ибо то, что проф. Германн говорит об отношении, пропорции и т. д., подходит ко всем родам отношений, и вообще логика не имеет решительно никакого средства для того, чтобы дать точное математическое соотношение (Relation) между какими бы-то ни было двумя вещами. A posteriori, следовательно, посредством измерения, тоже не может быть получено никакого надежного результата, ибо все такого рода измерения страдают многими неопределенностями. «Длина руки»—это легко сказать, но где же собственно начинается рука? Что значит объем головы? Должно ли к высоте здания причислять высоту карниза или нет? И т. п. Коль скоро устанавливается, т. е. более или менее произвольно выбирается, начало или конец измеряемого объекта, выступают тоже и другие меры и числа, и эти результаты наблюдения во многих случаях разнятся между собою на большее число процентов, чем, например, утверждаемые деления по геометрическому или гармоническому среднему.

Этим доказано достаточно, по крайней мере чисто математическим путем, что цейзинговскому закону никоим образом не принадлежит исключительное притязание на эстетическую значимость и что, скорее, существует сколько угодно иных законов, которые столь же хорошо, а может быть и лучше, удовлетворя- ют требованиям эстетики. И, значит, на сей раз математик предоставляет свободу художнику. Да сохранит нас вообще небо от того, чтобы низводить творения искусства до арифметических примеров и чтобы легко подвижные колебания фантазии художника втискивать в жесткий остов математических формул» 176.

Таковы соображения «трезвого», по самооценке Шлёмильха, «математика»—самое решительное, что сказано против золотого сечения и что, вероятно, может быть сказано. Но, видно, свою трезвость надо доказывать делом, а не на словах приписывать ее себе. Соображения Шлёмильха не лишены остроты и значительности, но они меньше всего могут быть названы трезвыми.

Шлёмильх подкапывается как под возможность априорного, так и под возможность апостериорного доказательства золотого сечения. Рассмотрим же порознь его возражения.

Априори закон золотого сечения не может быть доказан, по Шлёмильху, ибо понятие отношения или пропорциональности шире цейзинговского понятия о геометрической пропорциональности, и сузить первое до последнего нет оснований, т. е. нет оснований выбрать из множества разных видов математических средних именно один, среднее геометрическое. Итак, Шлёмильх6 вовсе не оспаривает по существу рассуждений 1ер- манна о необходимости эстетическим объектам быть пропорциональными, но лишь утверждает, что не доказана именно геометрическая пропорциональность. Но если так, то оказываются недостаточными рассуждения именно Германна, а не опровергается возможность доказательства вообще. Произведения пластических искусств7 протяженны, значит, они измеримы; это во-первых.

/С*, У, х+у),

где под х и у разумеем меры частей, под х+у—меру исследуемого предмета, а под /— всевозможные (пока) функции.

Спрашивается, нельзя ли подобрать вид функции / так, чтобы

f(x, у, х+у) = const.,

т. е. чтобы естественное расчленение целого предмета искусства давало инвариант? Тогда мы получили бы функцию

ф(х, у, х+у)=const.

Шлёмильх согласен с Іермаином, что есть пропорциональность, т. е. какое-то соотношение; допустим, что мы не знаем и никогда не узнаем, какая это именно пропорциональность. Но она все же есть, ибо что же это была бы за пропорциональность— никакая. Следовательно, и по Шлёмильху, инвариант ср существует. Что же тогда означает его конечное заявление об автономии искусства от арифметики? Неужели только то, что он не хочет «сводить» произведения искусства до ступени арифметических примеров (под каковыми разумеется деление в среднем и крайнем отношении), но согласен «сводить» их к более сложным аналитическим примерам? Если свобода художника стесняется арифметикой, то она стесняется и анализом. Но тогда ради последовательности надо отринуть и законы перспективы, и прямые линии, и т. д. и т. д., т. е. вообще самую изобразительность изобразительных искусств. А если это и не возможно и не нужно, если математические закономерности не стеснения, а условия проявления свободы художника, то тогда нет принципиальных оснований отвергать и закон Цейзинга. Посмотрим же теперь, в самом ли деле геометрическая пропорциональность так безнадежно затеривается среди всех мыслимых видов пропорциональности, или же Шлёмильх именно нетрезво увлекается полетом математической возможности, <не> считаясь с местом и значением каждой из этих возможностей в системе математической мысли,—говорит слишком вообще только потому, что предвзято и неосновательно уничтожены частности.

Шлёмильх не отрицает, да и не может отрицать, того или другого соотношения частей, хотя бы в каждом отдельном случае.

или

Итак, аргументом функции ш оказываются не части, а отношение частей.

Шлёмильх делает недоуменный вид, почему именно отношение, а не корень квадратный и т. п. Но неужели он в самом деле забыл, что отношение величин есть не одно из соотношений, а первичный алгорифм, дающий меру, т. е. число; и что, следовательно, решительно вся метрическая геометрия опирается на этот перво-алгорифм? Ведь и сложение отрезков, которое кажется независимым от отношения, аналитически есть сложение мер, т. е. подразумевает измерение, т. е. отношение к некоторой единице измерения; а там, где нет возможности найти общую единицу и к ней отнести слагаемые отрезки,—там не может быть и сложения, ибо тогда мы не можем быть уверены в однородности слагаемого, каковая устанавливается и обеспечивается именно общностью единицы измерения. Итак, бесспорно,

у

что наш инвариант есть инвариант не х и у, а -, т. е. что

функция / в широком смысле «однородна», как говорят технически в математике, относительно х и у.

у

Итак, вопрос уже не о наличности отношения -, а лишь

о виде функции со. Вообще говоря, можно предполагать много разных функций. Но простейшим и естественнейшим предположением будет отождествление функции с ее аргументом, т. е. утверждение

V

- = const.,

X

что и соответствует закону Цейзинга. Может быть, Іерманн недостаточно доказал этот последний переход своих рассуждений; но поспешно было бы заключение, что доказать этого нельзя.

был бы заменен неопределенной функцией Fl—kX{my т\ г),

дающей при соответствующих т, т' и г числовые результаты, эмпирически неотличимые от числовых результатов формулы Ньютона, но получающиеся путем весьма сложных вычислений? Любопытно знать, что получилось <бы> из всех физико- математических наук при замене прямых линий и кривых вроде окружностей и эллипсов весьма сложными кривыми, нигде однако не отступающими от общепринятых простых на расстояние доступное опытному подтверждению? Шлёмильх придирается к закону Цейзинга, но своими придирками, если бы они были убедительны, ниспроверг бы не закон Цейзинга только, а всю область математического естествознания.

Эти придирки Шлёмильха еще грубее в критике возможности апостериорно доказать закон золотого сечения. Шлёмильх ссылается на невозможность и условность точного ограничения величин, подлежащих измерению при доказательстве цейзинговского закона. Удивительное возражение! Но разве решительно во всяком измерении, за исключением производимого чистым разумом в чистой геометрии, разве не везде решительно мы наталкиваемся на невозможность и условность точного определения границ измеряемой величины? Шлёмильху кажется неясно, где начинается рука; но разве ясно, где начинается поверхность Земли или Солнца? Шлёмильху кажется невозможным определить, что именно называть объемом головы или высотою здания; но почему тогда он не скажет того же и о росте человека, и о высоте гор, деревьев, о длине тригонометрических базисов, наконец, о длине метра-эталона? Соображения Шлёмильха направлены против измерений расчленений предметов искусства и природы столь же, сколь и против всяких измерений, чего угодно, т. е. отрицают вообще применимость математических схем и формул к конкретной действительности. Конечно, все границы такового условны, а посему и требуются условия измерения, условия же, каждый раз особо, определяются внимательным вдумыванием в природу измеряемого предмета, а не производятся без внутреннего разумения. Необходимы, разумеется, условия и при измерениях, подобных цейзинговскому. Отвлеченно говоря, можно допустить, что Цейзинг установил их без достаточной проникновенности. Но это надо доказать именно в каждом частном случае особо, а не резонерствовать якобы от лица математики об условности всяких определений границ человеческих органов и членов. Рискуя ломиться в открытую дверь, мы еще повторим, что нет и не может быть никакой точной меры, иначе как произвольно принятой, и что даже арифметическая средняя, относительно которой допускают, будто она приближается к точной мере, сама определяется некоторыми произвольными условиями. «Выбор арифметической средней для представления ряда наблюдений соответствует выбору того числа, для которого сумма квадратов разностей сравнительно с результатами отдельных наблюдений—наименьшая. Этот выбор априорно произволен. Но принцип, на котором он зиждется, оправдывается большим совпадением, которое получается от сравнения различных рядов наблюдений. В конце концов, физическое понятие меры соответствует интервалу, в котором заключаются числа, доставляемые процессом определения, и который стремятся, насколько возможно, уменьшить. Этот интервал становится меньше, если добытые из отдельных наблюдений числа заменить средними однородных наблюдений. Таково значение постулата средней...»177