§3. Аргумент против множественности

Здесь будет разобран только один аргумент Зенона против мыслимости множества. Апория Пшеничное зерно. Вновь чувства обманывают нас. Действительно, создает ли одно зерно шум при падении? — спрашивает Зенон софиста Протагора.

Отметим, что эту апорию Зенона часто недооценивают, удивляясь, «как такой острый мыслитель... не принял во внимание несовершенство органов чувств»40. Конечно, проблема не в несовершенстве органов чувств. Разумеется, Зенон не мог сомневаться, что падение медимна пшеницы мы слышим, а падение одного зерна нет. Проблема заключается в следующем. Каким образом, если верить чувствам, из бесшумного возникает шум? Ведь если одно зерно в действительности не издает шума, то откуда он возьмется при падении тысяч бесшумных зерен? Из ничего ничего не возникает! В свое время в математике была аналогичная проблема: как из непротяженных точек построить обладающие протяженностью объекты — линии, поверхности и т.д. Была создана теория меры, средствами которой для определенного типа бесконечных множеств ее удалось решить. Но вот что делать в аналогичном случае с конечными множествами, не совсем понятно до сих пор.

Разберем следующее рассуждение. Одно зерно не производит шума. Согласимся с этим. Допустим, что п зерен не производят шума. Но тогда и п+1 зерно не произведет шума! Следовательно, в соответствии с принципом математической индукции, сколько бы зерен мы не уронили, шума не будет.

Напрасно думать, что здесь какая-то тривиальная ошибка или редкое исключение, не способное причинить неприятностей. Примеры аналогичных трудностей известны издавна (например, парадоксы кучи и лысого).

«Профессор Чарльз Дарвин41 учит нас, что существует множество D объектов и линейное упорядочение этого множества, такие, что первый элемент в этом множестве есть некая обезьянка Чарли, каждый не первый элемент есть потомок непосредственно предшествующего элемента и последний элемент есть сам Дарвин. Совокупность A всех обезьян из множества D не является множеством; в противном случае A содержало бы последний элемент. Но, как знает всякий, потомки обезьян суть обезьяны. Таким образом, оказалось бы, что все члены D, включая и Дарвина, были бы обезьянами»42.

Снова имеем в соответствии с методом математической индукции, что коль скоро Чарли — обезьяна и если n-ый член ряда обезьяна, то его потомок тоже обезьяна, — получаем, что все члены ряда обезьяны. В литературе мне встречался и такой пример: В 1-ю секунду своей жизни Лев Толстой был ребенком. Допустим, что в n-ю секунду он ребенок. Тогда в п+1 секунду он вновь ребенок и должен остаться им на всю жизнь.

Могут подумать, что здесь дело в несовершенстве органов чувств (о такой позиции уже упоминалось выше). Но совсем не обязательно брать наглядные примеры с зернами, обезьянами и писателями. Допустим, я определяю понятие «малое число» следующим образом: 1 является малым числом, и прибавление 1 к малому числу снова дает малое число. Из такого определения (в соответствии с принципом математической индукции) немедленно следует, что все положительные целые числа являются малыми, что вовсе не хотелось бы утверждать.

С подобными проблемами на практике сталкиваются разработчики экспертных систем и других средств искусственного интеллекта. Казалось бы, решить эти проблемы несложно: давайте условимся, что начиная с 1000-го зерна появляется шум при их падении, что число 999.999 — малое, а 1 миллион — уже нет, что Лев Толстой перестал быть ребенком в ту секунду, когда ему исполнилось 14 лет и т.д. Но этот способ решения ничего в действительности не решает.

Куда более изощренным является подход П.Вопенки, который рассматривает некоторые большие, но конечные, совокупности как образования, ведущие себя подобно бесконечным в классическом смысле множествам. Такие совокупности в теории Вопенки называются собственными полумножествами.

«Проиллюстрируем это на примере. Предположим, что в популярной брошюре автор пытается рассказать о свойствах счетных множеств. Он приглашает читателя в отель, имеющий бесконечно много комнат, занумерованных натуральными числами; все комнаты заняты. Тем не менее можно принять нового гостя, предоставив ему комнату номер один и в то же время переместив каждого гостя из комнаты с номером n в комнату с номером n + 1. Теперь представим себе, что в отеле только тысяча комнат и все они заняты. Проделаем то же самое. Новый гость помещается в комнату номер один, гость из комнаты номер один перемещается в комнату номер два и т. д. Так как гости передвигаются последовательно, процесс не закончится за один день, и, так же как и выше, каждый гость будет устроен в течение почти всего дня. В этом случае множество из тысячи комнат содержит подсемейство (подсемейство всех комнат, в которые гости потенциально передвигаются), которое ведет себя в некотором смысле как счетное множество в канторовской теории множеств»43.

Альтернативная теория множеств предлагает достаточно интересный путь решения апорий.

Как бы там ни было, Зенон сделал из описанных трудностей тот вывод, который и должен был сделать как последователь Парменида — он отказал нам в праве мыслить универсум как состоящее из множества частей образование. Бытие осталось у него единым, неделимым и неподвижным.

На наш взгляд, неопределенности в предицировании свойств объектам вообще не обязательно связаны с большими совокупностями. Неопределенность может возникать и возникает в отношении малых множеств и даже единичных объектов. Суть в том, что такие свойства, как «куча», «хороший человек», «мужественный», «молодой», «красивый» и т.д., не являются подмножествами универсума рассмотрения. Поэтому даже для вполне упорядоченных конечных множеств нельзя утверждать, что такой одноместный предикат имеет наименьший элемент, определенно обладающий (или не обладающий) искомым свойством. В одних структурах этот элемент один, в других — другой (например, при одном представлении куча начинается с10 зерен, при других — с 2, 8, 11, 67 и т.п.). В результате возникает неопределенность, понятию о которой можно придать логически точный смысл. Подробно теория неопределенности изложена в заключительной, девятой главе.