<<
>>

§3. Аргумент против множественности

Здесь будет разобран только один аргумент Зенона против мыслимости множества. Апория Пшеничное зерно. Вновь чувства обманывают нас. Действительно, создает ли одно зерно шум при падении? — спрашивает Зенон софиста Протагора.

Нет, отвечает Протагор. Ну, а медимн (мешок в 52,5 литра) зерна создает при падении шум? — Конечно, был ответ. Но если медимн зерна издает шум, то и каждая его часть издает шум. Поэтому и одно зерно производит шум. Таков был ответ Зенона Протагору.

Отметим, что эту апорию Зенона часто недооценивают, удивляясь, «как такой острый мыслитель... не принял во внимание несовершенство органов чувств»40. Конечно, проблема не в несовершенстве органов чувств. Разумеется, Зенон не мог сомневаться, что падение медимна пшеницы мы слышим, а падение одного зерна нет. Проблема заключается в следующем. Каким образом, если верить чувствам, из бесшумного возникает шум? Ведь если одно зерно в действительности не издает шума, то откуда он возьмется при падении тысяч бесшумных зерен? Из ничего ничего не возникает! В свое время в математике была аналогичная проблема: как из непротяженных точек построить обладающие протяженностью объекты — линии, поверхности и т.д. Была создана теория меры, средствами которой для определенного типа бесконечных множеств ее удалось решить. Но вот что делать в аналогичном случае с конечными множествами, не совсем понятно до сих пор.

Разберем следующее рассуждение. Одно зерно не производит шума. Согласимся с этим. Допустим, что п зерен не производят шума. Но тогда и п+1 зерно не произведет шума! Следовательно, в соответствии с принципом математической индукции, сколько бы зерен мы не уронили, шума не будет.

Напрасно думать, что здесь какая-то тривиальная ошибка или редкое исключение, не способное причинить неприятностей. Примеры аналогичных трудностей известны издавна (например, парадоксы кучи и лысого).

Вот более свежий пример из современной математической монографии.

«Профессор Чарльз Дарвин41 учит нас, что существует множество D объектов и линейное упорядочение этого множества, такие, что первый элемент в этом множестве есть некая обезьянка Чарли, каждый не первый элемент есть потомок непосредственно предшествующего элемента и последний элемент есть сам Дарвин. Совокупность A всех обезьян из множества D не является множеством; в противном случае A содержало бы последний элемент. Но, как знает всякий, потомки обезьян суть обезьяны. Таким образом, оказалось бы, что все члены D, включая и Дарвина, были бы обезьянами»42.

Снова имеем в соответствии с методом математической индукции, что коль скоро Чарли — обезьяна и если n-ый член ряда обезьяна, то его потомок тоже обезьяна, — получаем, что все члены ряда обезьяны. В литературе мне встречался и такой пример: В 1-ю секунду своей жизни Лев Толстой был ребенком. Допустим, что в n-ю секунду он ребенок. Тогда в п+1 секунду он вновь ребенок и должен остаться им на всю жизнь.

Могут подумать, что здесь дело в несовершенстве органов чувств (о такой позиции уже упоминалось выше). Но совсем не обязательно брать наглядные примеры с зернами, обезьянами и писателями. Допустим, я определяю понятие «малое число» следующим образом: 1 является малым числом, и прибавление 1 к малому числу снова дает малое число. Из такого определения (в соответствии с принципом математической индукции) немедленно следует, что все положительные целые числа являются малыми, что вовсе не хотелось бы утверждать.

С подобными проблемами на практике сталкиваются разработчики экспертных систем и других средств искусственного интеллекта. Казалось бы, решить эти проблемы несложно: давайте условимся, что начиная с 1000-го зерна появляется шум при их падении, что число 999.999 — малое, а 1 миллион — уже нет, что Лев Толстой перестал быть ребенком в ту секунду, когда ему исполнилось 14 лет и т.д. Но этот способ решения ничего в действительности не решает.

Его беспомощность видна, что называется, невооруженным глазом. Была придумана «теория нечетких множеств», где объект не просто обладает или не обладает некоторым свойством, а обладает им в некоторой степени, которая обычно обозначается действительным числом из отрезка [0, 1]. Если степень обладания свойством равна 0, то это означает, что объект данным свойством не обладает вовсе. Если эта степень 1, то налицо наиполнейшее обладание свойством. Все остальные случаи промежуточные. Можно, например, «быть обезьяной» со степенью 1/2 или даже с иррациональной степень п—3. Как по-вашему, решает ли такой подход проблему?

Куда более изощренным является подход П.Вопенки, который рассматривает некоторые большие, но конечные, совокупности как образования, ведущие себя подобно бесконечным в классическом смысле множествам. Такие совокупности в теории Вопенки называются собственными полумножествами.

«Проиллюстрируем это на примере. Предположим, что в популярной брошюре автор пытается рассказать о свойствах счетных множеств. Он приглашает читателя в отель, имеющий бесконечно много комнат, занумерованных натуральными числами; все комнаты заняты. Тем не менее можно принять нового гостя, предоставив ему комнату номер один и в то же время переместив каждого гостя из комнаты с номером n в комнату с номером n + 1. Теперь представим себе, что в отеле только тысяча комнат и все они заняты. Проделаем то же самое. Новый гость помещается в комнату номер один, гость из комнаты номер один перемещается в комнату номер два и т. д. Так как гости передвигаются последовательно, процесс не закончится за один день, и, так же как и выше, каждый гость будет устроен в течение почти всего дня. В этом случае множество из тысячи комнат содержит подсемейство (подсемейство всех комнат, в которые гости потенциально передвигаются), которое ведет себя в некотором смысле как счетное множество в канторовской теории множеств»43.

Альтернативная теория множеств предлагает достаточно интересный путь решения апорий. Тем не менее к ней можно предъявить серьезные претензии содержательного плана. Если какое-то конкретное конечное множество объявить содержащим собственные полумножества, которые в этой теории являются бесконечными образованиями, то альтернативная теория становится противоречивой в классическом смысле44. Конечно, если речь идет о количествах, превышающих число атомов в Метагалактике, противоречие может достигаться за практически нереализуемое астрономическое число шагов. Так что доказательства противоречия при этих условиях действительно можно считать бесконечными, как и предлагает теория Вопенки, поскольку «настоящее» доказательство должно содержать конечное число шагов45. Но если, как в приведенных примерах с мешком зерна, линией предков и тысячекомнатным отелем, рассматриваются сравнительно небольшие и вполне обозримые совокупности, противоречия станут практически достижимыми со всеми катастрофическими для теории последствиями. Сказанное приводит к возникновению сомнений в способности альтернативной теории множеств вполне удовлетворительно справиться с апорией «Пшеничное зерно».

Как бы там ни было, Зенон сделал из описанных трудностей тот вывод, который и должен был сделать как последователь Парменида — он отказал нам в праве мыслить универсум как состоящее из множества частей образование. Бытие осталось у него единым, неделимым и неподвижным.

На наш взгляд, неопределенности в предицировании свойств объектам вообще не обязательно связаны с большими совокупностями. Неопределенность может возникать и возникает в отношении малых множеств и даже единичных объектов. Суть в том, что такие свойства, как «куча», «хороший человек», «мужественный», «молодой», «красивый» и т.д., не являются подмножествами универсума рассмотрения. Поэтому даже для вполне упорядоченных конечных множеств нельзя утверждать, что такой одноместный предикат имеет наименьший элемент, определенно обладающий (или не обладающий) искомым свойством. В одних структурах этот элемент один, в других — другой (например, при одном представлении куча начинается с10 зерен, при других — с 2, 8, 11, 67 и т.п.). В результате возникает неопределенность, понятию о которой можно придать логически точный смысл. Подробно теория неопределенности изложена в заключительной, девятой главе.

<< | >>
Источник: Анисов А.М.. Темпоральный универсум и его познание. — М.,2000. — 208 с.. 2000

Еще по теме §3. Аргумент против множественности:

  1. §2. Аргументы против движения
  2. Реализм: аргументы «за» и «против»
  3. 12.2. Уголовная ответственность за отдельные преступления против личности, в сфере экономики, против общественной безопасности и общественного порядка, против государственной власти
  4. § 158. Употребление единственного числа в значении множественного и множественного в значении единственного 1.
  5. § 37. Патриции против сеньоров, цехи против патрициев, плебеи против цехов
  6. КАК БОРОЛИСЬ ПРАВОТРОЦКИСТЫ ПРОТИВ В.И. ЛЕНИНА, ПРОТИВ ДЕЛА СОЦИАЛИЗМА
  7. Аргументы должны быть достоверными
  8. 2. Аргументы Саммерса
  9. АРГУМЕНТЫ ПРОТИВНИКОВ
  10. Аргументы и контраргументы
  11. Критика Шеллингом онтологического аргумента
  12. ПОВТОРЕНИЕ АРГУМЕНТА (НЕ МЫТЬЕМ, ТАК КАТАНЬЕМ)
  13. ПОВТОРЕНИЕ АРГУМЕНТА (НЕ МЫТЬЕМ, ТАК КАТАНЬЕМ)