<<
>>

§1. Может ли пространство быть непрерывным, а время — дискретным?


В свое время Аристотель дал отрицательный ответ на поставленный в заголовке вопрос. Более того, по мнению Аристотеля, вообще не может быть так, чтобы пространство и время не были либо оба дискретными, либо оба непрерывными.
В «Физике» им приводятся соответствующие аргументы, совокупность которых призвана доказать, говоря современным языком, теорему о том, что пространство непрерывно тогда и только тогда, когда время непрерывно, и, аналогичным образом, пространство дискретно тогда и только тогда, когда время дискретно. Мы попытаемся изложить основную идею аристотелевского доказательства, не претендуя при этом на полную аутентичность, ибо используемый Аристотелем язык таков, что, возможно, допускает различные способы прочтения и понимания текста. Последнее обстоятельство плохо совместимо с современными требованиями, предъявляемыми к доказательствам. Кроме того (и это самое важное), к настоящему моменту наука со времен Аристотеля далеко продвинулась в понимании природы непрерывного и дискретного, так что сейчас мы располагаем методами и результатами, позволяющими поставить проблему и решать ее при помощи точных методов.
Может возникнуть вопрос, так ли уж важно, что писал по этому поводу древнегреческий мыслитель, если современное состояние исследований проблемы непрерывного и дискретного ушло далеко вперед по сравнению с теми представлениями, которыми располагал Аристотель? У нас имеются два соображения, заставляющие обратиться к тексту «Физики» Стагирита. Во-первых, некоторым современным ученым аргументы Аристотеля кажутся вполне убедительными. Так А.Н.Вяльцев, ссылаясь на рассуждения Аристотеля, которые нам еще предстоит разобрать, утверж-

дает, что дискретность пространства влечет дискретность времени и наоборот, поэтому «...Или оба они непрерывны, или оба дискретны. Третьего быть не может.»59.
Во-вторых, как мы надеемся показать, пространство может быть непрерывным, а время дискретным (равно как и наоборот, но мы сосредоточим внимание на первой ситуации, поскольку она важнее в философском смысле и поскольку положительный ответ на вопрос о том, может ли пространство быть непрерывным, а время дискретным, влечет за собой обратное утверждение, т.е. утверждение, что время может быть непрерывным, а пространство дискретным). Важно подчеркнуть, что мы не собираемся настаивать на том, что Аристотель ошибался. Мы утверждаем, что ошибаются те, кто думает, что он был прав. Мощный понятийный аппарат, которым располагают современные исследователи и которого просто не было две тысячи лет назад, оправдывает «неравноправие» в отношении оценок утверждений древних и утверждений, отстаиваемых в наши дни.
Прежде чем обратиться к сути дела, предотвратим возможное недоразумение, связанное с тривиализацией проблемы. Одним из способов тривиализации является принятие дискретного механизма движения точечной частицы в непрерывном пространстве, который А.Н.Вяльцев назвал принципом возобновления или реновации частицы. Согласно этому принципу «...движение частицы происходит таким образом, что в некоторый начальный момент времени частица находится в начале пути, а по истечении элементарного промежутка времени оказывается в конце элементарного пути, причем не появляясь в промежуточных точках.
Подобный способ движения, когда собственно перемещения-то и нет, а есть только результат перемещения, можно, очевидно, охарактеризовать как ряд последовательных исчезновений и рождений частицы...»60.
Механизм «реновации» движущейся частицы не является решением проблемы, поскольку в этом случае движение хотя и осуществляется по непрерывному пространству, но сам процесс движения тела приводит в результате к дискретному множеству точек, так что, строго говоря, особой нужды в непрерывном пространстве здесь нет и его можно заменить соответствующим дискретным представлением.
Адекватная модель дискретного времени и непрерывного пространства должна, как нам представляется, удовлетворять, как минимум, следующим двум требованиям.
  1. Результатом движения по непрерывному пространству в дискретные моменты времени должна быть непрерывная траектория. В противном случае свойство непрерывности пространства является избыточным.
  2. Движущаяся точка не должна «размазываться» по непрерывному пространству. В любой момент дискретного времени координаты движущейся точки необходимо определять однозначно. В противном случае в процессе движения точка перестает быть точкой. Мы же, в соответствии с традицией, должны иметь возможность говорить именно о движении точки.

Второе требование прямо-таки напрашивается на возражение, связанное с квантово-механическими эффектами, в частности с принципиальной невозможностью измерять с любой точностью координаты движущегося тела. Тем самым, если тело (рассматриваемое как математический объект) есть множество точек, то не приходится спрашивать о точных координатах той или иной точки данной совокупности точек в данный момент времени. Это возражение, безусловно, было бы правомерным, если бы не одно обстоятельство, связанное с учетом традиции. Все-таки обсуждается проблема, имеющая более чем двухтысячелетнюю историю, и решать ее за счет отказа от самой постановки вопроса о том, где находится движущееся тело А в момент времени t, имея в виду точное местоположение тела А, значит порывать с традицией, не прибегавшей к формулировкам теоретико-вероятностного толка.
Более того, как следует из самого развития квантово-механических представлений, понятие непрерывного пространства не является необходимым атрибутом той картины мира, которую рисует нам квантовая механика. Отказ от понятия траектории движущегося тела делает свойство непрерывности пространства хотя и удобной в силу привычности, но все-таки не столь уж обязательной абстракцией.
После этих предварительных замечаний перейдем непосредственно к анализу позиции Аристотеля. Начнем с его тезиса о том, что непрерывность пространства влечет непрерывность времени. Прежде коснемся того, как Аристотель понимал непрерывность. В текстах Стагирита под термином «непрерывность» скрывается фактически несколько разных понятий. Но мы будем иметь дело только с тем из них, которое используется в рассуждениях о соотношении непрерывности и дискретности пространства и времени. «Я разумею под непрерывным то, — писал Аристотель, — что делимо на всегда делимые части»61. По современной терминологии это вообще не непрерывность, а более слабое требование, хотя и необходимое, но недостаточное для установления непрерывности в современном смысле этого понятия.
В теории множеств делимость целого на всегда делимые части обычно называют плотностью. Точнее, частично упорядоченное множество М называется плотным, если выполнено следующее условие:
VxVy((x lt; y ^ 3z(x lt; z amp; z lt; y)).
(Подразумевается, что множество М наделено отношением строгого порядка, т.е. из х lt; у следует х Ф у, и область действия кванторов ограничена множеством М.) С неформальной точки зрения это и есть условие, гарантирующее бесконечную делимость целого и его частей.
Следует отметить, что термин «непрерывный» многолик не только в текстах Аристотеля. Современная наука также использует его с различными вариациями, из которых мы выберем только одну, сопоставимую с понятием плотности в плане использования и в том, и в другом случае отношения упорядоченности.
Пусть множество Р линейно упорядочено отношением lt;. Назовем сечением множества Р пару множеств (X,Y), компоненты которой удовлетворяют следующим условиям:
X и Y = P,
X n Y = 0,
VxVy(x єХ amp; ує Y^gt; x lt; y).
Если (X,Y) — сечение, то Xназывают левым классом, а Y — правым классом данного сечения. Сечение (X,Y) называется собственным, если XФ 0 amp; YФ 0.
Выделяют следующие четыре вида сечений.
  1. В левом классе X есть наибольший элемент х, а в правом классе Yесть наименьший элемент у; тогда сечение (X,Y) называют скачком.
  2. В левом классе X есть наибольший элемент х, но в правом классе Y нет наименьшего элемента.
  3. В левом классе X нет наибольшего элемента, но в правом классе Y существует наименьший элемент у.
  4. В левом классе Xнет наибольшего элемента, а в правом классе Yнет наименьшего элемента; тогда сечение (X,Y) называют щелью.

Линейно упорядоченное множество Р называется непрерывным, если любое его собственное сечение не является ни скачком, ни щелью (иными словами, все собственные сечения множества Р относятся к виду 2 или 3)62.
Каким образом можно связать определенные выше понятия с интуитивными представлениями о дискретности и непрерывности? Обратимся к хорошо известным примерам линейно упорядоченных множеств63. Рассмотрим множество целых чисел Z. Очевидно, любое собственное сечение этого множества является скачком. С интуитивной точки зрения множество целых чисел образует классический пример дискретного множества, так что наличие скачков однозначно указывает на проявление дискретности объекта. И наоборот, если мы захотим выразить интуитивную идею дискретности, то в случае линейно упорядоченных множеств без сечений-скачков не обойтись.
Сложнее обстоит дело с множеством рациональных чисел Q. Как известно, данное линейно упорядоченное множество является плотным и, таким образом, с точки зрения Аристотеля должно быть отнесено к непрерывным образованиям. Однако отсутствие скачков в Q с позиции современных представлений свидетельствует лишь о том, что множество Q не может считаться дискретным. С другой стороны, и непрерывным его считать трудно, поскольку множество Q имеет щели. Последний факт также широко известен64 и мы не будем на нем останавливаться.
Сами термины «скачок», «щель» в их обычном значении указывают на отсутствие свойства непрерывности, чем и объясняется выбор этих терминов в качестве названий соответствующих видов сечений. Но если ликвидировать все скачки и заклеить все щели, то тогда действительно можно получить непрерывный объект. При этом только скачки напрямую связаны с интуитивным представлением о дискретных образованиях, тогда как наличие щелей ассоциируется со своего рода промежуточной ситуацией, когда ни о дискретности, ни о непрерывности в собственном смысле речи не идет.
Примером множества, в котором все отклонения от непрерывности в виде скачков и щелей устранены, может служить множество действительных чисел R. Отметим, что данное множество непрерывно и в аристотелевском смысле, поскольку оно плотно и, таким образом, делимо на всегда делимые части65. Вообще, всякое более чем одноэлементное непрерывное множество Р плотно. (Кстати говоря, все такие непрерывные множества бесконечны.)
В самом деле, в противном случае существуют a,b є P, удовлетворяющие условиям афЬи Vz(—,(alt; zlt; b). Тогда пара множеств (X,Y), где
X = {x | x є P amp; (x lt; a v x = a},
Y= {y| y є P amp; (b lt; y v y = b}, образует сечение линейно упорядоченного множества Р. Нетрудно убедиться, что сечение (X,Y) является скачком, в противоречии с исходным допущением о непрерывности Р.
Чтобы обеспечить должное согласование с терминологией Аристотеля и тех исследователей, которым его аргументация кажется убедительной, будем использовать тот факт, что непрерывное в выше введенном смысле является непрерывным и по Аристотелю. Обратное, однако, неверно: не все непрерывное в аристотелевском смысле будет удовлетворять введенному определению непрерывности.
Аристотель рассматривает следующую ситуацию. Допустим, маршрут, или как его называет Аристотель, путь А — это некоторый промежуток между местом М и городом Фивы66. Если кто-то в момент времени t находится в точке М, то его нет в Фивах в момент t, поскольку, как справедливо замечает Аристотель, «...невозможно сразу идти в Фивы и прийти в Фивы»67. Из этого следует, что момент времени прихода в Фивы t неравен моменту начала движения t. Мы имеем дело с различными моментами времени, относящимися к началу движения и к его концу. На утверждении t ф t строится все дальнейшее рассуждение. Отметим при этом, что сама мысль о том, что тело может находиться в один и тот же момент времени в различных местах, отвергается с самого начала. Тем самым соблюдено требование 2.
Допустим теперь, что время непрерывно. Следовательно, найдется момент времени /', предшествующий моменту t и наступивший позже момента t. Если путь Мф неделим (утверждение о не непрерывности пространства), то, спрашивается, где находится движущееся по пути МФ тело? Если в момент t тело находится в М, то момент t не является началом движения, что противоречит посылке. Если же в момент {' тело находится в Фивах, то t не является концом движения, что также противоречит посылке. Так где же находится движущееся по пути МФ тело? Ясно, что в какой-то точке этого пути. Но эта точка не совпадает ни с точкой М, ни с точкой Ф. Остается единственная возможность — тело в момент {' находится между точками М и Ф и тем самым путь МФ делим в противоречии с допущением о его неделимости. Итак, делимость времени влечет делимость пути, т.е. непрерывность времени влечет непрерывность пространства.
Рассмотрим противоположный случай. Допустим, путь МФ непрерывен, а интервал времени (t,t ), за который преодолевается путь МФ, неделим. Из непрерывности маршрута МФ следует его делимость. Рассмотрим отрезки [M,A]и[А,Ф], составляющие в сумме путь МФ. В силу требования 1, неявно разделяемого Аристотелем, движущееся по маршруту МФ тело не может не побывать в точке А этого маршрута. В противном случае непрерывность движения по непрерывному пространству была бы нарушена появлением разрыва в точке А пути МФ. Так как, по Аристотелю, «...всякое движение происходит во времени и во всякое время может происходить движение...»68, в точке А пути МФтело появилось в некоторый момент времени t'. Рассуждая как и в предыдущем случае, получаем, что t ф/' и /' ф/. Действительно, попасть в точку А тело могло лишь двигаясь из точки М, но «всякое движение происходит во времени», т.е. не мгновенно. Следовательно, t Ф /'. Аналогичным образом преодоление пути АФ вновь потребует некоторого времени, так что /'ф t', что и требовалось. Итак, непрерывность пространства влечет непрерывность времени. Соединяя оба результата, получаем, что время непрерывно тогда и только тогда, когда пространство непрерывно. Такова, на наш взгляд, главная линия аргументации Аристотеля.
В дальнейшем изложении мы будем заниматься только той частью проблемы, которая касается дискретности времени и непрерывности пространства. Но, как уже отмечалось, применяемые нами методы позволяют строить и модели универсума, в котором пространство дискретно, а время непрерывно.
Обратим внимание на одно обстоятельство: Аристотель при обосновании сформулированной выше эквивалентности нигде не говорит о том, что в последующие моменты времени движущееся тело проходит последующие точки пути. Может быть, он так думал или считал это предположение само собой разумеющимся — во всяком случае, явно он на него не ссылается. Между тем в наших построениях это обстоятельство будет одним из ключевых.
До сих пор основное внимание уделялось разъяснениям, относящимся к понятию непрерывности, а понятие дискретности оставалось в стороне. Пора восполнить этот пробел. Рассмотрим произвольное множество L, на котором определено отношение lt;, удовлетворяющее следующим условиям.
  1. Vx— (xlt;x).
  2. VxVyVz(xlt;y amp; ylt;z ^ xlt; z).
  3. VxVy(xlt;y v ylt;x v x=y).
  4. Vx(3y(ylt;x) o 3z(zlt;x amp; Vu—(zlt;u amp; ult;x))).
  5. Vx(3y(xlt;y) o 3z(xlt;z amp; Vu—(xlt;u amp; ult;z))).

Тогда упорядоченная пара (L, lt;) называется линейным дискретным множеством.
Первые три аксиомы уже упоминались в предыдущей главе. Аксиомы 4 и 5 показывают, какими свойствами должен обладать линейный порядок на произвольном множестве элементов, чтобы его можно было считать дискретным. С интуитивной точки зрения предложенный формальный подход к описанию явления дискретности является удачным. Ведь содержательный смысл аксиом 4 и 5 заключается в том, что если элемент линейно упорядоченного множества имеет предшественников (в смысле данного порядка), то он имеет и непосредственного предшественника или соседа такого, что между ним и его предшественником нет никаких других элементов. Таково содержание аксиомы 4. Соответствующим образом и для любого элемента, имеющего последователя, найдется элемент, являющийся непосредственным последователем или соседом данного (так что соседний элемент — это либо непосредственный предшественник, либо непосредственный последователь данного элемента). Существование непосредственного последователя среди последователей рассматриваемого элемента, если таковые последователи вообще найдутся, гарантируется аксиомой 5.
Легко убедиться в том, что любое собственное сечение линейного дискретного множества является скачком или щелью. При этом в более чем одноэлементных линейных дискретных множествах сечения-скачки существуют всегда (тогда как собственных сечений-щелей может и не быть). Тем самым только что введенное понятие дискретности согласуется с разобранными выше соображениями о связи явления дискретности с существованием сечений-скачков.
Почему в определении дискретности речь идет о линейно упорядоченных множествах? По той простой причине, что время принято рассматривать как структуру, наделенную линейным порядком. Для любого момента времени t и любого момента времени t считается, что либо t раньше, чем t, либо t раньше t, либо t= t. Напротив, пространство наделяется обычно большим, чем одно, измерением.
Тем не менее для того, чтобы не затемнять основную идею дополнительными техническими усложнениями, ограничимся в дальнейшем рассмотрением одномерного непрерывного пространства. При этом не произойдет существенной потери общности рассуждений: предлагаемый метод без особого труда может быть перенесен на случай пространств различных типов и размерностей, если есть основания считать эти пространства непрерывными.
Более того, предлагаемый метод сопряжения непрерывных пространств и дискретного времени позволит варьировать понятие непрерывности в очень широких пределах, оставляя, однако, понятие дискретности, которое было сформулировано выше, в полной неприкосновенности. Короче говоря, время в наших построениях будет гораздо более стабильным образованием, чем пространство.
Последнее замечание в действительности имеет программный характер. Как показывает анализ современной научной литературы по проблеме пространства и времени, без труда и раньше удавшееся умножение числа всевозможных пространств терпит явный провал при попытках умножить число времен. Зачастую этот факт завуалирован тем не всегда очевидным обстоятельством, что вместо времени, по существу, рассматривают какие-либо разновидности пространств. При таком обороте дела задача увеличить число рассматриваемых типов времен решается без особых хлопот69.
Вернемся к идее о том, что движущийся объект в последующие моменты времени проходит последующие точки пути. Мы предлагаем отказаться от этой идеи. Пусть, например, кто-либо движется из точки М в Фивы и в некий момент времени t оказался в точке А этого пути. Пусть также точка В расположена ближе точки А к пункту назначения Ф и путник оказался в В в момент времени t. Так вот, мы не требуем, чтобы t наступило позже момента t. Допускается, что хотя А дальше от города Фивы, чем В, но в А путник окажется раньше, чем в В.
Кажется, что само по себе это предположение абсурдно. На самом деле это не так, если рассматривать очень мелкие участки пути. Но даже и в сфере повседневной жизни на пути к цели, если для достижения этой цели требуется переместиться из пункта Мв пункт Ф, очень часто приходится временно отступать: то ли сделать шаг назад, чтобы открыть заклинившую дверь, то ли подниматься кругами вместе с самолетом над аэродромом, оказываясь то ближе, то дальше от цели, то ли сдавать назад при попытке взять с разгона трудный участок дороги, то ли что-нибудь еще в этом роде. В конце концов, все живые существа, имеющие ноги, раскачиваются при ходьбе.
Неизвестно, насколько убедительны предыдущие не вполне серьезные соображения. Поэтому обратимся к формальному аспекту рассматриваемой ситуации. Возьмем какой-либо отрезок МФ одномерного пространства, которым для определенности будет множество обычным образом упорядоченных действительных чисел R вместе с функцией расстояний (метрикой) р, определенной на R и удовлетворяющей условию
VxVy(p(x,y) = \x-y\).
Тогда пара lt;Я,рgt; превращается в метрическое пространство, которое можно считать непрерывным на том основании, что функция р каждому непрерывному подмножеству S из R сопоставляет непрерывное множество значений расстояний между точками из S. Обозначим это пространство через R1.
Можно ли описать движение на отрезке МФ при помощи времени, множество моментов которого упорядочено линейным дискретным образом? Если мы хотим, чтобы каждому моменту t такого времени Т соответствовала точка на МФ, каждой точке на МФ соответствовал момент времени из Т и при этом для любых t,t' при t lt; t расстояние между точкой рt, которая сопоставлена моменту t, и точкой Ф было больше, чем между точкойpt, сопоставленной моменту t, и точкой Ф, то ответ будет отрицательным. Действительно, установить между МФ и Т отношение взаимно однозначного соответствия, сохраняющего порядок на этих множествах, невозможно. Убедимся в сказанном.
Допустим, существует функция f, взаимно однозначно отображающая Т на МФ и удовлетворяющая условию
(Vt,t є T)(tlt; t'of(t)lt; f(t )).              (*)
(В антецеденте и консеквенте импликации (*) употреблен один и тот же значок «lt;» для обозначения отношений упорядоченности, тогда как в действительности слева и справа от стрелки «о» действуют разные отношения порядка; если помнить об этом, то никакой путаницы не произойдет.)
Так как Tдолжно быть бесконечным линейным дискретным множеством (поскольку отрезок МФ пространства R1 бесконечен), найдутся моменты времени Ц и t2 такие, что t lt; t2 и Vt(-,(t1 lt;tlt; tj). Тогда из допущения (*) следует, что f(t1) lt; f(t2), а из непрерывности отрезка МФ вытекает
f(t)lt; a lt;f(t)              (**)
для некоторого а є МФ.
Используя свойство взаимной однозначности функции f, получаем для обратной функции f1 равенство f1(a)= t для некоторого t є T. Так как —(t1lt;tlt;t), имеем четыре возможности: либо t1 = t, либо t2 = t, либо t lt; t, либо t2 lt; t. Если tj = t, то f(t) = f(t) = а, что противоречит (**). При t2 = t получаем f(t) = f(t) = а, что вновь противоречит (**).
Оставшиеся два случая аналогичны. Из tlt; t2 с использованием (*) следует, что f(t) lt; f(t). Поскольку а = f(t), получаем а lt; f(t) в противоречии с (**). Точно так же из t2lt;tи а = f(t) вытекает неравенство f(t) lt; а, что снова противоречит (**).
Таким образом, приходится оставить надежды найти такой способ передвижения по непрерывному пространству R1 в дискретные моменты времени, чтобы с каждым дискретным мгновением приближаться все ближе и ближе к концу пути. Но полученный отрицательный результат оставляет открытым вопрос о существовании не сохраняющих порядок взаимно однозначных отображений из подходящего линейного дискретного множества Т на непрерывные отрезки или на интервалы пространства R1. Для наглядности обратимся к следующему рисунку.
M A B C D Ф
На рисунке схематически изображена часть дискретного механизма движения по непрерывному отрезку МФ. В начальный момент дискретного времени t движущийся точечный объект s находится в точке Мотрезка МФ. Затем, в следующий за tb момент времени t2 s оказывается в точке В. Однако следующий шаг отбрасывает s назад: в момент t2 s оказывается в точке А отрезка МФ. Далее s в моменты t3 и t4 последовательно посещает точки D и С.
Казалось бы, в непоказанный на рисунке момент времени t5 частица s могла бы завершить движение, очутившись в точке Ф (так что было бы t5 = te ). В таком случае перед нами была бы изображена картина реновации частицы s, дополнительно усложненная, так сказать, попятными реновациями. Как мы помним, реновация в качестве принципа решения проблемы соотношения дискретного времени и непрерывного пространства была исключена с самого начала. Поэтому в момент t5 частица s окажется где- то между точками Ми Ф, но не в точке Ф (т.е. t5Ф / ).
Более того, полное устранение идеи реновации возможно лишь в том случае, если будет реализован принцип запрета незавершенного движения, который вытекает из сформулированного вначале требования 1: след движущейся дискретным образом частицы должен в итоге образовать непрерывную траекторию; в противном случае движение не завершено.
Следовательно, отправившись в путь из пункта М, частица s должна побывать во всех точках какого-либо интервала (М,А) с (М,Ф), и лишь при условии выполнения равенства А = Ф, на последнем шаге она может оказаться в пункте Ф. Так как любой интервал (А,В) пространства R1 имеет мощность континуума, реализация запрета незавершенного движения означает, что множество моментов дискретного времени, требующееся для завершения начатого движения, также должно иметь мощность континуума.
Итак, проблема сводится к вопросу о существовании линейных дискретных множеств несчетных мощностей (в том числе и мощности континуума). Хотя поставленный вопрос явно имеет теоретико-множественный характер, ответ на него мы получим при помощи одной из теорем математической логики — теоремы Левенгейма — Сколема — Тарского. Согласно этой теореме, если первопорядковая теория Th имеет бесконечную модель, то она имеет бесконечные модели произвольной мощности70.
Понятие линейного дискретного множества было задано при помощи средств, не выходящих за рамки первопорядковой логики предикатов. Поэтому если взять приведенные выше пять аксиом, описывающих свойство линейной дискретности, в качестве аксиом теории TL , то к TL будет применима теорема Левенгейма — Сколема — Тарского. Необходимо только убедиться, что TL имеет бесконечную модель. Сделать это несложно: достаточно проверить, что, например, множество целых чисел Zявляется линейным дискретным множеством. В силу этого Z может рассматриваться как модель первопорядковой теории TL. Поскольку Z бесконечна, TL по теореме обладает моделями произвольной бесконечной мощности, в том числе и мощности континуума. Пусть теперь множество T является моделью теории TL и имеет мощность континуума. Так как любая модель теории TL является линейным дискретным множеством, Т — линейное дискретное множество мощности континуума, что и требовалось.
Остается преодолеть небольшое техническое затруднение, связанное с необходимостью начать движение в момент tb в точке Mотрезка [М,Ф]и закончить его в момент te в точке Фтого же отрезка. Казалось бы, раз непрерывный отрезок [М,Ф] пространства R1 имеет одинаковую мощность с дискретным множеством T, существует взаимно однозначное отображение f из Тна [М,Ф], которое может быть взято в качестве формального описания движения частицы s по отрезку [М,Ф]. Но если множество Т, подобно множеству Z, не имеет начального и конечного элементов, с содержательной точки зрения оно не в состоянии выполнить эту роль.
Поступим следующим образом. Добавим к теории TL две новые аксиомы, утверждающие существование начального и конечного элемента, сузив таким образом класс линейных дискретных множеств:
  1. 3xVy(x Ф y ^ x lt; y),
  2. 3xVy(x Ф y ^ ylt; x).

Полученная теория TL' также имеет бесконечные модели. В качестве модели, например, может быть взято любое множество, упорядоченное по типу ю+ю*. Этот порядковый тип можно представлять себе как множество положительных целых чисел, к «концу» которого добавлено множество отрицательных целых чисел. Такая совокупность является линейным дискретным множеством, обладающим начальным и конечным элементом и имеющим бесконечную мощность. Вновь применяя теорему Левенгейма — Сколема — Тарского, получаем линейное дискретное множество Т ' с первым и последним элементом, имеющее мощность континуума и являющееся моделью теории TL'.
Если отбросить из множества Т' первый и последний элементы (обозначим их через tb и te соответственно), остаток Т'' по-прежнему будет линейным дискретным множеством и будет иметь мощность континуума. Следовательно, существует взаимно однозначное отображение f ''из Т'' на непрерывный интервал (М,Ф). Расширим функцию f'' до функцииf', определенной на Т'и удовлетворяющей условиям
f' (t)= f''(t), если tє T'', f ' (t) = М,
f (te) = Ф.
Определенная таким образом функция f ' является взаимно однозначным отображением множества Т ' на отрезок [М,Ф] и удовлетворяет всем требованиям описания движения по непрерывному пространству в дискретные моменты времени. Это означает, что получен утвердительный ответ на вопрос о том, может ли пространство быть непрерывным, а время — дискретным.

Описанный механизм движения можно наглядно вообразить, представив себе, что мы рисуем линию карандашом, настолько тонко заточенным, что на его острие помещается лишь одна математическая точка. След от движения такого карандаша должен образовать искомую линию — скажем, линию МФ. Мы не в состоянии гладко и плавно осуществить этот процесс. Действительно, первый шаг заключается в том, что острие карандаша помещается в точку М. Но каков будет следующий шаг? Начертить всю линию за одно мгновение не удастся. Изобразить какую-то ее непрерывную часть тоже — ведь если допустить, что можно мгновенно рисовать небольшие непрерывные кусочки линии, то непонятно, что мешает изобразить ее сразу целиком.
Выход состоит в том, чтобы не пытаться создавать всю линию или ее часть, также являющуюся линией, за один шаг. Вместо этого мгновенно перенесем карандаш из точки М в любую другую точку интервала (М,Ф). Повторив эту операцию трансфинитное число раз, мы увидим, как из дискретного множества точек постепенно возникает непрерывная линия. На последнем шаге, естественно, карандаш оказывается в точке Ф, завершая процесс рисования. Таким образом, линия возникает в результате серии мгновенных скачков. Получается, что континуум мало напоминает гладкую дорогу. Движение по нему скорее похоже на движение по сильно пересеченной местности.
Вместо карандаша, рисующего линию, можно рассмотреть путника, например Ахилла, преодолевающего континуальный отрезок пути. При этом, если верно сказанное во 2 параграфе 2 главы, движение черепахи никак не мешает двигаться Ахиллу, равно как и наоборот. Тем самым введение несчетного отрезка линейного дискретного времени с первым и последним моментом позволяет уйти от парадоксов, возникающих в апориях «Ахилл» и «Дихотомия», с соблюдением следующих условий:
  1. движение начинается в точке начала пути;
  2. движение заканчивается в точке конца пути;
  3. движущееся тело побывает во всех точках пути;
  4. для всякой точки пути (за исключением последней) можно указать точку, в которой движущееся тело окажется в следующий момент дискретного времени;

  1. для всякой точки пути (за исключением первой) можно указать точку, в которой движущееся тело находилось в предыдущий момент дискретного времени;
  2. в процессе движения движущееся тело оказывается то дальше, то ближе от точки начала пути.

Эти рассуждения можно повторить по отношению к совокупностям, упорядоченным по типам ю+1 и 1+ю*, которые так же, как и непрерывные отрезки, имеют прямое отношение к апориям «Ахилл» и «Дихотомия» соответственно (в каждой из совокупностей первый элемент есть пункт начала пути, а последний — его конечный пункт). Вновь, как и в случае континуума, вообразить процесс пошагового получения этих совокупностей элемент за элементом, с учетом порядка на них, логически невозможно. При отображении счетного линейного дискретного множества моментов времени, имеющего первый и последний элемент, на эти совокупности неизбежно на каких-то шагах будет нарушен порядок прохождения элементов (наряду с движениями от предыдущих точек к последующим придется вводить скачки от последующих точек к предыдущим, что отражено в пункте 6). Эта альтернатива, как уже указывалось во 2 параграфе 2 главы, не принималась во внимание исследователями апорий Зенона.
Таким образом, множества типов ю+1 и 1+ю* могут выступать в качестве пространственных образований, однако поскольку эти множества, будучи линейно упорядоченными, не являются дискретными (в силу нарушения либо 4, либо 5 аксиомы дискретности), они не имеют отношения к дискретному времени. Что касается множеств типов ю и ю*, то они являются линейными дискретными совокупностями, что позволяет использовать их в качестве временных, но не пространственных структур. Действительно, если бы путь был представлен множеством типа ю или типа ю*, то в первом случае не было бы последней точки пути, а в последнем — первой точки, что нарушало бы условия 1 и 2.
Подчеркнем, что возражение, согласно которому для преодоления в дискретные моменты времени пути ю+1 или 1+ю* надо завершить прохождение якобы незавершаемых в принципе частей пути ю или ю* соответственно, бьет мимо цели, поскольку мы в явном виде — в силу пункта 6 — отказываемся от требования соблюдения пространственного порядка точек пути. Действительно, ю и ю* являются в рассматриваемой ситуации частями путей ю+1 и 1+ю* и должны быть, по условию, пройдены. Они и будут пройдены при помощи описанного механизма, только при этом порядок их прохождения не будет повторять порядки типа ю или ю*.
Разумеется, если настаивать, что
(*) в последующие моменты времени проходятся последующие точки пути
(идет ли речь о континуальных отрезках или о счетных множествах точек), т.е. если отказаться от выше приведенного пунк- та6, то мы вновь очутимся в тисках противоречия между чувственной данностью движения и невозможностью его теоретического описания. Но стоит ли настаивать на (*)? Что касается нас, то мы поступаем прямо противоположным образом, не просто отбрасывая требование (*), а подвергая его отрицанию и принимая условие —і (*). При этом нет нужды прибегать к поистине жалкому оправданию, что, дескать, у самого Зенона нет прямых указаний на необходимость принятия (*). Даже если с историко-философской точки зрения это не так, даже если есть основания утверждать, что Зенон исходил в числе прочего из (*) как из незыблемого постулата, все это не меняет сути поставленной им проблемы. Ведь если в системе утверждений возникают парадоксы, от чего- то в ней все равно придется отказаться, коль скоро мы принципиально не хотим мириться с противоречиями.
Другой вопрос, адекватны ли предлагаемые решения парадоксов исходной постановке проблем настолько, насколько это возможно при наличном уровне знаний? Исходная постановка вопросов, приведшая к формулировке апорий, коренилась не в постмодернистском желании эпатировать образованную публику, а в действительно возникающих трудностях постижения пространства, времени и движения. Скажем поэтому несколько слов о соотношении описанного механизма движения и реальности. Не является ли этот механизм всего лишь забавной игрушкой, заведомо не имеющей аналогов в объективной действительности? Как ни удивительно на первый взгляд, не существует способа опровергнуть предложенное описание движения посредством эксперимента, если допускается непрерывность пространства, поскольку при этом всегда остается возможность дальнейшего уменьшения пространственных интервалов, в которые происходят дискретные скачки вперед и назад в ходе движения. Эти интервалы могут быть настолько малы, что разрешающая способность физических приборов окажется недостаточной. С другой стороны, вполне возможно, что дискретное описание механизма движения найдет экспериментальное подтверждение. Кажется, квантовая механика дает основания так думать.
Подчеркнем, что мы не претендуем на какую-либо окончательность предлагаемой концепции. Во-первых, мы не сомневаемся, что в будущем удастся достичь большей глубины понимания апорий. Во-вторых, в рамках уже изложенного без ответа остаются многие естественным образом возникающие вопросы. Так было бы желательно объяснить различия в скорости движущихся в дискретные моменты времени тел. Как ввести в теорию понятие скорости — далеко не очевидно. По-видимому, здесь возможны варианты. Один из них связан с интуитивным представлением о существовании более эффективных и менее эффективных способов пересчета. Ведь движение описывалось, по сути, как некий трансфинитный пересчет точек пространства. Не означает ли это, что более быстрое (Ахилл) обгоняет более медленное (черепаха) посредством применения лучшего алгоритма трансфинитного счета? К сожалению, этот круг проблем мы вынуждены оставить в стороне.
Еще один вопрос, пока остающийся без ответа, связан с уточнением идеи движения как процесса. Строго говоря, выше приведенное описание движения носит интуитивный характер, поскольку формально структура дискретного времени всецело остается в рамках статики. Другое дело, что дискретность времени позволяет нам подключить интуицию процессуальности, ибо все, что требуется от процесса с интуитивной точки зрения — это возможность на каждом шаге (если этот шаг не первый и не последний в серии процессуальных актов) указать непосредственно предшествующий и непосредственно последующий шаги. В конечном случае никаких проблем в этой связи не возникает (если отвлечься от вопроса о реализуемости произвольно большого конечного числа шагов; но это особый вопрос). Но в случае, например, несчетных линейных дискретных множеств неизбежно возникают точки (элементы таких множеств), между которыми находится бесконечное количество точек-элементов. В рассмотренной в предыдущем параграфе ситуации для перехода от старта к финишу потребовалось бы совершить несчетное число дискретных шагов. Осуществимо ли это хотя бы с позиции непротиворечивости утверждения о возможности подобных процессов?
Представим себе, что параллельно скачкам от одной точки пространства к другой в дискретные моменты времени осуществляется подсчет сделанного числа шагов посредством процедуры прибавления единицы к предыдущему значению. Ясно, что если число уже сделанных шагов конечно и равно n, то номер текущего шага конечен и равен n+1. А что получится, если число уже сделанных шагов бесконечно? Чему оно тогда равно, не возникнет ли противоречий с утверждениями арифметики? Вспомним в этой связи машину Г.Вейля71. В каком состоянии будет она находиться по истечению первой минуты?
n := 0
n := n + 1
Ответы на подобные вопросы трудно дать на основе интуитивных представлений. Даже привлечение точных математических методов оставляет ситуацию неопределенной. В самом деле, если считать натуральный ряд единственным, то каждое натуральное число (за исключением 0) получается из 0 в ходе конечного процесса прибавления 1 к предыдущему результату. Тогда предположение о том, что процесс прибавления 1 к ранее полученным натуральным n в ходе изображенного на рисунке цикла проделал бесконечное число шагов (это означало бы, что имеются моменты времени, бесконечно удаленные от начала процесса), ведет к противоречию: 0 — число конечное и, если n — конечно, то и n + 1 также конечно; отсюда в силу принципа математической индукции все числа конечны. Но число, полученное в ходе бесконечного количества прибавлений 1, будет содержать бесконечное число единиц и потому не может быть конечным. Мы уже видели в 3 параграфе 2 главы, что принцип математической индукции за пределами привычных математических понятий иногда приводит, мягко говоря, к странным следствиям. В рассматриваемой ситуации обыденная научная интуиция, исходящая из идеи единственности натурального ряда, безоговорочно решит вопрос в пользу принципа математической индукции и отбросит саму возможность осуществления трансфинитного процесса прибавления единицы. Кстати, примерно так рассуждали математики в до теоретико-множественную эпоху. Им казалось, что идея бесконечного числа как таковая ведет к противоречиям.
Появление теории множеств ввело в математический обиход представление о трансфинитных ординальных и кардинальных числах. Однако следует иметь в виду, что, скажем, наименьшее трансфинитное число ю получается отнюдь не прибавлением 1 к какому-то предыдущему числу72, так что и в современной теории множеств отвергается возможность получения какого-либо конкретного числа в ходе дискретного трансфинитного процесса прибавления 1. Точнее, мыслится возможным осуществление всех актов прибавления 1 к ранее полученным натуральным числам. Хотя таких актов бесконечно много, каждый из них приводит к конечному числу. Далее вводится первое бесконечное число ю, которое превосходит любое из натуральных чисел. Поскольку Vn(ogt; ф n+1), ю не может быть порожден прибавлением единицы к какому-либо натуральному числу. Затем возникает новый ряд трансфинитных чисел, который нередко записывают в виде ю = ю+0, ю+1, ю+2, ..., ю+n, ... Однако речь уже не идет об обычном арифметическом сложении. Если любое натуральное число n можно представить в виде суммы n единиц (1=1, 2=1+1, 3=1+1+1...), то ни одно трансфинитное число вида ю+n не представимо таким образом. В частности, число ю не есть сумма бесконечного числа единиц 1+1+1+...+1+.... Более того, такое бесконечное суммирование в классической математике просто лишено смысла.
Между тем мы имели в виду как раз такого рода суммирование, раз допускали осуществление бесконечного дискретного числа шагов прибавления 1 к определенному шагу N. Тогда и число, получающееся в ходе этого процесса, уместно обозначить через N. Ясно, что N является бесконечным числом. Затем можно продолжать, получая последовательно N+1, N+1+1, N+1+1+1 и т.д. Все это еще можно было бы истолковать в духе классики, но — и в этом коренное отличие данных построений от стандартных — мы считаем, что каждое число, порождаемое рассматриваемым дискретным трансфинитным процессом, получается из предыдущего посредством прибавления 1. Таким образом, для любого N запись N-1 указывает на это предыдущее строго меньшее число (т.е. N-1 lt; N), тогда как в стандартной теории бесконечных чисел не для любого числа а выполняется а-1 lt; а. Например, записи ю-1 можно придать лишь тривиальный смысл ю-1 = ю. Этим обстоятельством объясняется тот факт, что в классической теории множеств операция вычитания (равно как и деления, ввиду ю/2 = ю и т.п.) не определяется для трансфинитных чисел73.
Оправдать такие нестандартные построения нельзя при сохранении принципа математической индукции (выше было показано, что в противном случае будет доказуемо, что все натуральные числа конечны). На самом деле принципом математической индукции в данной ситуации пользоваться просто нельзя. Если очередное N конечно, то конечным будет и число N+1. Поэтому предположение о том, что имеется наименьшее бесконечное число N (полученное, стало быть, из конечного числа M=N-1), противоречиво. Значит, подмножество всех бесконечных чисел не будет иметь первого элемента, т.е. все множество чисел не будет вполне упорядоченным. Но принцип математической индукции верен лишь для вполне упорядоченных множеств, поэтому здесь пользоваться им нельзя.
Полученный ряд натуральных чисел (точнее, начальный отрезок некоего натурального ряда, поскольку мы не предполагаем, что в ходе описанного процесса порождается весь ряд) отличается от стандартного, и потому мы приходим к идее о не единственности натурального ряда. Мы привели краткое обоснование существования нестандартных натуральных чисел, опираясь на интуицию процесса порождения чисел, протекающего в линейном дискретном времени, в котором имеются моменты, бесконечно удаленные от начала процесса. Однако, во-первых, мы не уверены, что другие имеют интуитивные представления, сколько- нибудь сходные с нашими, и, во-вторых (что важнее), интуитивная уверенность может подвести. Необходимо построить строгую теорию процессов, протекающих в линейном дискретном времени74.

<< | >>
Источник: Анисов А.М.. Темпоральный универсум и его познание. — М.,2000. — 208 с.. 2000

Еще по теме §1. Может ли пространство быть непрерывным, а время — дискретным?:

  1. В. НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ ВЕЛИЧИНА 1.
  2. 3.9. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЯ. ДИСКРЕТНЫЙ И НЕПРЕРЫВНЫЙ АНАЛИЗ
  3. Может ли кто-нибудь по природе быть счастлив в этой жизни?— Нет, не может.
  4. Непрерывность и дискретность. Разные пути, ведущие к идее логической многозначности
  5. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ ДОЛЖЕН БЫТЬ СОСТАВЛЕН В СООТВЕТСТВИИ С ТРЕБОВАНИЯМИ СТАНДАРТА (ГОСТ 7.1-84). ОН МОЖЕТ БЫТЬ РАЗБИТ НА РАЗДЕЛЫ:
  6. Глава 4. Дискретное время
  7. 3.3.2. СТОРОНЫ ДВИЖЕНИЯ: ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ 332.1. ПРОСТРАНСТВО
  8. МОЖЕТ ЛИ ФИЛОСОФИЯ БЫТЬ НАЦИОНАЛЬНОЙ? О.Ф. Оришева
  9. Кто может быть субъектом налогового правонарушения?
  10. § XIV. Распущенность не может быть дозволена божеством
  11. . ИНФОРМАЦИЯ, КОТОРАЯ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ОТНЕСЕНА К ГОСУДАРСТВЕННОЙ ТАЙНЕ
  12. ИНФОРМАЦИЯ, КОТОРАЯ МОЖЕТ БЫТЬ ОТНЕСЕНА К ГОСУДАРСТВЕННОЙ ТАЙНЕ
  13. Статья 5. Информация, доступ к которой не может быть ограничен 1.
  14. § II. Одно и то же законодательствоне может быть пригодным для всех народов
  15. § XXIII, Никакое могущество не может быть устойчивым без свободы
  16. Какое решение может быть вынесено по результатам рассмотрения материалов налоговой проверки?
  17. § III. Одно и то же законодательствоне может быть пригодным на вечные времена ни для одного народа
  18. IV. Идея народа божьего (при воплощении в людях) может быть осуществлена не иначе, как в форме церкви