§1. О злоупотреблениях функциональным языком

Стремящееся к точности человеческое мышление исходит из, вообще говоря, немногих подлинно базисных идей. Одной из таких идей является функциональный подход к описанию реальности.

Математическое понятие функции — одно из наиболее общих и простых понятий науки, определяемое с практически предельной степенью строгости. Со времен Кантора в качестве основания всей математики используется теория множеств. В рамках теории множеств понятие функции не является самым фундаментальным, а представляет собой частный случай понятия отношения. Не теряя достаточной для наших целей общности, ограничимся двухместными отношениями. Пусть дано декартово произведение АхВ множеств А и В. Тогда отношением на АхВ называется произвольное подмножество ЯсАхВ (т.е. R является отношением на АхВ, если каждый элемент R является упорядоченной парой вида lt;а,Ьgt;, где ає А и Ьє В). Функция — это отношение F на АхВ, удовлетворяющее дополнительному условию: (*) УхУуУ2(lt;х,уgt;є F amp; ^,z^F ^ Y=z).

Множество D=A хєА amp; Зу(lt;х,уgt;єF} называется областью определения функции F, а множество О={у: ує Вamp; Зх(lt;х,уgt;є F} — областью значений функции F. Ясно, что DсА и ОсВ. Обычно пишут F^)=b, если пара lt;а,Ьgt;є F. Элемент а в этом случае называется аргументом функции F, а элемент Ь — значением функции F на данном аргументе. Характеристический признак функции (*) тогда означает, что переход от аргумента к значению осуществляется однозначным образом: если F^)=y и F^)=z, то Y=z.

Казалось бы, все предельно ясно. Особенно если учесть, что теория множеств ныне не возбуждает тех сомнений, которые имели место в период кризиса в основаниях математики на рубеже XIX и XX веков.

Философские злоупотребления функциональным языком, в свою очередь, распадаются на несколько видов.

А). Неконструктивная критика теоретико-множественного определения функции. Приведем пример. Р.Голдблатт утверждает, что теоретико-множественное определение функции «сохраняет прежнее представление о функции как о множестве некоторого рода — фиксированном, статическом объекте», не отражает «преобразовательный аспект данного понятия»46.

«Действительно, геометрические преобразования (вращения, отражения, растяжения и т.д) являются функциями, которые практически буквально описывают движение, а в прикладной математике силы фактически моделируются функциями. Описанные здесь динамические качества представляют собой существенную часть значения слова «функция», как оно употребляется в математике. Определение функции через упорядоченные пары не отражает этого»47.

Место теории множеств, полагает Голдблатт, должна занять теория категорий, в которой якобы присущая понятию функции динамика проявляется в полную силу48.

Согласимся с критикой теоретико-множественного подхода к понятию функции. В самом деле, теоретико-множественное понятие функции целиком и полностью статично. Это образец статичности, неизменной как в пространстве, так и во времени в полном соответствии с парменидовской философией и платоновской теорией вечных эйдосов. Однако принять теорию категорий в качестве «динамической» альтернативы нельзя.

Б). Некритическое приписывание. На чем, собственно, основывается утверждение о якобы подлинном динамическом смысле слова «функция» в математике? Математика — наука точная, а не аморфно-образная. Если утверждается, что значение математического понятия функции включает в себя динамические качества, то где же эти качества? Если они есть, то должны определяться математически строго. Есть только в сфере образного мышления? Но тогда данные качества не относятся к математике и не могут включаться в математическое понятие функции. Между тем сплошь и рядом статичным по самой своей сути функциональным методам приписываются образные, интуитивно понятые динамические характеристики, за которыми нет не только никакого математического смысла, но и вообще научного содержания.

Примером является трактовка специальной теории относительности (СТО) Д.Бомом. Отмечая удивительное отличие диаграмм СТО (с их статичным представлением не только прошлого, но и будущего как неких данностей) от действительного положения дел, Бом по отдельности анализирует реальность и диаграммы. В реальности оказывается, что прошлое — это реконструкция, что будущее не дано и его невозможно предсказать и т.п. И все это вопреки диаграммам, мировым линиям и прочим объектам, в которых ничего подобного нет.

К этому же виду злоупотреблений относится широко рекламируемый подход школы И.Пригожина, который в интересующем нас аспекте сводится к идее введения в физику времени как оператора. Мы далеки от того, чтобы критиковать физическую сторону дела и плодотворность понятия времени-оператора для физики. Основания для сомнений появляются тогда, когда новому понятию приписываются динамические черты. Риторика школы Пригожина хорошо известна, так что можно не повторять ее здесь. Ограничимся указанием на частое употребление словосочетания «от существующего к возникающему», которое даже явилось названием одной из книг И.Пригожина50. «Возникновение», очевидно, относится к числу слов, призванных нести в себе динамическое содержание. Однако какая динамика возможна, если оператор — это функция! Пусть это случай сложной функции, области определения и значений которой структурированы и т.д.

В). Принципиальное приписывание наиболее четко (из известных мне авторов) выражено М.Бунге. «Математические формулы сами по себе ничего не говорят о материальной реальности, и именно поэтому они могут быть использованы (в сочетании с семантическими «правилами») для выражения столь многого о внешнем мире. Возможное объективное содержание, которое может быть вложено в математические формы, целиком находит- ся в фактуальном (физическом, биологическом...) значении, приданном ad hoc символам, входящим в них, т.е. в семантических «правилах». Следовательно, причинная проблема, подобно проблеме о механической природе предметов, к которой соотносится данная теория, не может возникнуть ни в формулировках, ни в представлениях данной научной теории, а только в ее истолкованиях»51.

Иными словами, М.Бунге сознательно призывает дополнять пустую, с его точки зрения, математику ad hoc истолкованиями, которые уже не должны формулироваться на математическом языке. На практике это приведет к ничем неограниченному произволу в интерпретациях математического аппарата науки. Некритическое приписывание основывается, по-видимому, просто на желании преодолеть границы, налагаемые наличной математикой, и одновременно в какой-то мере сдерживается естественным стремлением соблюсти при этом меру, тогда как принципиальное приписывание придает этому желанию видимость законности и тем самым ликвидирует все барьеры на пути математизированных фантазий.

Г). Принципиальное неприписывание неопозитивистов также основывается на утверждении, что математика ничего не говорит нам о мире. Расхождение с предыдущей позицией заключается в том, что какие бы то ни было интуитивные и образные интерпретации математических структур объявляются метафизическими и вредными для науки. Так не следует привносить в научное знание представлений о порождающем характере причинных связей, поскольку акт порождения причиной действия не фиксируется используемой в физике математикой. Тем самым фактически накладывается запрет на поиск упоминавшегося выше адекватного аппарата для описания аспектов реальности, не улавливаемых методами физики. Это тоже разновидность злоупотреблений, поскольку (если принять во внимание, что преступлением может быть не только действие, но и бездействие) из такой концепции вытекает, что за рамками физики ничего делать не надо.

Наличие злоупотреблений в использовании и оценках функционального подхода и в попытках выйти за его пределы не означает, что всякое научное описание, использующее математику, обречено оставаться в рамках статики. Успешный (по крайней мере частично) выход за границы статики осуществлен математическим интуиционизмом.

«...Мы ставим в зависимость математическую теорию от возможностей субъекта-исследователя, которые к тому же зависят от времени. То, что сегодня не истинно, не обязательно является ложным — оно может быть неустановленным и может стать истинным завтра. Ситуация действительно много сложнее, чем в классической математике, но возможности построения приемлемых интуиционистских математических теорий все же имеются»52.

Действительно, процитированное заявление является не приписыванием (в любом из выше описанных смыслов), а реальной исследовательской программой, успешно реализуемой в математической практике. Такая связанная с течением времени математика на самом деле порывает со статикой, однако достигается это слишком дорогой ценой непомерного усложнения математических концепций и техники. Возможно, отмеченное обстоятельство служит одной из причин того, что интуиционизм не нашел применения в физике (даже в той ее части, которая была громко названа физикой становления и где хотя бы упоминание о нем было бы наиболее уместным). Кроме этого, интуиционизм с самого начала ориентировался на проблемы обоснования собственно математического знания, а не на решение прикладных задач (в отличие от классической математики).

Критикуя приписывание математическому аппарату науки смыслов, которые он в действительности не имеет, мы ограничились аргументами негативного плана. Перейдем теперь к позитивным доводам. Вопреки неопозитивистам и примыкающим к ним в вопросе о статусе математического знания философам, математика несет в себе определенную информацию о мире. В противном случае эффективность языка математики в деле познания природы будет действительно непостижимой. Согласно В.А.Смирнову, следует различать два вопроса о соотношении языка и онтологии: «1. Какого рода объекты вынуждает принять язык? 2. Какие онтологические допущения обязывает делать данный язык?»53. Ответ на первый вопрос состоит в указании области квантификации (критерий У.Куайна: «Быть — это значит быть значением квантифицируемой переменной»); ответ на второй вопрос требует определения класса аналитически истинных предложений (критерий А.Чер- ча: «Язык обязывает делать именно те онтологические допущения, которые формулируются в аналитически истинных предложениях данного языка»). Известное разделение Р.Карнапом вопросов о существовании на внешние и внутренние имеет смысл, если учесть, что внутренний вопрос касается не только вопросов о существовании объектов внутри языкового каркаса, но и о существовании объектов вне его, а внешний вопрос не является бессмысленным, но требует решения о принятии онтологических допущений в целом54.

Означает ли сказанное, что имеет место отождествление привносимых языком онтологических допущений и положением дел в объективной реальности? В.А.Смирнов следующим образом отвечает на поставленный вопрос: «Отождествлять системы объектов, имманентные языку, с реальностью мы не всегда можем. Если мы принимаем язык теории множеств, то вынуждены принять систему множеств. Но это еще не означает, что мы принимаем множества в качестве реально, объективно существующих сущностей.... Нужны дополнительные способы и критерии отождествления моделей реальности, объектов мысли с самой реальностью»55.

Разумеется, использующая аппарат теории множеств наука не обязана принимать все множества в качестве реально существующих. Мы считаем, что в числе дополнительных способов установления соответствия с реальностью имеются принципы отбора, которые отбрасывают некоторые конструкции теории множеств как не имеющие эмпирического содержания или вообще не связанные с реальностью (даже в качестве теоретических сущностей). Но не могут же эти принципы отбора отбросить все. Кое-что они должны оставить в качестве реального, ибо в противном случае позволительно спросить: а зачем вообще принимать язык теории множеств, если ничто в реальности ему не соответствует? Если известно, что на самом деле есть, а чего нет, то следует выбрать язык, который это учитывает.

Конечно, та же теория множеств может интересовать нас лишь в качестве математической теории. Тогда, естественно, не обязательно принимать ее онтологические допущения как реальные. Но ведь науки, основывающиеся на эмпирическом опыте (в отличие от математики), интересуются как раз реально существующим, и математические теории нужны им лишь постольку, поскольку способны описывать реальное существование. Если естествоиспытатель исходит из номиналистической установки, согласно которой таких объектов, как множества, в реальности нет, но при этом удобства ради пользуется теоретико-множественным языком, он просто вводит в заблуждение и самого себя, и своих читателей. То, что язык предполагает ту или иную онтологию — установленный логикой факт. Поэтому использование данного языка уже означает, что используется его онтология. Другое дело, нравится ли вам эта онтология или нет, принимаете ли вы ее, так сказать, душой. Но это — ваши личные проблемы, не имеющие отношения к науке.

Повторим еще раз: использование теории множеств в естествознании (а не в рамках только математики) с неизбежностью предполагает, что какие-то множества принимаются в качестве реальных, соответствующих действительной структуре мира. Отсюда не следует, что все объекты теории множеств должны считаться реальными, так как за счет принятия принципов отбора естественнонаучная теория оставляет лишь те множества, которые несут информацию о действительном мире.

Все, что было сказано выше о теории множеств, касается любой другой математической теории. Принятие определенной математической основы вместе с принципами отбора означает принятие вполне определенной онтологии, соотносимой с объективной реальностью. Добавим к этому, что для установления принятых естественнонаучной теорией онтологических допущений о реальности достаточно посмотреть, какие объекты рассматриваются в данной теории. Все такие объекты нужны или даже необходимы (с позиций теории) для описания реальности независимо от того, приписывается им эмпирическое существование или структурное соответствие действительности. Если этот объект — молекула, то в физике она существует в качестве эмпирического объекта, если функция — то она отражает реально существующие связи. При этом под «молекулой» надлежит понимать то, что предписывается соответствующей теорией; аналогичным образом не следует примешивать к применяемому в теории понятию «функция» какой-либо привходящий смысл, не вытекающий ни из применяемой математики, ни из принципов отбора.