<<
>>

10.2. Математические модели современнойтеории тестов

Условная вероятность правильного выполнения обучаемыми заданий теста как функция одной переменной. В качестве математической модели взаимосвязи между значениями латентных переменных 0, |} и наблюдаемыми результатами выполнения теста в IRT выбрана условная вероятность правильного выполнения обучаемыми заданий теста.

В частности можно рассматривать условную вероятность /’правильного выполнения /-м испытуемым с уровнем подготовки 0, различных по трудности заданий теста, считая 0, параметром /-го ученика, a (J — независимой переменной.


\ Аналогично вводится Р} для обозначения вероятности правильного выполнения у-го задания трудностью (Зу различными испытуемыми группы. Здесь 0 — независимая переменная, а ру — параметр, определяющий трудностьу'-го задания теста:

(Ю)

(1, если ответ /-го испытуемого на /'-е задание верный; где X- — л

и |0, если ответ /-го испытуемого нау-е задание не верный;

/и ср — символы функциональной зависимости; N — число испытуемых; п — количество заданий в тесте.

Если подставить в функцию Pj(Q) значение переменной 0 = 0, или в функцию /*,((3) значение (3 = (3у, го получится выражение для вероятности Ри, значения которой можно охарактеризовать следующим образом:

и ’              *              '

Геометрическая интерпретация связи между разностью латентных параметров и вероятностью правильного ответа на задания теста, Связь между значениями разности 0, -р, и вероятностью правильного ответа /-гоиспытуемого на у-е задание теста показана на рис.

26.

В теории IRT график функции /^ получил название характеристической кривой у-го задания (ICC), а график функции Р, — индивидуальной кривой /-го испытуемого (РСС).

При выборе вида функций Р} и Р, учитываются обстоятельства как эмпирического, так и математического характера. В предположении нормального распределения значений латентных переменных 0 и (3 предлагаются две такие функции. Одна из них, обычно обозначаемая символом Ч'(х), относится к семейству логистических кривых, другая — Ф(х) — является интегральной функцией нормированного нормального распределения. Поскольку для од-

Рис. 26. Соотношение между значениями разности 6, -Ру и вероятностью

правильного ответа

них и тех же значений х ординаты точек графиков функций Ф(х) и Т(1,7х) отличаются друг от друга незначительно, то в том, что их две, нет ни ошибки, ни противоречия. Наиболее убедительный аргумент в пользу логистической функции связан не с качеством измерений, а с относительной простотой ее аналитического задания, облегчающей оценивание параметров 0 и (3. Поэтому в практических приложениях предпочтение обычно отдают функции У(1,7х).

Классы логистических функций. Число параметров, входящих в аналитическое задание функций, является основанием для подразделения семейств логических функций на классы. Среди логистических функций различают:

однопараметрическую модель Г.

Раша —

где 0 и р — независимые переменные для первой и второй функций соответственно;

двухпараметрическую модель А. Бирнбаума

Кроме прежних обозначений в формулах (13) и (14) появляются параметры as и я,. Параметр а, был введен А. Бирнбаумом для характеристики дифференцирующей способности задания при измерении различных значений 0. Параметр а, указывает на меру структурированности знаний /-го ученика; трехпараметрическую модель А. Бирнбаума

(15)

где Cj является третьим параметром модели, характеризующим вероятность правильного ответа нау-е задание в том случае, если этот ответ угадан, а не основан на знаниях.

( В каждой из представленных моделей параметры 0 и (3 выражаются как шкалированные показатели единой для всех моделей шкалы логитов. Введение единой шкалы для элементов двух различных множеств позволяет подобрать оптимальные значения р, дающие возможность измерить искомое 0 с минимальной ошибкой измерения. Перевод значений 0 и Р в общую шкалу логитов с помощью специальных преобразований был предложен Б. Д. Райтом и М. Г. Стоуном [83]. Подробно он рассмотрен в книге М. Б. Мельниковой «Теория и практика конструирования педагогических тестов» [60].

Однопараметрическая модель Г. Раша. Аналитическое задание однопараметрической модели Г. Раша представлено формулами (16) и (12). В первом случае вероятность правильного выполнения у'-го задания теста является возрастающей функцией от переменной 0. Это свойство функции согласуется с практическим опытом педагога. Естественно ожидать, что чем больше уровень подготовки испытуемого, тем больше вероятность правильного выполнения им у-го задания теста.

На рис. 27 изображена характеристическая кривая у'-го задания теста, показывающая взаимосвязь между значениями независимой переменной 0 и величиной Pj. Точке перегиба характеристической кривой соответствует значение 0 = (Зу, a Pj в этой точке равно 0,5.

Свойство инвариантности оценок параметра испытуемых от трудности заданий теста. Модель Раша обладает интересным свойством, позволяющим на репрезентативной выборке испытуемых реализовать идею инвариантности оценок параметров 0 и [3, которая не характерна для двух и трех параметрических моделей. Не останавливаясь на математическом доказательстве, можно привести несложную геометрическую интерпретацию свойства инвариантности (см. рис. 28).

Пусть испытуемый с уровнем подготовки 0, ответит на задание у с вероятностью Р\. Увеличение трудности у-го задания теста на константу с (с gt; 0) вызовет смешение характеристической кри-

Рис. 27. Характеристическая кривая у'-го задания теста

Рис. 28. Иллюстрация инвариантности Рис. 29. Индивидуальная оценок уровня подготовки испытуемых от кривая /-го испытуемого трудности заданий теста

вой вправо. С прежней вероятностью на это более трудное задание будет отвечать испытуемый с уровнем подготовки 0, + с.

Так как 0 - Ру = (0 + с) - ((Зу + с), то значение вероятности правильного ответа Р, не изменится, что дает основание для вывода об относительной инвариантности уровня подготовки испытуемых от трудности заданий теста.

Вероятность правильного выполнения /-м испытуемым различных по трудности заданий Р, является убывающей функцией переменной р. Это означает, что с ростом трудности заданий значения вероятности Р, (Р) будут уменьшаться. График функции РДР) представлен на рис. 29.

В точке перегиба кривой, соответствующей значению независимой переменной 0, = Р, функция РДР) принимает значение Р,- = 0,5. В процессе обучения по мере накопления знаний индивидуальная кривая испытуемого смещается вправо.

Поскольку вдоль кривой откладываются доли правильных ответов на задания, которые не зависят от характера распределения

Рис. 30. Иллюстрация инвариантности формы характеристической кривой задания от уровня подготовленности тестируемой выборки

группы тестируемых учеников, форма характеристической кривой задания и ее положение при построении кривой на выборках в первой слабой и во второй сильной группах получатся одними и теми же (рис. 30). Конечно, практика свидетельствует о том, что эффект инвариантности наблюдается далеко не всегда, а только в тех случаях, когда реальная статистика — доли правильных ответов учащихся на задания — лежит достаточно близко к теоретической кривой. Причем чем ближе подходят точки распределения долей к кривой — графику функции Ру, тем ярче проявляется инвариантность. 

<< | >>
Источник: Звонников В. И.. Современные средства оценивания результатов обучения : учеб, пособие для студ. высш. учеб, заведений. 2007

Еще по теме 10.2. Математические модели современнойтеории тестов:

  1. 1. Система экономико-математических моделей, используемых в прогнозировании синтетических показателей экономического и социального развития Грузинской ССР
  2. 2 Математические модели для расчета физических полей в алюминиевом электролизере
  3. ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МГД
  4. 3.4.5. Математическая модель формирования фракционного состава угля в шлаковой ванне
  5. 8.2. Динамическая математическая модель процесса
  6. Структура обобщенной математической модели.
  7. ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯРАСПИСАНИЙ В СИСТЕМЕ ОКПАВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОИЗВОДСТВА
  8. 4.4. Математическая модель ОКП для единичного производства
  9. 4.5.1. Математические модели расписаний с локальными обслуживающими устройствами
  10. 4.5.2. Математические модели расписаний с выделенными обслуживающими устройствами
  11. 4.5.3. Математические модели расписаний с совместными обслуживающими устройствами
- Коучинг - Методики преподавания - Андрагогика - Внеучебная деятельность - Военная психология - Воспитательный процесс - Деловое общение - Детский аутизм - Детско-родительские отношения - Дошкольная педагогика - Зоопсихология - История психологии - Клиническая психология - Коррекционная педагогика - Логопедия - Медиапсихология‎ - Методология современного образовательного процесса - Начальное образование - Нейро-лингвистическое программирование (НЛП) - Образование, воспитание и развитие детей - Олигофренопедагогика - Олигофренопсихология - Организационное поведение - Основы исследовательской деятельности - Основы педагогики - Основы педагогического мастерства - Основы психологии - Парапсихология - Педагогика - Педагогика высшей школы - Педагогическая психология - Политическая психология‎ - Практическая психология - Пренатальная и перинатальная педагогика - Психологическая диагностика - Психологическая коррекция - Психологические тренинги - Психологическое исследование личности - Психологическое консультирование - Психология влияния и манипулирования - Психология девиантного поведения - Психология общения - Психология труда - Психотерапия - Работа с родителями - Самосовершенствование - Системы образования - Современные образовательные технологии - Социальная психология - Социальная работа - Специальная педагогика - Специальная психология - Сравнительная педагогика - Теория и методика профессионального образования - Технология социальной работы - Трансперсональная психология - Философия образования - Экологическая психология - Экстремальная психология - Этническая психология -