<<
>>

4.2. Элементы теории вероятностей и характеристики распределения случайных величин

  Для оценки составляющих погрешности и неопределенности результата измерения используются такие характеристики, как среднее арифметическое значение, среднее квадратическое отклонение и др.
Для лучшего понимания предлагаемого материала рассмотрим некоторые понятия и определения теории вероятностей и математической статистики, применяемых в метрологии.

Наличие случайной составляющей погрешности измерения приводит к тому, что для получения результата измерения целесообразно рассматривать измеряемые величины как случайные. Кроме того, сами случайные погрешности могут быть определены только с привлечением аппарата теории вероятностей, которая представляет собой науку, изучающую закономерности случайных явлений. Теория вероятностей устанавливает закономерности только для массовых явлений, т.е. таких явлений, которые могут повторяться многократно при одних и тех же условиях. В метрологии массовыми являются измерения, проводимые с помощью одного и того же средства измерений, характеристики множества средств измерений одного типа и др.

Для того чтобы охарактеризовать случайную погрешность измерения, обратимся к определению случайного события и его вероятности.

Случайным называется событие, которое в данном опыте может произойти или не произойти. Каждый опыт может быть охарактеризован множеством событий. Например, при игре в кости один и тот же опыт может быть представлен следующими событиями: «выпало 1»; «выпало 2»; «выпало 3»; «выпало 4»; «выпало 5»; «выпало 6». Точное определение ожидаемого исхода опыта — установление случайного события — имеет важнейшее значение. Обозначим случайное событие А и будем иметь в виду, что большинство событий в метрологии понимаются как выполнение соотношения

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image003.jpg

Каждое из событий в опыте обладает какой-то степенью возможности: одни — большей, другие — меньшей.

Для количественного сравнения случайных событий по степени их возможности используется количественная характеристика каждого случайного события, которая выражается числом тем большим, чем более возможно данное событие. Эту характеристику называют вероятностью случайного события и обозначают, как правило, Р. Таким образом, вероятность случайного события является численной мерой объективной возможности этого события и определяется по формуле:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image004.jpg

Назначение события оказывает прямое влияние на значение вероятности. Так, если речь идет об игре в кости и первый из играющих имеет результат 4, то ожидаемых событий для второго играющего — два: выигрыш или поражение. Для выигрыша необходимо получить 5 и 6. Таким образом, в этом случае вероятность выигрыша для него составит Р(5,6) = 2/6 = 1/3. Вероятность будет совсем другой, если в качестве события А рассматривать вероятность проигрыша или если первый из играющих набрал, например, два очка.

Определение числа п — числа всех возможных исходов опыта — часто весьма затруднительно, но самое главное, что в метрологии попросту невозможно ввиду ограниченной возможности повторения опытов. Число т — количество раз, когда событие А в результате опыта наступило, в метрологии также определяется на основе ограниченного числа опытов. Поэтому в практике метрологических работ вместо вероятности используют частоту появления случайного события А:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image005.jpg

Частоту Р*(А) ввиду ее использования в роли вероятности в практике метрологических работ называют статистической вероятностью.

Свойства случайной величины исчерпывающе описываются законом распределения случайной величины, который представляет собой соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Случайные величины можно разделить на дискретные и непрерывные. Значения дискретной случайной величины могут быть перечислены. Значения непрерывной случайной величины непрерывно заполняют некоторый интервал. Случайные погрешности измерений относятся к непрерывным случайным величинам, но проявляются часто в виде некоторого набора значений, т.е. дискретно. Поэтому к ним применимы понятия и непрерывных, и дискретных случайных величин.

Для дискретной случайной величины удобной формой описания закона распределения является ряд распределения — таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины х, и соответствующие им значения вероятности /gt;,-(табл. 4.1).

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image006.jpg

Еще одной, более удобной, универсальной и часто применяемой на практике формой описания закона распределения случайной величины является функция распределения F(x), которая определяет вероятность того, что случайная величина X будет принимать значения, меньшие некоторого ограничения х:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image007.jpg

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image008.jpg

Рис. 4.2. График функции распределения дискретной случайной величины

Так как функция распределения непрерывной случайной величины (см. рис. 4.1) является непрерывно дифференцируемой, то для ее описания часто пользуются первой производной

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image009.jpgили плотностью распределения.

Плотность распределения представляет собой одну из форм описания закона распределения, применяемых для непрерывных случайных величин. Плотность распределения обозначается, как правило, F'(x) или f(x). График плотности распределения представлен на рис. 4.3.

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image010.jpg

Рис. 4.3. График плотности распределения непрерывной случайной величины

Взаимосвязь между функцией распределения и плотностью распределения случайной непрерывной величины имеет вид:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image011.jpg

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image012.jpg

Законы распределения позволяют решать любые практические задачи, связанные со случайными величинами, и в этом их безусловное достоинство. Однако использование законов распределения для решения практических метрологических задач связано также и с определенными проблемами. Прежде всего, чтобы определить закон распределения, необходимо провести достаточно трудоемкое исследование (требуются специальные оборудование и методика, многократные измерения, качественный анализ и т.д.), что не всегда возможно. Наибольшее удобство для практического использования предоставляют числовые характеристики случайной величины — математическое ожидание и дисперсия случайной величины, которые характеризуют значение случайной величины и ее разброс соответственно. Числовые характеристики связаны с законами распределения, поэтому иногда используют и другие показатели, но математическое ожидание и дисперсия — наиболее употребляемые, основные числовые характеристики случайной величины.

Математическим ожиданием случайной величины называется число, определяемое для непрерывных случайных величин по зависимости:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image013.jpg

Из формулы (4.12) следует, что значение случайной величины х может быть определено величиной среднего арифметического значения X, полученного по результатам многократных наблюдений этой величины.

Среднее арифметическое значение может сильно отличаться от действительного значения измеряемой величины за счет:

• наличия систематических составляющих погрешности измерения, поэтому для его получения категорически необходимо введение поправки на величину систематической составляющей погрешности;

• возможности появления грубой погрешности измерения, для устранения которой проводят минимум три измерения;

• несоответствия среднего арифметического значения закону распределения случайной величины, в связи с чем обработка результатов измерений всегда должна начинаться с определения (указания) принятого закона распределения.

Итак, после определения среднего арифметического значения случайной величины на числовой оси можно отложить ее значение — среднее арифметическое. Легко представить случай, когда для двух рядов измерений средние арифметические значения равны. Значит, одного этого значения недостаточно, чтобы охарактеризовать случайную величину. Необходима характеристика разброса. В качестве ее можно принять разность значений xmax — xmшn, полученных при измерениях результатов. Эта характеристика получила название размаха значений, случайной величины.

Однако при равенстве и средних арифметических значений, и размахов два ряда измерений будут отличаться степенью группирования (концентрации) полученных результатов, например, относительно среднего арифметического значения. Подходящей характеристикой, позволяющей индивидуализировать разброс результатов многократных измерений, является суммирование величины их отклонений от среднего арифметического значения. Эта характеристика получила название дисперсии случайной величины D(x). По определению дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата соответствующего отклонения случайной величины х от ее математического ожидания т(х):

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image014.jpg

В формулах (4.13)—(4.15) рассматривается квадрат отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания, что позволяет устранить взаимную компенсацию положительных и отрицательных значений отклонений при их суммировании.

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата размерности собственно величины, что затрудняет использование дисперсии в практике метрологических работ. Поэтому в метрологии чаще используется понятие «среднее квадра-тическое отклонение» S(x), которое принимается равным положительному корню квадратному из значения дисперсии:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image015.jpg

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image016.jpg

Корректировка знаменателя в зависимости (4.17) позволяет компенсировать приведенные выше допущения за счет увеличения значения S(x). При очень большом числе измерений (п gt; 15) корректировка знаменателя не сказывается на величине S(x); при малом — имеет большое значение, причем тем больше, чем меньше п.

Форма кривой плотности распределения (см. рис. 4.3) отражает вид функции f(х). Во многих характерных случаях эти функции исследованы и результатами этих исследований пользуются на практике. Среди наиболее часто употребляемых распределений прежде всего необходимо выделить так называемое нормальное распределение, или распределение Гаусса. Это обусловлено тем, что если случайная величина представляет собой сумму трех и более составляющих, то ее распределение, независимо от формы распределения слагаемых, описывается уравнением:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image017.jpg

График функции нормального распределения представлен на рис. 4.4.

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image018.jpg

В связи с тем, что большинство процессов измерения характеризуются большим числом составляющих погрешности измерения и это предоставляет право без проведения каких бы то ни было исследований принять для случайной погрешности нормальное распределение, нормальный закон стандартизован и является одной из двух установленных в нормативной документации форм законов распределения, применяемых при обработке результатов многократных измерений.

Если результаты наблюдений имеют нормальное распределение, то средние арифметические значения (результаты измерения) также распределены по нормальному закону. Это дает возможность оценить разброс результатов измерений, проводимых сериями (например, при проведении операций допускового контроля), по формуле:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image019.jpg

В соответствии с зависимостями (4.6) и (4.18) функция распределения F(x), распределенной по нормальному закону, имеет вид:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image020.jpg

Второй установленной в нормативной документации формой закона распределения является равномерное распределение. Равномерное распределение используется для описания таких величин, как вариация показаний средств измерений, неисключенная систематическая погрешность, погрешность округления. Равномерное распределение описывается уравнениями:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image021.jpg

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image022.jpg

Равномерное распределение обладает наибольшей неопределенностью для всех случайных величин в выбранном интервале и может рассматриваться как худший случай.

Для количественной оценки погрешности измерения часто пользуются так называемыми доверительными интервалами и соответствующими им доверительными вероятностями. Доверительные интервалы позволяют оценить диапазон значений величины, в котором с принятой вероятностью находится неизвестное истинное значение измеряемой величины. Пусть при измерении физической величины с истинным значением ХИ получен результат измерения X. Задаваясь значением вероятности РД того, что случайная погрешность измерения находится внутри некоторого интервала ?гр = ± ?, необходимо найти граничные значения этого интервала, удовлетворяющие условию:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image023.jpg

<< | >>
Источник: Неизвестный. Метрология Стандартизация Сертификация. 2009

Еще по теме 4.2. Элементы теории вероятностей и характеристики распределения случайных величин:

  1. 2.5. Статистические свойства МНК-оценок параметров регрессии. Проверка гипотезы Ь = bo. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии
  2. 3.5. Проверка гипотез. Доверительные интервалы и доверительные области
  3. Упражнения 10.1.
  4. 12.2. Модели с урезанными и цензурированными выборками
  5. 14.2. Постановка задачи
  6. Приложение МС Теория вероятностей и математическая статистика
  7. 1. Случайные величины, случайные векторы
  8. 3. Некоторые специальные распределения
  9. 5. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема
  10. 2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК МАСС ГОТОВЫХ ДОЗ НА ВЫХОДЕ ИЗ ДОЗАТОРА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ АЛГОРИТМОВ РАБОТЫ МГД
  11. 4.3.4. Математические методы анализа международных конфликтов
  12. СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ И ПОНЯТИЙ
  13. Природные, антропогенные и техногенные источники трансформации окружающей среды
  14. ТЕМА 2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКОЛОГИЧЕСКИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
  15. 4.2. Элементы теории вероятностей и характеристики распределения случайных величин
  16. 4.7. Обработка результатов прямых многократных измерений
  17. ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО ГАЛИЛЕЯВ РУССКОЙ И СОВЕТСКОЙЛИТЕРАТУРЕ
  18. Основные положения теории вероятностей
  19. Приложение В КРАТКИЙ СЛОВАРЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕРМИНОВ
  20. 1.8. СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД: ОТ ФАКТОВ К ЭМПИРИЧЕСКИМ ЗАКОНАМ