<<
>>

4.7. Обработка результатов прямых многократных измерений

  Методика получения результатов при проведении многократных прямых измерений установлена ГОСТ 8.207—76 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдения.
Основные положения». Перед рассмотрением методики напомним, что ГОСТ 8.207 разработан и утвержден в период действия ныне отмененных ГОСТ 16263 на термины и определения в области метрологии, ГОСТ ов серии «П.», устанавливающих правила математической статистики при определении закона распределения, и отсутствия каких бы то ни было представлений о неопределенности результатов измерений.

Основные операции и их последовательность Методика обработки результатов прямых многократных измерений включает в себя следующие операции:

• определение наличия грубых погрешностей и исключение промахов;

• исключение известных систематических погрешностей из результатов наблюдений;

• вычисление среднего арифметического исправленных результатов наблюдений, принимаемого за результат измерения;

• вычисление оценки среднего квадратического отклонения результата наблюдений;

• вычисление оценки среднего квадратического отклонения результата измерения;

• проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению. Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат

нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости q от 10 до 2%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике выполнения измерений;

• вычисление доверительных границ случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения;

• вычисление границ неисключенной систематической погрешности (неисключенных остатков систематической погрешности) результата измерения;

• вычисление доверительных границ погрешности результата измерения. Для определения доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятность Р, как правило, принимают равной 0,95.

В тех случаях, когда измерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности Р = 0,95, допускается указывать границы для доверительной вероятности Р = 0,99. В особых случаях, например при измерениях, результаты которых имеют значение для здоровья людей, допускается вместо Р = 0,99 принимать более высокую доверительную вероятность.

Подготовка результатов наблюдений к обработке Способы обнаружения грубых погрешностей должны быть указаны в методике выполнения измерений. Важное значение при определении наличия грубых погрешностей имеет вопрос о законе распределения результатов измерений. Как правило, результаты измерений считают принадлежащими к нормальному распределению. Для нормального распределения разработано несколько критериев оценки наличия грубых погрешностей. В целом их действие основано на представлении о том, что измеряемая величина может характеризоваться большим количеством измерительной информации (генеральной выборкой) и ее ограниченным количеством (выборкой). Результаты обработки будут тем точнее, чем на больший объем информации они опираются. Поэтому критерии отнесения погрешностей к грубым можно разделить на критерии сопоставления имеющихся результатов с характеристиками генеральной выборки и характеристиками распределения собственно полученных результатов.

Если известны характеристики генеральной выборки (среднее квадратическое отклонение) или они могут быть получены в результате обработки предшествующих опытов, то следует пользоваться критериями, основанными на известном генеральном среднем квадратическом отклонении, и только когда оно неизвестно и нет возможности его получить, следует пользоваться критериями, основанными на использовании выборочного среднего квадратического отклонения. Так как грубые погрешности способны заметно повлиять на результат измерения, рассмотрим некоторые, наиболее употребляемые из известных критериев.

1. Значение генерального среднего квадратического отклонения неизвестно.

В таком случае имеются результаты наблюдений, составляющие упорядоченную выборку, которую можно представить в виде:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image051.jpg

Сомнению могут быть подвергнуты, естественно, результаты, заметно отличающиеся по величине от остальных, т.е.

либо наименьший (x1), либо наибольший (хn).

Среднее арифметическое значение выборки [хи хп] составит:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image052.jpg

Принадлежность х1 или хп к данной выборке, распределенной по нормальному закону, определяется по значению соотношений:

ношений:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image053.jpg

Если значения Un или U1 превысят критические значения р, приведенные в табл. 4.3, то соответствующий результат не принадлежит нормальному распределению и из результатов измерений должен быть исключен.

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image054.jpg

2. Значение генерального среднего квадратического отклонения известно. Значение генерального среднего арифметического неизвестно.

Практика измерений столь обширна, что довольно часто встречается ситуация, когда из предшествующих опытов значение генерального среднего квадратического (обозначим его а Для различия со средним квадратическим выборки S) известно, а генеральное среднее арифметическое — нет. В этом случае составляют упорядоченную выборку (4.62) и подсчитывают среднее арифметическое (4.63). По полученным данным подсчитывают значения коэффициентов:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image055.jpg

Если полученные значения превысят критические значения ?, приведенные в табл.

4.4, то соответствующие результаты анормальны и из полученного ряда измерений должны быть исключены.

Таблица 4.4. Предельные значения р для случая известного значения

генерального среднего квадратического отклонения и неизвестного

значения генерального среднего арифметического

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image056.jpg

3. Значение генерального среднего квадратического отклонения известно. Значение генерального среднего арифметического известно.

Этот случай довольно часто встречается на практике при контроле постоянно протекающих процессов (транспортировка газа, жидкости и т.п.). Проверка принадлежности к нормальному распределению для этих условий возможна даже для выборки, состоящей из одного члена. Предположим, что выборка упорядочена и представлена в виде (4.62). Значение генерального среднего арифметического обозначим а. Рассчитаем значения:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image057.jpg

Если какое-то значение, полученное по зависимостям (4.67), будет больше критических значений ?, приведенных в табл. 4.5, то соответствующий результат должен быть исключен.

Таблица 4.5. Предельные значения р для, случая известных значений генерального среднего арифметического и генерального

среднего квадратического

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image058.jpg

После оценки наличия грубых погрешностей и исключения содержащих их результатов производят оценку наличия систематических погрешностей и внесение поправок в результаты измерений.

Если во всех результатах содержится постоянная систематическая погрешность, то допускается исключать ее после вычисления среднего арифметического неисправленных результатов наблюдений.

Определение результата измерения и оценка его среднего квадратического отклонения За результат измерения принимают среднее арифметическое результатов наблюдений, в которые предварительно введены поправки для исключения систематических погрешностей.

Несмещенной оценкой генерального среднего арифметического значения исправленных результатов наблюдений (а) нормального распределения является выборочное среднее X, определяемое по формуле (4.63). Несмещенная оценка (Si) для генерального среднего квадратического отклонения (?) определяется по зависимости:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image059.jpg

Зависимости (4.68) и (4.69) позволяют оценить среднее квадратическое отклонение результата наблюдения.

Среднее квадратическое отклонение S(A) результата измерения оценивают по формуле:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image060.jpg

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения ГОСТ 8.207 установил методику оценки доверительных границ случайной погрешности результата измерения для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению. Если это условие не выполняется, то методы вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.

Принадлежность результатов наблюдений к нормальному распределению проверяют с помощью специальных критериев.

Если число результатов наблюдений п gt; 50, то для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтительно использовать один из критериев: ?2 Пирсона или ?2 Мизеса — Смирнова.

Критерий ?2 Пирсона. Результаты наблюдений случайной величины xi располагают в порядке возрастания (4.62) и вычисляют размах хп — х1. Размах разбивают на г равных интервалов шириной h:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image061.jpg

Число интервалов r выбирают в зависимости от объема выборки п. При п = 200 r = 18—20, при п = 400 r = 25—30, при п = 1000 r=— 35—40. Стандарт не рекомендует использовать критерий Пирсона при числе наблюдений меньше 200, допуская в исключительных случаях его применение при 100 lt; п lt; 200 с количеством интервалов r = 15—18. Однако в работе [10] приводятся несколько иные рекомендации. Так, при числе наблюдений 50 lt; п? 100 рекомендуемое число интервалов r = 7—9, при 100 lt; п ? 500 r = 8—12, при 500 lt; n ?1000 r = 10—16 и при 1000 lt; п ? 10 000 r = 12—22.

Результаты наблюдений группируют по полученным интервалам и подсчитывают частоты mj попадания результатов наблюдений в j-е интервалы.

Затем вычисляются среднее арифметическое значение X и среднее квадратическое отклонение S:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image062.jpg

Задаются значением доверительной вероятности того, что величина ?2, полученная вследствие случайных отклонений частостей опытного распределения от соответствующих вероятностей теоретического распределения, будет меньше значения

(? *)2, установленного для значения доверительной вероятности ?. Для доверительной вероятности ? и числа степеней свободы k = r — 1 находят величину (?*)2/k, вычисляют (?*)2 и сравнивают с ним вычисленную величину ?2. Если ?2 окажется меньше (?*)2, то для принятой доверительной вероятности гипотеза о согласии опытного и теоретического распределений принимается, в противном случае — отвергается.

2. Критерий ?2 Мизеса — Смирнова. Критерий ?2 является более мощным, чем критерий ?2, но его применение требует выполнения большого количества вычислительных операций. Критерий ?2 может быть применен, если число наблюдений превышает 50. Его применение является обязательным, если число наблюдений меньше 200; если число наблюдений более 200, то его применение рекомендуется в случаях, когда результаты проверки по другим критериям не позволяют сделать безусловный вывод о согласии опытного и теоретического распределений. Например, если при проверке согласия по критерию ?2 гипотеза принята при уровне значимости 0,1 и отвергнута при уровне значимости 0,05, то следует дополнительно применить критерий ?2.

Вычисление по критерию ?2 проводят в следующем порядке.

Вычисляют значение величины Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image063.gifпо формуле:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image064.jpg

Если число результатов наблюдений 50 gt; п gt; 15, то для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтительно использовать составной критерий. Составной критерий. Критерий 1. Вычисляют отношение d по формуле: Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image065.jpg

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image066.jpg

Значения Р определяются из табл. 4.8 по выбранному уровню значимости q* и числа результатов наблюдений п.

При уровне значимости, отличном от представленных в табл. 4.8, значение Р находят путем линейной интерполяции.

В случае если при проверке нормальности распределения результатов наблюдений группы для критерия 1 выбран уровень значимости q, а для критерия 2 — уровень значимости q*, то результирующий уровень значимости составного критерия q?lt;q + q* .

В случае если хотя бы один из критериев не соблюдается, то считают, что распределение результатов наблюдений группы не соответствует нормальному.

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image067.jpg

Если число результатов наблюдений n? 15, то принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. Нахождение доверительных границ случайной погрешности результата измерения по рассматриваемой нами методике возможно только в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.

Доверительные границы ? (без учета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image068.jpg

Значения коэффициента Стьюдента в зависимости от задаваемых значений доверительной вероятности Р и числа результатов наблюдений п приведены в табл. 4.9.

Таблица 4.9. Значения коэффициента tp,n для случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с n - 1 степенями свободы

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image069.jpg

Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения Не исключенная систематическая погрешность результата измерения образуется из составляющих, в качестве которых могут быть рассмотрены неисключенные систематические погрешности метода измерения, средств измерений или вызванные другими источниками.

В качестве границ составляющих неисключенной систематической погрешности принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если случайные составляющие погрешности пренебрежимо малы.

При суммировании составляющих неисключенной систематической погрешности результата измерения неисключенные систематические погрешности средств измерений каждого типа и погрешности поправок рассматривают как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределения случайных величин их распределения принимают за равномерные.

Границы неисключенной систематической погрешности 0 результата измерения вычисляют путем построения композиции неисключенных систематических погрешностей средств измерений, метода измерения и погрешностей, вызванных другими источниками. При равномерном распределении неисключенных систематических погрешностей эти границы (без учета знака) можно вычислить по формуле:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image070.jpg

При трех или четырех слагаемых ?i в качестве значения ?1 принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других, а в качестве ?2 — ближайшую по значению к ?1 составляющую.

Доверительную вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают той же, что и при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image071.jpg

Граница погрешности результата измерения Методика оценки границ погрешности результата измерения зависит от соотношения значений случайной и неисключенной систематической составляющих, рассмотренных нами выше. Выделяют три возможных случая.

1. Неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерения можно пренебречь. Необходимым условием для этого является соблюдение неравенства:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image072.jpg

На основе (4.83) принимают, что граница погрешности результата измерения ? = ?.

2. Случайной составляющей погрешности результата измерения можно пренебречь. Необходимым условием для этого является соблюдение неравенства:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image073.jpg

На основе (4.84) принимают, что граница погрешности результата измерения ?= ?.

При выполнении условий 1 и 2 погрешность оценки величины ? за счет пренебрежения значением случайной или неисключенной систематической составляющих не превышает 15%.

3. В случае если неравенства (4.83) или (4.84) не выполняются, границу погрешности результата измерения находят путем построения композиции распределений случайных и неисклю-ченных систематических погрешностей, рассматриваемых в данном случае. Если доверительные границы случайных погрешностей найдены в соответствии с (4.80), то допускается границы погрешности результата измерения ? (без учета знака) вычислять по формуле:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image074.jpg

Форма записи результатов измерений При оформлении результатов измерений следует пользоваться рекомендациями МИ 1317.

Если доверительные границы погрешности результата измерения симметричны, то результаты измерений представляют в форме:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image075.jpg

Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности ? .

Если данные о виде функций распределений составляющих погрешности результата измерения и необходимость в дальнейшей обработке результатов или анализе погрешностей отсутствуют, результаты измерений представляют в форме:

Описание: http://library.tuit.uz/skanir_knigi/book/metrologiya_s/glav_4.files/image076.jpg

В случае если границы неисключенной систематической погрешности 0 вычислены в соответствии с (4.81), следует дополнительно указывать доверительную вероятность Р. Значения S(A) и ? могут быть выражены в абсолютной и относительной формах. 

<< | >>
Источник: Неизвестный. Метрология Стандартизация Сертификация. 2009

Еще по теме 4.7. Обработка результатов прямых многократных измерений:

  1. 3.3. Методика обработки результатов химического анализа проб железистого шлака
  2. Обработка результатов Ключ к методике
  3. Обработка результатов по шкалам личностного опросника для измерения эмоционального отношения к общению
  4. § 3. Способы обработки результатов социометрических экспериментов
  5. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
  6. Программа наблюдения и обработка результатов
  7. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
  8. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
  9. Методика обработки результатов
  10. Обработка результатов обследования письма школьников первых классов (начало обучения)
  11. 2.3. Обработка результатов обследования письма школьников 1-4 классов
  12. Обработка результатов изучения чтения вслух и «про себя» у младших школьников 1-4 классов Иншакова О. Б., Гузий Ю.А., Иншакова А.Г.
  13. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕСТА
  14. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВАВТОМАТИЗАЦИИ ХОДА ВЫПОЛНЕНИЯИ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕСТИРОВАНИЯ
  15. 4.4. Общие требования к проведению измерений
  16. 4.6. Обработка результатов прямых однократных измерений
  17. 4.7. Обработка результатов прямых многократных измерений
  18. 4.8. Обработка результатов косвенных измерений
  19. Обработка результатов